新高考数学二轮复习《导数》压轴题突破练第22讲 极值点偏移问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习《导数》压轴题突破练第22讲 极值点偏移问题（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习《导数》压轴题突破练第22讲极值点偏移问题原卷版doc、新高考数学二轮复习《导数》压轴题突破练第22讲极值点偏移问题解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
例1．已知函数，是常数且．
（1）若曲线在处的切线经过点，求的值；
（2）若是自然对数的底数），试证明：①函数有两个零点，②函数的两个零点，满足．
【解析】（1）解：切线的斜率（1）（1），，
即，解得；
（2）证明：①由，得，
当时，；当时，，
在处取得最大值，（1），
，，在区间有零点，
在区间单调递增，在区间有唯一零点．
由幂函数与对数函数单调性比较及的单调性知，在区间有唯一零点，从而函数有两个零点．
②不妨设，作函数，，
则，．
，即，，
又，．
，
，
在区间单调递减，
，．
又，，
．
例2．已知函数．
（1）若曲线与直线相切，求实数的值；
（2）若函数有两个零点，，证明．
【解析】解：（1）由，得，
设切点横坐标为，依题意得，
解得，即实数的值为1．
（2）不妨设，由，
得，
即，
所以，
令，则，
设，则，
即函数在上递减，
所以（1），
从而，
即．
例3．已知函数且（其中为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）判断的单调性；
（Ⅲ）若有两个不相等实根，，证明：．
【解析】解：（Ⅰ），解得，
所以函数解析式为；
（Ⅱ）函数的定义域为，，
设，，在上，恒成立，
所以在上单调递减，即在上单调递减，
又，则在上，在上．
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
（Ⅲ）证明：构造函数，，，
设，当时，，
设，且，
可知在上单调递减，且（e），
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上单调递增，
不妨设，由（Ⅱ）知，即，
因为，所以，
由（Ⅱ）知在上单调递减，
得，所以．
例4．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，设为的导函数，若函数有两个不同的零点，，求证：．
【解析】（1）解：，
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在，上单调递增．
（2）证明：由题意得，两式相减得，
不妨设，由，得，
令，，
因为当时，，
所以在上单调递减，
所以当时，，
又，故．
例5．已知函数，．
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）是否存在实数，对任意，，，有恒成立，若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由；
（3）记，如果，是函数的两个零点，且，是的导函数，证明：．
【解析】解：（1）的定义域为，
，
①若，则，，在上单调递增；
②若，则，而，，
当时，；当及时，
所以在上单调递减，在及单调递增；
③若，则，同理可得在上单调递减，在及单调递增．
（2）假设存在，对任意，，，有恒成立，
不妨设，只要，即，
令，只要在上为增函数，
，
只要在恒成立，只要，
故存在时，对任意，，，有恒成立．
（3）证明：由题意知，，
两式相减，整理得，
所以，又因为，
所以，
令，则，
所以在上单调递减，故（1），
又，所以．
例6．设函数，．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数有两个零点，．
（ⅰ）求满足条件的最小正整数的值；
（ⅱ）求证：．
【解析】解：（Ⅰ）．（1分）
当时，在上恒成立，所以函数单调递增区间为，
此时无单调减区间．（2分）
当时，由，得，，得，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为．（3分）
（Ⅱ）．
因为函数有两个零点，所以，此时函数在单调递增，
在单调递减．（4分）
所以的最小值，即．（5分）
因为，所以．令，显然（a）在上为增函数，
且，所以存在，．（6分）
当时，（a）；当时，（a），所以满足条件的最小正整数．（7分）
又当时，（3），（1），所以时，有两个零点．
综上所述，满足条件的最小正整数的值为3．（8分）
证明：不妨设，于是，
即，．
所以．（10分）
因为，当时，，当时，，
故只要证即可，即证明，（11分）
即证，
也就是证．（12分）
设．
令，则．
因为，所以，（13分）
当且仅当时，，
所以在上是增函数．
又（1），所以当，总成立，所以原题得证．（14分）
例7．设函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数有两个零点，（1）求满足条件的最小正整数的值；（2）求证：．
【解析】解：（Ⅰ），．
当时，在上恒成立，
所以函数单调递增区间为，此时无单调减区间；
当时，由，得，，得，
所以函数的单调增区间为，，单调减区间为；
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）可知函数有两个零点，所以，
