新高考数学二轮复习《导数》压轴题突破练第35讲 导数中的整数解问题（2份，原卷版+解析版）

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例1．设函数，其中，若存在唯一的正整数使得，则的取值范围是
A．B．，C．D．
【解析】解：设，，
由题意可知，存在唯一的正整数使得，即存在唯一的正整数使在的下方，
由题意可得，，
而（1），（1），
故，
又（2），（2），
解可得，，
故的范围．
故选：．
例2．设函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：设，，
，所以或者时函数递增，时递减，并且（1），（2），（3），（4），图象如图，函数经过，要使存在唯一的正整数，使得，即有唯一正整数解，所以
只要并且即解得；
故选：．
例3．已知函数，若有且只有两个整数，使得，且，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【解析】解：由，得，
作出函数与的图象如图：
直线过定点，
当时，曲线上的点为，当时，曲线上的点为．
过点与的直线的斜率，
过点与的直线的斜率．
由，得，由，得．
若有且只有两个整数，使得，且，则的取值范围是．
故选：．
例4．已知函数，若有且只有两个整数，使得，且，则实数的取值范围为
A．，B．，C．D．，
【解析】解：由题意，，
当时，，则在上单调递增，且（2），
所以有无数个整数解，不符合题意，
当时，易得在上单调递增，在，上单调递减，
因为（1），（2），
故（3），
所以．
综上．
故选：．
例5．已知函数有两个零点，，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：根据题意，
令，则方程有两个解；
令，则与有两个交点，
令，则有；
令，则有，此时函数单调递增；
令，则有，此时函数单调递减；
又，
当时，；
又当时，，
当时，
作出函数简图如下：
又（1），
根据题意，存在唯一整数
结合图象可得，（2）（1）
故选：．
例6．已知函数，，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是 ．
【解析】解：，故当时，，当，时，，
在上单调递减，，上单调递增，且（1），
又的函数图象开口向下，对称轴为，
要使不等式的解集中恰有两个整数，其图象如下：
不等式的解集中恰有两个整数是1，2，
，无解，
不等式的解集中恰有两个整数是2，3，
，
解得．
实数的取值范围是，．
故答案为：，．
例7．已知一次函数满足（2），函数，若不等式解集中有且仅有两个整数，则实数的取值范围是 ．
【解析】解：一次函数满足（2），可得，
函数，可得，
令，解得，时，，函数是减函数，
，，，函数是增函数，
不等式解集中有且仅有两个整数，只可能是，1和2，
所以，解得，．
故答案为：，．
例8．已知函数，关于的不等式只有2个整数解，则实数的取值范围是
【解析】解：作出函数的图象：①若，由，可得或，
显然没有整数解，则有2个整数解，
由图可知： 2；
②若，由，可得或，
显然没有整数解，而有无数多个整数解，不符题意，舍去；
③若，由，可得，有无数多个整数解，不符题意，舍去．
综上可知：实数的取值范围是：．
故答案为：．
【同步练习】
一．选择题
1．已知函数有两个零点，，且在区间有且仅有2个正整数，则实数的取值范围是
A．B．C．， D．，
【解析】解：由题意知函数有两个零点，，
等价于函数与函数的图象有两个不同的交点，
又，令，可得；令，可得，
是函数的极大值点，也是最大值点，且（1），
由可知：的图象为过定点的一条直线，如右图所示：
若满足函数与函数的图象有两个不同的交点，
且在区间有且仅有2个正整数，
，解得：，
故选：．
2．已知函数的导函数为，且对任意的实数都有是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：由题意可得，，
令，则，
故，
又，
所以，，，
当或时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极大值（1），当时，函数取得极小值，
又，，且时，，
结合函数的图象，要使得的解集中恰有两个整数，
则，即，
故实数的取值范围是，．
故选：．
3．已知若，则称为的原函数，此时所有的原函数为，其中为常数，如：，则为常数）．现已知函数的导函数为且对任意的实数都有是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：由等式，可得，
即，
即为常数），
，则，，
因此，，
，
令，得或，列表如下：
函数的极小值为，极大值为，且，
作出图象如下图所示，由图象可知，当时，．
另一方面，，则，
由于函数在直线下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，
由图象可知，这两个点的横坐标分别为、，
则有，解得，
因此，实数的取值范围是，，
故选：．
