新高考数学二轮复习《导数》压轴题突破练第31讲 原函数与导函数的混合还原问题（2份，原卷版+解析版）

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例1．，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且则不等式的解集为
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【解析】解：设，
因为当时，，
所以当时，，
所以函数在单调递减，
又因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数，
所以函数为上的奇函数，
所以函数在单调递减，
因为，
所以函数的大致图象如下：
所以等式的解集为，，
故选：．
例2．，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集为
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【解析】解：设函数，
，
函数上的奇函数，
当时，，且，
，，
在上为减函数，且，
当时，，此时，；
函数上的奇函数，
当时，，此时，；
综上，不等式的解集是，，．
故选：．
例3．定义在上的函数满足：，其中为的导函数，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：根据题意，设，，
其导数，
又由，恒成立，
则有，
则函数在上单调递增，
则有（2）（1），即，变形可得；
再设，，
则导数，
又由，恒成立，
则有，
则函数在上单调减函数，
则有（1）（2），则有，变形可得；
综合可得：，
则的取值范围为，；
故选：．
例4．已知定义在上的函数满足，且（1），则不等式（3）的解集为
A．B．C．D．，
【解析】解：由题意，即，两边积分可知：，
，由（1），代入解得：，，
求导，由，
令，求导，令，解得：，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
当时，取最大值，最大值为0，
即恒成立，，单调递减，
由（3），则，即，故不等式的解集，
故选：．
例5．已知定义在上的函数满足在上是减函数，且，有，则以下大小关系一定正确的是
A．B．
C．D．
【解析】解：设，则在上是减函数，
设，则在上也是减函数，
，有，
，有，
即，
则，
即函数是奇函数，
则在上也是减函数．
则，即，
即，即，
即成立，
故选：．
例6．设函数满足，则时，满足
A．既无最大值也无最小值B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值D．既有最大值也有最小值
【解析】解：因为函数满足，
则，
令，
则，且，
因为，
所以，
令，
则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以（2），
故在上恒成立，
所以在上单调递增，
则无极大值和最大值，也无极小值和最小值．
故选：．
例7．已知函数的定义域为，其导函数为．若，且，则下列结论正确的是
A．是增函数B．是减函数C．有极大值D．有极小值
【解析】解：，，
化为：，
，
令，
，
．
，
化为：，
又，
函数在上单调递增，
故选：．
例8．已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是 ．
【解析】解：令，则，
因此在上单调递增，
又，所以当时，，
即，
令，
则，
因此，解得．
故答案为：．
例9．设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当，时，．若，则实数的取值范围是 ．
【解析】解：，
，
令
，
函数为奇函数．
，时，，
故函数在，上是减函数，故函数在上也减函数，
由，可得在上是减函数，
，等价于，
即，
，解得，
故答案为：，．
例10．已知定义域为的偶函数的导函数为，对任意，，均满足：．若，则不等式的解集是 ．
【解析】解：由于是定义域为的偶函数，所以也为偶函数；
又知，所以在，上为增函数，
由不等式可知，，解之得．
故答案为：．
例11．若是定义在，，上的可导函数，且，对恒成立，当时，有如下结论：①（a）（b），②（a）（b），③（a）（b），④（a）（b），其中一定成立的是 ．
【解析】解：令，则，
函数在，上单调递增．
，（a）（b），，
可得（a）（b），
则①对，②错；由于的单调性不好确定，可得③④错．
故答案为：①．
【同步练习】
一．选择题
1．已知是定义在上的减函数，其导函数满足，则下列结论正确的是
A．对于任意，B．对于任意，
C．当且仅当，D．当且仅当，
【解析】解：，是定义在上的减函数，，
，
，
，
函数在上单调递增，
而时，，则时，，
当时，，故，
又是定义在上的减函数，
时，也成立，
对任意成立，
故选：．