的最小值，即，
，，
令，显然（a）在上为增函数，
且
存在，，
当时，（a）；当时，（a），
所以满足条件的最小正整数．
又当时，（3），，（1），
所以时，有两个零点．
综上所述，满足条件的最小正整数的值为3．
（2）证明：不妨设，
于是，
．，
因为，当时，；当时，．
故只要证即可，即证明．，
即证．
也就是证．
设．
令，则．
，所以，
当且仅当时，，所以在上是增函数．
又（1），所以当，总成立，所以原题得证．
例8．已知函数，其中为自然对数的底数，．是函数的极大值或极小值，则称为函数的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点．
（1）函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）判断函数的极值点的个数，并说明理由；
（3）当函数有两个不相等的极值点和时，证明：．
【解析】解：（1）在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
，
在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以（1），
所以．
所以的取值范围为，．
（2），
令，则，
①当时，，在上单调递增，
又，，
于是在上有一个零点，
于是函数的有1个极值点，
②当时，单调递增，于是函数没有极值点，
③当时，由，得，
，当且仅当时，取“”号，
所以函数在上单调递增，
所以函数没有极值点．
④当时，
，
，
又因为，
所以（a），
于是，函数在和上各有一个零点，分别为，，
于是有2个极值点，
综上，当时，函数有1个极值点，
当时，函数没有极值点，
当时，函数有2个极值点．
（3）证明：当函数有两个不等的极值点和时，
由（2）知且，，
令，
，
由，得，
，即，即，
因为，，
在上单调递增，
所以，即，
又，
所以．
例9．已知函数，．
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；
（3）当时，若与的图象有两个交点，，，，求证：．
（取为2.8，取为0.7，取为
【解析】（1）解：，则，
在上单调递增，对，都有，
即对，都有，
，，
故实数的取值范围是，；
（2）解：设切点，则切线方程为，
即，亦即，
令，由题意得，
令，则，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
（1），故的最小值为；
（3）证明：由题意知，，
两式相加得，
两式相减得，
即，
，
即，
不妨令，记，
令，则，
在上单调递增，则，
，则，
，
又，
，即，
令，则时，，
在上单调递增，
又，
，
则，即．
【同步练习】
1．已知函数，．
（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）设，试讨论函数的单调性；
（Ⅲ）当时，若存在正实数，满足，求证：．
【解析】解：（Ⅰ）因为，所以，
因为在处取得极值，所以（1），解得：．
验证：当时，，
易得在处取得极大值．
（Ⅱ）因为，
所以，
①若，则当时，，
所以函数在上单调递增；
当，时，，
函数在，上单调递减．
②若，，
当时，易得函数在和，上单调递增，在，上单调递减；
当时，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，易得函数在和，上单调递增，在，上单调递减．
（Ⅲ）证明：当时，，
因为，
所以，
即，
所以，
令，，
则，
当时，，
所以函数在上单调递减；
当时，，
所以函数在上单调递增．
所以函数在时，取得最小值，最小值为1．
所以，
即，
所以或，
因为，为正实数，所以当时，，
此时不存在，满足条件，
所以．
2．已知函数，．
（1）若在处取得极值，求的值；
（2）设，试讨论函数的单调性；
（3）当时，若存在正实数，满足，求证：．
【解析】（1）解：因为，所以，
因为在处取得极值，所以（1），解得：．
验证：当时，，
易得在处取得极大值．
（2）解：因为，
所以，
①若，则当时，，
所以函数在上单调递增；
当，时，，
函数在，上单调递减．
②若，，
当时，易得函数在和，上单调递增，在，上单调递减；
当时，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，易得函数在和，上单调递增，在，上单调递减．
（3）证明：当时，，
因为，
所以，
即，
所以，
令，，
则，
当时，，
所以函数在上单调递减；
当时，，
所以函数在上单调递增．
所以函数在时，取得最小值，最小值为1．
所以，
即，
所以或，
因为，为正实数，所以，
因为当时，，不满足，
所以．
3．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．
【解析】（1）解：由函数的解析式可得，
，，单调递增，
，，单调递减，
则在单调递增，在单调递减．
（2）证明：由，得，
即，
由（1）在单调递增，在单调递减，
所以（1），且（e），
令，，
则，为 的两根，其中．
不妨令，，则，
先证，即证，即证，
令，
则在单调递减，
所以（1），
故函数在单调递增，
（1）．，，得证．
同理，要证，
（法一）即证，
根据（1）中单调性，
即证，
令，，
则，令，
，，单调递增，
，，，单调递减，
又时，，且（e），
故，
（1）（1），
恒成立，
得证，
（法二），，
