新高考数学二轮复习《导数》压轴题突破练第27讲 双极值点问题（2份，原卷版+解析版）

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例1．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个极值点，，且，证明：．
例2．已知函数，又函数两个极值点为，满足；，恰为的零点．
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）当时，求证：．
例3．已知函数．
（Ⅰ）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）当，函数的两个极值点为，，且，求证：．
例4．已知函数．
（Ⅰ）当时，求的最值；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若函数存在两个极值点，，求的取值范围．
例5．已知函数且．
（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数的单调性与单调区间；
（Ⅲ）若有两个极值点，，证明：．
例6．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点，，且，，求证：．
例7．已知函数．
（1）当时，设函数的最小值为（a），证明：（a）；
（2）若函数有两个极值点，，证明：．
例8．已知函数在定义域内有两个不同的极值点．
（1）求实数的取值范围；
（2）设两个极值点分别为，，，证明：．
例9．已知函数．
（Ⅰ）若在上为单调函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，记的两个极值点为，，记的最大值与最小值分别为，，求的值．
例10．已知函数．
（1）若在上为单调函数，求实数的取值范围；
（2）记的两个极值点为，，求证：．
例11．已知函数，．
（Ⅰ）若函数为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，函数的两个极值点为，，且．证明：．
【同步练习】
1．已知函数．
（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，且有两个极值点，，其中，求的取值范围．
2．已知．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且有2个不同的极值点，，求证：．
3．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数存在两个极值点、，证明：．
4．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数存在两个极值点、，求的取值范围．
5．已知函数，．
（1）若存在两个极值点，求实数的取值范围；
（2）若，为的两个极值点，证明：．
6．已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若存在两个极值点，，且，证明：．
7．已知函数，其中．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数存在两个极值点，，且，
证明：．
8．已知函数，．
（1）令函数，若函数在上单调递增，求的取值范围；
（2）若函数存在两个极值点，，且，证明．
9．已知函数（常数且．
（Ⅰ）证明：当时，函数有且只有一个极值点；
（Ⅱ）若函数存在两个极值点，，证明：且．
10．已知函数，其中为正实数．
（1）若函数在处的切线斜率为2，求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数有两个极值点，，求证：．
11．已知函数．
（1）若函数在，上为增函数，求的取值范围；
（2）若函数有两个不同的极值点，记作，，且，证明：为自然对数的底数）．
12．已知函数．
（Ⅰ）若函数在，上为增函数，求的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个不同的极值点，，证明．
13．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，，证明：．
14．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，是的两个极值点，证明：．
15．（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知函数，，如果函数有两个极值点，，求证：．（参考数据：，，，为自然对数的底数）
16．已知函数．
（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若有两个极值点，，求证：．
17．已知函数，函数．
（1）讨论函数得单调性；
（2）设、是函数的两个极值点，若（e），，求的最小值．
18．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，求证：．
19．已知．
（1）求的极值；
（2）若函数有两个极值点，，且为自然对数的底数）恒成立，求实数的取值范围．
20．已知，．
（1）求的极值；
（2）函数有两个极值点，，若恒成立，求实数的取值范围．
21．已知函数，．
（1）求函数的极值；
（2）若，为函数两个不同的极值点．证明：．