新高考数学二轮复习《导数》压轴题突破练第25讲 零点差问题（剪刀模型）（2份，原卷版+解析版）

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例1．已知函数，若关于的方程有两个正实数根，且．
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：．
例2．已知函数，，其中，且．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；
（Ⅲ）若关于的方程为实数）有两个正实数根，，求证：．
例3．已知函数
（1）求曲线在原点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）若方程有两个正实数根，，求证：．
例4．已知函数．
（1）当时，求的最值；
（2）当时，若的两个零点分别为，，证明．
例5．已知函数为常数）的最大值为0．
（1）求实数的值；
（2）设函数，当时，求证：函数有两个不同的零点，，且．
例6．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若，证明：在上恒成立；
（3）若方程有两个实数根，，且，求证：．
例7．已知函数．
（1）求在点，处的切线方程；
（2）若，证明：在，上恒成立；
（3）若方程有两个实数根，，且，证明：．
【同步练习】
1．已知函数，为自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）关于的不等式在恒成立，求实数的取值范围．
（Ⅲ）关于的方程有两个实根，，求证：．
2．已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若方程有两个实根，，且
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）求证：．
3．已知函数的两个零点记为，．
（1）求的取值范围；
（2）证明：．
4．已知函数
（1）求在点，（1）处的切线方程，并证明
（2）若方程有两个正实数根，，求证：．
5．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，是的两个零点，求证：．
6．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个不同的零点，，
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：．
7．已知函数．
（1）讨论函数的极值点的个数；
（2）已知函数有两个不同的零点，，且证明：．
8．已知函数．
（1）求在点，处的切线方程；
（2）已知在上恒成立，求的值．
（3）若方程有两个实数根，，且，证明：．
9．已知函数为自然对数的底数）．
（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；
（2）设方程有两个实数根，，求证：．
10．已知函数，．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当，时恒有成立，求满足条件的的范围；
（3）当时，令方程有两个不同的根，，且满足，求证：．
11．已知函数，是的极值点．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线．求证：曲线上的点都不在直线的上方；
（Ⅲ）若关于的方程有两个不等实根，，求证：．
12．已知函数，曲线在原点处的切线为．
（1）证明：曲线与轴正半轴有交点；
（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线，求证：曲线上的点都不在直线的上方；
（3）若关于的方程为正实数）有不等实根，，求证：．
13．已知函数，其中，，．
（1）当，时，讨论函数的单调性；
（2）已知，，，且函数有两个零点，，求证：对任意的正实数，都存在满足条件的实数，使得成立．
14．已知函数，其中是自然对数的底数．
（Ⅰ）若曲线与直线有交点，求的最小值；
（Ⅱ）（ⅰ）设，问：是否存在最大整数，使得对任意正数都有（1）（1）成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（ⅱ）若曲线与直线有两个不同的交点，，求证：．
15．已知函数为自然对数的底数）．
（1）求函数的零点，以及曲线在其零点处的切线方程；
（2）若方程有两个实数根，，求证：．
16．已知函数为自然对数的底数）．
（1）求曲线在点，处的切线方程：
（2）若方程有两个不等的实数根，，求证：．