(新高考)高考数学三轮冲刺解答题核心考点练第20讲《导数与三角函数的综合问题》（2份打包，解析版+原卷版）

第20讲 导数与三角函数的综合问题

高考预测一：含三角函数的不等式恒成立问题

1．设．

（Ⅰ）求证：当时，；

（Ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

【解析】（Ⅰ）证明：，则，

设，则，（2分）

当时，，即为增函数，

所以，

即在时为增函数，所以．（4分）

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知时，，，

所以，（6分）

设，则，

设，则，

当时，所以为增函数，

所以，所以为增函数，所以，

所以对任意的恒成立．（8分）

又，时，，

所以时对任意的恒成立．（9分）

当时，设，则，，

所以存在实数，使得任意，均有，所以在为减函数，

所以在时，所以时不符合题意．

综上，实数的取值范围为，．（12分）

（Ⅱ）解法二：因为等价于（6分）

设，则

可求，（8分）

所以当时，恒成立，在，是增函数，

所以，即，即

所以时，对任意恒成立．（9分）

当时，一定存在，满足在时，，

所以在是减函数，此时一定有，

即，即，不符合题意，故不能满足题意，

综上所述，时，对任意恒成立．（12分）

2．已知函数的定义域为，且对任意实数、，都有（a）（b），当时，恒成立．

（1）求证：函数是上的减函数；

（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．

【解析】（1）证明：设，则，

当时，恒成立，则，

，

函数是上的减函数；

（2）解：，则．

不等式

．

①当时，，显然成立；

②，则且△，解得．

综上，实数的取值范围是，．

3．已知函数，其中，为自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．

【解析】解：（Ⅰ），

令，

当，，，单调递增，（2分）

，，，单调递减                             （4分）

（Ⅱ） 令，即恒成立，

而，

令，

，，在，上单调递增，，（6分）

当时，，在，上单调递增，，符合题意；

当时，在，上单调递减，，与题意不合；                                            （8分）

当时，为一个单调递增的函数，而，，

由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，

当，时，，从而在，上单调递减，

从而，与题意不合，

综上所述：的取值范围为，（12分）

4．已知函数，，当，时，

（Ⅰ）若函数在处的切线与轴平行，求实数的值；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）若恒成立，求实数的取值范围．