又，故，，
故，，
令，，，
在上，，单调递增，
所以（e），
即，所以，得证，
则．
4．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设，为两个不相等的正数，，证明：．
【解析】解：，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
证明：由，得，
令，，
则，是的两根，
不妨令，，则，，
要证，即证，即，
令，
则，
所以在单调递减，（1），
所以，
所以，
5．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明：当时，；
（Ⅲ）如果，且，证明：．
【解析】解：（Ⅰ）解：
令，解得
当变化时，，的变化情况如下表
所以在内是增函数，在内是减函数．
函数在处取得极大值（1）且（1）．
（Ⅱ）证明：由题意可知，得
令，即
于是
当时，，从而，又，所以，从而函数在，是增函数．
又（1），所以时，有（1），即．
（Ⅲ）证明：（1）若，由及，则．与矛盾．
（2）若，由及，得．与矛盾．
根据（1）（2）得，不妨设，．
由（Ⅱ）可知，，
则，
所以，
从而．
因为，所以，
又由（Ⅰ）可知函数在区间内是增函数，
所以，即．
6．已知函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若有两个零点，，求实数的取值范围，并证明：．
【解析】解：（1）的导数为，
则函数在处的切线斜率为，
又切点为，
则切线的方程为，即；
（2）设函数，与函数具有相同的零点，
，知函数在上递减，上递增，
当，；
可证当时，，即，
即此时，
当时，，
有两个零点，只需（1），即；
证明：方法一：设函数，
则，
且对恒成立
即当时，单调递减，此时，（1），
即当时，，
由已知，则，
则有
由于函数在上递增，即，
即．
方法二：故．
设，则，且，解得，，
要证：，即证明，
即证明，
设，，
令，，则，
在上单调增，（1），
在上单调增，
则（1）．
即时，成立，
7．已知函数（其中，为自然对数的底数，．
（1）若仅有一个极值点，求的取值范围；
（2）证明：当时，有两个零点，，且．
【解析】（1）解：，
由得到或
由于仅有一个极值点，
关于的方程必无解，
①当时，无解，符合题意，
②当时，由得，故由得，
由于这两种情况都有，当时，，于是为减函数，
当时，，于是为增函数，
仅为的极值点，综上可得的取值范围是，；
（2）证明：由（1）当时，为的极小值点，
又对于恒成立，
对于恒成立，
对于恒成立，
当时，有一个零点，
当时，有另一个零点，
即，，
且，
所以，
下面再证明，即证，
由得，
由于，为减函数，
于是只需证明，
也就是证明，，
借助代换可得，
令，
则，
为的减函数，且，
在恒成立，
于是为的减函数，即，
，这就证明了，
综上所述，．
8．已知函数为常数），是的导函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）已知有两个零点，，求证：．
【解析】证明：（Ⅰ）．
当时，则，即在上是增函数，
当时，由，得．
当时，；当，时，．
即在上是减函数，在上是增函数，
（Ⅱ）证明：设，
，
当且仅当时等号成立，但，
，即在上是增函数，所以
不等式恒成立．
（Ⅲ）由知，当时，函数的图象与轴至多有一个交点，
故，从而的最小为，且．
设，，，，，则．
由得．
，，且在上是增函数
又，
．于是，
在上减函数，
．
9．设函数，，其图象与轴交于，，，两点，且．
（1）求的取值范围；
（2）证明：．
【解析】解：（1），
，
若，则，则函数是单调增函数，这与题设矛盾．
，令，则，
当时，，是单调减函数，
当时，，是单调增函数，
于是当时，取得极小值，
函数的图象与轴交于两点，，，，
，即，
此时，存在，（1），
存在，，
又由在及上的单调性及曲线在上不间断，
可知为所求取值范围．
（2），
两式相减得，
记，
则，
设，
则，
是单调减函数，
则有，而，
．
又是单调增函数，且，
．
10．设函数其图象与轴交于，，，两点，且．
（1）求的单调区间和极值点；
（2）证明：是的导函数）；
（3）证明：．
【解析】解：（1）设函数其图象与轴交于，，，两点，所以函数不单调，
有实数解，所以，解得，因为，，单调递减，
时，，单调递增，且是极小值点；
，由题意得，，所以，
所以函数的单调递增区间，单调递减区间，
极小值点是，无极大值点，且．
（2）证明：，
两式相减可得，，令，
则，
，
令，
则，
所以单调递减，，
而，
，
又，
；
（3）证明：由，可得，
，
令，，则，
，
设，则，，
，
，，
，
要证明：，等价于证明：，即证，
即证，
即证，
即证，
令，，
，
在上单调递减，
，
故，
，
，
从而有：．
11．已知函数在处的切线与直线平行．
（1）求实数的值，并求的极值；
（2）若方程有两个不相等的实根，，求证：．
【解析】解：（1）函数的定义域为，，
由题意知（1），．
，
令，则，
当时，；时，．
的极小值为，
证明：（2）由（1）知，由，得，
即，
所以．
，不妨设，
令，，，
则原题转化为有两个实数根，，
又，令，得；
令，得，
在上单调递减，在，上单调递增，
又时，，（1），，
由图象可知，，．
设，，
则．
当时，，
则在上单调递减．
又时，，
得到，即，
又，
，
又，则，且，在上单调递增，
，即，即．
，
0
极小值
0
0
，
，
0
0
极大值
极小值
0
非极值点
1
0
增
极大值
减