2．已知是定义在上的增函数，其导函数满足，则下列结论正确的是
A．对于任意，B．对于任意，
C．当且仅当，D．当且仅当，
【解析】解：是定义在上的增函数，，
其导函数满足，．
于是不等式化为：．
令，（1），则．
在上单调递增，
时，（1），．
时，（1），．
由．（1），解得（1）．
综上可得：，．
故选：．
3．定义在上的函数满足，且对恒成立，其中为的导函数，则
A．B．
C．D．
【解析】解：令，，
，
，恒成立，
，
，
，
函数在上单调递增，
，．
令，，
，
，恒成立，
，
函数在上单调递减，
，．
综上可得：，
故选：．
4．已知定义在上的函数和满足，且，则下列不等式成立的是
A．（2）B．（2）
C．（2）D．（2）
【解析】解：（1），
故（1）（1），，
，
设，，
由于，，
恒成立，故递减，
故，（2），
故，
故，
故（2），
故选：．
5．已知定义在上的函数的导函数为’ ，满足．当时，’ ．当时，’ ，且（其中是自然对数的底数）．则的取值范围为
A．，B．C．，D．，
【解析】解：根据题意，设，
，
，即，
（1）（3），
由函数得，，
由于当时，’ ，故函数在上单调递增，
（1）（3）（4），即，变形可得；
由得，
由于当时，’ ，故函数在上单调递减，
（1）（4），即，变形可得；
综上可得，．
故选：．
6．已知定义在上的函数，满足（1）；（2）（其中是的导函数，是自然对数的底数），则的范围为
A．，B．，C．D．
【解析】解：设，则
在上单调递增，所以（1）（2），即；
令，则
在上单调递减，所以（1）（2），即
综上， 且 ．
故选：．
7．已知定义在上的函数和满足，且，则下列不等式成立的是
A．（2）B．（2）
C．（2）D．（2）
【解析】解：，
，
，
，
，
（2），
，
设，
，
单调递减，
，
，
，
（2），
故选：．
8．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则
不等式的解集
A．B．
C．D．
【解析】解：构造函数，；
，；
；
在上单调递增；
，；
由不等式得：
；
；
，且；
；
原不等式的解集为．
故选：．
9．已知函数是函数的导函数，（1）（其中为自然对数的底数），对任意实数，都有，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【解析】解：令，
则，
故在递增，
而（1），
故不等式，
即（1），
故，
故选：．
10．设函数的定义域为，其导函数是，若，，则不等式的解集是
A．B．C．D．
【解析】解：令，则，
，，即在上单调递减，
，
可等价于，即，
，
不等式的解集为．
故选：．
11．设函数是定义在区间上的函数，是函数的导函数，且，则，，则不等式的解集是
A．B．C．D．
【解析】解：令，
，
，
在区间上单调递增，
，
，
时，，
，
，又，
故选：．
12．已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是
A．B．
C．D．
【解析】解：设，
则，
任意的满足，
，
令，解得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
，
，
，
化简可得，，，
故选：．
13．设函数在上存在导数，在上，且，有，则以下大小关系一定不正确的是
A．B．
C．D．
【解析】解：令，
，
，
即，
函数为奇函数．
在上，
在上，
故函数在上是减函数，
故函数在上也是减函数，
由，可得在上是减函数，
即；
即；
即有，
所以不成立，
故选：．
14．设函数，若函数为定义在上的奇函数，其导函数为，对任意实数满足，则不等式的解集是
A．B．
C．D．
【解析】解：由题意可得函数为上的奇函数，
，，
，
奇函数在上单调递增，
不等式可化为，
解得
故选：．
15．设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，．若，则实数的取值范围是
A．B．C．，D．，
【解析】解：设，
则，
，是偶函数，
当时，，
而，则，
在上是增函数，
，
，
即，
，
即，
故选：．
16．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，满足，且，则不等式的解集是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【解析】解：令，则，因此函数在上是奇函数．
①当时，，在时单调递增，
故函数在上单调递增．
，，．
②当时，函数在上是奇函数，可知：在上单调递增，且（3），
，的解集为．
不等式的解集是，，．
故选：．
17．已知是定义在上的函数，为的导函数，且满足，则下列结论中正确的是
A．恒成立
B．恒成立
C．（1）
D．当时，；当时，
【解析】解：由题意设，
则，
，
在上为增函数，
当时，（1），
即当时，（1），即，得，
当时，（1），即，得，