【解析】解：，

函数在处的切线与轴平行，则，

得．

证明：①当，时，，

令，则．

当，时，，

在，上是增函数，

，即．

②当，时，，令，则．

当，时，，

在，单调递增，，

，

综上可知：；

（Ⅲ）解：设

．

令，则，

令，则．

当，时，，

可得是，上的减函数，

，故在，单调递减，

．．

当时，在，上恒成立．

下面证明当时，在，上不恒成立．

．

令，则．

当，时，，故在，上是减函数，

，．

当时，．

存在，使得，此时，．

即在，不恒成立．

综上实数的取值范围是，．

高考预测二：含三角的不等式证明

5．已知函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有．

【解析】解：（Ⅰ），

，

由，解得，

当，，，此时，函数单调递减，

当，，，此时，函数单调递增，

故的单调增区间为，，，单调递减区间为，，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，

又，故，

当，

，

且函数的图象是连续不间断的，

在区间，内至少存在一个零点，

又在区间，是单调的，

故，

因此当时，有成立．

当时，有．

当时，

．

综上证明：对一切，有．

6．已知函数，．

若不存在极值点，求的取值范围；

（Ⅱ）若，证明：．

【解析】解：（Ⅰ），

设

，

（1）时：

，

在上单增，其值域是，

存在，使，且在处左右两边值异号，

是的极值点，

得不可取；

（2）时：

时，，在其上单减

时，，在其上单增

，在处取极小值也是最小值

若 即，

，在上单增，无极值点

得可取，

若 即

在上的值域是，

存在，使，且在处左右两边值异号，

是的极值点

得不可取；

所以的取值范围是，．

（Ⅱ），，故，，

要证明，只需证明，

（1）当时，，，

故成立；

（2）当时，设，

则，

设，则，

，，

故在，递增，

故（1），即，

故在，递增，

故（1），即，

综上，若，．

7．（1）证明：，时，

（2）若不等式对，恒成立，求实数的取值范围．

【解析】（1）证明：记，则，

当时，，在，上是增函数，

当，时，，在，上是减函数，

又，（1），当，时，，即，

记，则当时，，在，上是减函数．

则，即．

综上，；

（2）当，时，不等式恒成立，

即恒成立，

也就是恒成立，

即恒成立，

则在，上恒成立．

恒成立，解得．

实数的取值范围是，．

8．（1）证明：当，时，；

（2）证明：当时，对，恒成立．

【解析】证明：（1），则，，

，，，恒成立

，在，上递减，

，，

，在，上递减，

；（4分）

记，则，，

恒成立，

，在，上递增，

，

，在，上递增，

；

；（7分）

（2），时，，

当时，对，恒成立．（14分）

9．已知函数，．若对于任意的实数恒有，求实数的取值范围．

【解析】解：对于任意的实数恒有，即有，

即，显然，

时，显然成立；

由偶函数的性质，只要考虑的情况．

当时，，即为，

由，则，考虑的导数为，

即递减，即有，即，

则有，故，

即有，解得．

则实数的取值范围为，．

10．已知函数．

（1）讨论函数在区间，上的最小值；

（2）当时，求证：对任意，恒有成立．

【解析】（1）解：函数的定义域是，，

①当时，，则，

则函数在上单调递减，即函数在区间，上单调递减，

故函数在区间，上的最小值为；

②当时，令，得；令，得，

故函数在上单调递减，在上单调递增，

当，即时，函数在区间，上单调递增，

故函数在区间，上的最小值为（1），

当，即时，函数在区间，上单调递减，

故函数在区间，上的最小值为，

当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，

此时函数在区间，上的最小值为，

综上，当时，函数在区间，上的最小值为；

当时，函数在区间，上的最小值为；

当时，函数在区间，上的最小值为（1）．

（2）证明：当时，，

要证，即证，

因为，所以两边同时乘，得，

即证，

当时，，而，

所以成立，即成立，

当时，令，

则，

设，则因为，

因为，所以，

所以当时，单调递增，

所以，即，

所以在上单调递增，

所以，即成立，

综上，对任意，恒有成立．

11．已知函数．

（Ⅰ）求证：有唯一零点，且；

（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的，当，时，，求实数的取值范围．

【解析】证明：函数，则，

又，故在上单调递增，

所以，故在上单调递增，

又，（1），

所以在上存在唯一零点；

解：由知，，时，，

所以，即问题等价于在，恒成立，

令，

令，

当，时，，，

所以，即，

故在，上单调递减，

所以当，时，，

所以，

故实数的取值范围是．

12．已知函数．

（1）当时，设，求的最小值；

（2）求证：当，时，．

【解析】（1）解：函数，所以，

则，故在,上恒成立，

所以在,上单调递增，则有，

所以在,上单调递增，则有，

故的最小值为0；

（2）证明：令，则在,上恒成立，

所以在,上单调递减，则有，

所以，即,

由（1）可知，对,恒成立，即，即，

当时，

,

因为,所以，所以，

故，

令，则对恒成立，

所以在,上单调递增，则有，即，

所以，

故．

13．已知函数．

（1）求函数在内的单调递增区间；

（2）当，时，求证：．

【解析】解：（1）由题意知，，，

所以当时，解得，

即在的单调递增区间是，；

（2）证明：令，，只需证即可，

，，

故在单调递减，即，，

所以，从而在上单调递减，即恒成立，

当时，恒成立，即，

由（1）知，当时，恒成立，

综上，得证．

14．已知函数，为常数）．

（1）求函数在处的切线方程；

（2）设．

（ⅰ）若为偶数，当时，函数在区间上有极值点，求实数的取值范围；

（ⅱ）若为奇数，不等式在，上恒成立，求实数的最小值．

【解析】解：（1）函数，所以，

则，当时，，故切点为，

由点斜式可得函数在处的切线方程为，即；

（2）当为偶数时，，则，

令，则，

因为且，所以在上恒成立，

则在上单调递减，其中，，

因为在有极值点，所以且，即，

当时，存在，使得，

令，即，在上单调递增；

令，即，在，上单调递减，

所以在有极值点，

故实数的取值范围为．

当为奇数时，在，上恒成立，

当时，；

当时，恒成立，

又，令，则，，所以，因为，

①当时，，所以恒成立，所以在，上单调递减，所以，故符合题意；

②当时，则在上恒成立，所以当时，单调递增，，与题意不符合；

③当时，，，则，所以在上存在零点，

设为在上的最小零点，则时，，因此在上单调递增，所以，不符合题意．

综上所述，的最小值为．