4．函数，其中，若有且只有一个整数，使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：设，，
则，
，，单调递增，
，，，单调递减，
时，取得最大值为，
，
（1）（1），
直线恒过定点且斜率为，
，
，
又，
的取值范围，．
故选：．
5．设函数，其中，若有且只有一个整数使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：设，，
则，
，，单调递减，
，，，单调递增，
，取最小值，
，
（1）（1），
直线恒过定点且斜率为，
，
，
，
的取值范围，．
故选：．
6．在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有一个大于2的整数，则实数的取值范围为
A．，B．，
C．，D．，
【解析】解：由，化简得，
设，，则原不等式即为，
若，则当时，，，
原不等式的解集中有无数个大于2的整数，
，
（2），（2），
（2）（2），
当（3）（3），即时，
设，则，
设，则，
在，上为减函数，
（4），
当时，，
在，上为减函数，即，
当时，不等式恒成立，此时，
原不等式的解集中没有大于2的整数，
要使不等式的解集中有且仅有一个大于2的整数，结合（2）（2），可知只需（3）（3），
即，解得，
．
故选：．
7．在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个正整数，则实数的取值范围为
A．，B．，
C．，D．，
【解析】解：当时，由可得，
显然当时，不等式在恒成立，不符合题意；
当时，令，则在上单调递增，
令，则，
在上单调递增，
，，且有2个正整数解，
，即，解得．
故选：．
8．若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【解析】解：令，，则
，
令，得 或；，得，
在和 上单调递增，在上单调递减，
（1），且
如图所示，
当 时， 至多有一个整数解．
当 时， 在区间 内的解集中有且仅有三个整数，
只需，即，
解得．
故选：．
9．若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【解析】解：令，，
则，
令，得 或；，得，
在和， 上单调递增，在上单调递减，
，且（2），
当 时， 至多有一个整数解．
当 时， 在区间 内的解集中有且仅有三个整数，
只需，即，
解得：，
故选：．
10．已知函数，若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．，
【解析】解：，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
做出的图象如图所示：
有且仅有两个不同的整数解，
的图象夹在平行直线和之间的部分只有两个整数解．
又，（1），，，
，
．
故选：．
11．已知函数，若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：要使方程则当且仅当，且时
方程等价为，
即，且，得，
即的图象夹在平行直线和之间的部分只有两个整数解．
作出函数的图象如图：
，（1），，，
要使的整数解只有两个，则其中一个整数解为，
另外一个整数解为，
即满足，得，
即，
即实数的取值范围是，，
故选：．
12．已知函数，关于的不等式只有2个整数解，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：，
令，解得，
则在上单调递增，在，上单调递减，
所以，
因为，，不等式只有2个整数解，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
故选：．
13．已知关于的不等式有且仅有两个正整数解（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是
A．，B．，
C．，D．，
【解析】解：当时，由，得，即，，
显然当时，不等式在恒成立，不符合题意；
当时，令，则在上单调递增，
令，则，
在上单调递增，
，，且有2个正整数解，
，即，即，
解得．
即实数的取值范围是，，
故选：．
14．已知函数，若的解集中恰有一个整数，则的取值范围为
A．B．
C．D．
【解析】解：，即，即，
因为，所以，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
画出的大致图象如图所示：
当直线与图象相切时，设切点为，，
则，解得，故，
当直线过点时，，
故的取值范围是，．
故选：．
二．填空题
15．已知函数的导函数为，且对任意的实数都有是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是
【解析】解：，
，即，
即，
即，
即，，
，即，
则，
则，
由得，即，此时为增函数，
由得，即或，此时为减函数，即当时，取得极小值，
，，
且当时，，由图象知，要使不等式的解集中恰有两个整数，
则满足，
即，
即实数的取值范围是，，
故答案为：，
1
0
0
极小值
极大值