（1）（1），
即（1），
综上恒成立，
故选：．
18．定义在上的函数的导函数为，．若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为
A．B．C．D．
【解析】解：构造函数：，．
对任意，都有，
，
函数在单调递减，
由化为：，
．
使得成立的的取值范围为．
故选：．
19．已知函数的导函数满足对恒成立，则下列不等式中一定成立的是
A．（1）（e）B．（1）（e）C．（1）（e）D．（1）（e）
【解析】解：由，，，
得，
令，则．
故在，递减；
（e）（1），即（e）（1）．
故选：．
20．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则
A．B．
C．D．
【解析】解：，，，
由，得．
即
构造函数，
则，
函数在，上单调递减，
，
，
故选：．
21．已知定义在上的连续函数满足：且（1），（2）．则函数
A．有极小值，无极大值B．有极大值，无极小值
C．既有极小值又有极大值D．既无极小值又无极大值
【解析】解：，
在上是增函数，
，
，
在上是增函数，
在上是增函数，
又（1），（2），
故在上先负值，后正值；
故函数有极小值，无极大值，
故选：．
22．定义在上的函数满足，且，则
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
【解析】解：由题意，将代入，推出，①
设，则，
又由已知得，记，则．
所以．
显然；时，，递增．
结合①知，，为的最小值，即，所以，
因为，则，（当且仅当时，取等号），所以既没有最大值，也没有最小值．
故选：．
23．设定义在上的函数满足，，则
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值
【解析】解：，
，
，
而，
，
，
由，解得，
，
，
在单调递增，
故函数无极值，
故选：．
二．多选题
24．定义在上的函数的导函数为，且，对任意、，其中，则下列不等式中一定成立的有
A．
B．
C．
D．
【解析】解：设，则，
因为定义在上的函数的导函数为，且，
所以，所以，
故在单调递减，
由，可得，
即，即，
同理，
相加可得，故正确；
由在单调递减，
可得，
即，
所以，故正确；
因为，所以（1），即（1），即，故正确；
取，符合题意，则，故错误．
故选：．
25．定义在上的函数满足，（1），则下列说法正确的是
A．在处取得极小值，极小值为
B．只有一个零点
C．若在上恒成立，则
D．（1）
【解析】解：对，，且，
可得：
可得：
故 为常数
（1）
可得：（1）
求得：
故：
整理可得：
当，即
解得：，此时 单调递增，
当，即，
解得：
当，即
解得：，此时 单调递减
取得极大值，
故错误；
对，，
，
画出 草图：如图
根据图象可知： 只有一个零点，故说法正确；
对，要保证 在 上恒成立
即：保证 在 上恒成立
，可得 在 上恒成立
故只需，
令，，
当时，
当时，
当时，
，
，故 说法正确，
对，根据 单调递增， 单调递减，
，可得，
又，
又，
根据，
，
故：，故说法正确．
综上所述，正确的说法是：．
故选：．
26．已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式中成立的有
A．B．
C．D．
【解析】解：偶函数对于任意的满足，
，，
，是单调递增函数，且是偶函数，
，，
对于，，
即，化简得出，所以不正确．
对于：化简，得出，所以正确．
对于：根据单调性可知：，
，，
是偶函数，即，所以正确．
对于根据单调性可知，
，，所以正确．
故选：．
27．已知函数满足，（e）．则当时，下列说法中正确的是
A．B．只有一个零点
C．有两个零点D．有一个极大值
【解析】解：令，则，
，
，
（e），，解得．
．
，
则时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减．
函数只有一个极大值点，即只有一个极大值（e）．
画出图象：
（1），时，．
可得函数只有一个零点1，（1）．
．
因此只有正确．
故选：．
三．填空题
28．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集是 ．
【解析】解：由，，
得，即，
令，则当时，
得，即在上是增函数，
，，
即不等式等价为，
在是增函数，
由，得，
即，而，故，
不等式的解集是．
故答案为：．
29．定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 ．
【解析】解：设，；
则；
；
；
；
在定义域上单调递增；
；
；
又；
；
；
不等式的解集为．
故答案为：．
30．已知定义域为的函数的导函数为，且满足，若，则不等式的解集为
【解析】解：设，则，
，，即函数在定义域上单调递增，
，，
不等式等价于不等式，
解得．
故答案为：．