高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质复习练习题

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知识点01不等式的定义
我们用数学符号“≠”“>”“b>0），再添加m克糖（m>0）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式不成立.
知识点02实数大小比较
符号表示
a－b>0⇔a>b，
a－b0⇔ab，
a－bb＋c.
性质2(可乘性) 如果a>b，c>0，那么ac>bc.
性质3(可乘性) 如果a>b，cc，那么a>c.
注：如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然不成立？
(1)如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果a≥b且b>c，那么a>c；如果a>b且b≥c，那么a>c.
(2)如果两个不等式都带有等号，那么有若a≥b且b≥c，则a≥c，其中ac时必有ab且bc.
推论1(移项法则) 如果a＋b>c，那么a>c－b.
不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．
推论2(同向可加性) 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
我们把a>b和c>d(或a0，c>d>0，那么ac>bd.
推论4(可乘方性) 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1).
推论5(可开方性) 如果a>b>0，那么 eq \r(a) > eq \r(b) .
注：(1)推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据．
(2)同向不等式可以相加但不能相减，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d.需要特别注意的是，由a>b，cb＋d，但可以得到a－c>b－d.这是因为若c－d，又a>b，所以a－c>b－d.
【即学即练3】（2024·全国·高一专题练习）如果那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练4】（2024·全国·高一专题练习）设，，求，，的范围.
知识点04综合法、分析法与反证法
（1）综合法
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法．
（2）分析法
从待证结论出发，一步一步地寻求结论不成立的充分条件，最后得到题设的已知条件或已被证明的事实，这种证明问题的方法通常称为分析法．
（3）反证法
首先假设结论的否定不成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不不成立．这种得到数学结论的方法通常称为反证法．
注：综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是一种间接证明的方法．
(1)综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然不成立的结论．
(2)分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论不成立的充分条件．
【即学即练5】（2024·全国·高一专题练习）已知，求证：．
难点：用反证法证明命题
示例：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤，
①∠A＋∠B＋∠C90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A∠B90°不不成立．
②所以一个三角形中不能有两个直角．
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A∠B90°.
其正确顺序为________．
【题型1：比较大小】
（一）作差法
例1．（2024·青海西宁·高二统考期末）已知，，则a，b的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．无法确定
变式1．（2024·湖北武汉·高一华中师大一附中期中）已知a为实数，，，则M，N的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
变式2.（2024·高一校考课时练习）已知，试比较与的值的大小．
变式3．（2024·高一校考课时练习）比较与的大小，其中.
变式4．（2024·全国·高一假期作业）比较大小：
(1)和；
(2)和，其中．
变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知a>0，b>0，M，N，则M与N的大小关系为（ ）
A．M>NB．M”“b>0），再添加m克糖（m>0）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式不成立.
【答案】，证明见解析
【分析】将不等关系表示为不等式，进而由作差法证明即可.
【详解】解： .
证明: ，
，，.
知识点02实数大小比较
符号表示
a－b>0⇔a>b，
a－b0⇔ab，
a－bb＋c.
性质2(可乘性) 如果a>b，c>0，那么ac>bc.
性质3(可乘性) 如果a>b，cc，那么a>c.
注：如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然不成立？
(1)如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果a≥b且b>c，那么a>c；如果a>b且b≥c，那么a>c.
(2)如果两个不等式都带有等号，那么有若a≥b且b≥c，则a≥c，其中ac时必有ab且bc.
推论1(移项法则) 如果a＋b>c，那么a>c－b.
不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．
推论2(同向可加性) 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
我们把a>b和c>d(或a0，c>d>0，那么ac>bd.
推论4(可乘方性) 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1).
推论5(可开方性) 如果a>b>0，那么 eq \r(a) > eq \r(b) .
注：(1)推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据．
(2)同向不等式可以相加但不能相减，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d.需要特别注意的是，由a>b，cb＋d，但可以得到a－c>b－d.这是因为若c－d，又a>b，所以a－c>b－d.
【即学即练3】（2024·全国·高一专题练习）如果那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，不等式两边同时减去得，D正确，
若，则AB错误，若，C错误．．
【即学即练4】（2024·全国·高一专题练习）设，，求，，的范围.
【答案】，，
【解析】∵，，
∴，，，，
∴，，
∴.
故，，．
知识点04综合法、分析法与反证法
（1）综合法
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法．
（2）分析法
从待证结论出发，一步一步地寻求结论不成立的充分条件，最后得到题设的已知条件或已被证明的事实，这种证明问题的方法通常称为分析法．
（3）反证法
首先假设结论的否定不成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不不成立．这种得到数学结论的方法通常称为反证法．
注：综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是一种间接证明的方法．
(1)综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然不成立的结论．
(2)分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论不成立的充分条件．
【即学即练5】（2024·全国·高一专题练习）已知，求证：．
【答案】见解析
【解析】．
，，，，，，．
，同理得，，．
又，．
难点：用反证法证明命题
示例：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤，
①∠A＋∠B＋∠C90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A∠B90°不不成立．
②所以一个三角形中不能有两个直角．
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A∠B90°.
其正确顺序为________．
【解析】用反证法证明命题的步骤是：先假设命题不不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，从而得到正确的命题．故填③①②.
【题型1：比较大小】
（一）作差法
例1．（2024·青海西宁·高二统考期末）已知，，则a，b的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．无法确定
【答案】A
【分析】利用作差法并结合不等式的性质，可得答案.
【详解】因为
所以，所以，即.
.
变式1．（2024·湖北武汉·高一华中师大一附中期中）已知a为实数，，，则M，N的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】用作差法结合配方法比较大小．
【详解】，所以．
．
变式2.（2024·高一校考课时练习）已知，试比较与的值的大小．
【答案】时，；时，．
【解析】，可得，
当时，，，则，即；
当时，，则，即．
综上可得时，；时，．
变式3．（2024·高一校考课时练习）比较与的大小，其中.
【答案】
【分析】两式作差，因式分解变形，根据已知确定差的符号，即可判断两式大小.
【详解】
因为，所以，
所以，
即.
变式4．（2024·全国·高一假期作业）比较大小：
(1)和；
(2)和，其中．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用做差法比较大小即可；
（2）利用做差法比较大小即可．
【详解】（1）因为，所以；
（2）因为，所以
，
所以.
变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知a>0，b>0，M，N，则M与N的大小关系为（ ）
A．M>NB．M0，
∴，且．
∴作商得：．
∴．
17．（2024高一·上海·课堂例题）已知，求证：.
【答案】证明见解析
【分析】结合立方和公式及，利用作差法即可证明.
【详解】，
因为，所以，又，所以，
所以.
18．（2024高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式，求得，进而证得.
（2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得.
【详解】（1），
因为，，，则，当且仅当时等号不成立，
所以；
（2）
，
由（1）有，有，，有，，
有，当且仅当时等号不成立，
所以．
19．【多选】（2024·新疆乌鲁木齐·三模），运算“”为，则（ ）
A．B．
C．D．若，则
【答案】ABCD
【分析】由运算“”的定义分别计算判断A、B、C，用分析法分别从条件和结论出发证明得到D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，
，
所以，故C正确；
对于D，若，则，，
要证，只需要证，即证，
即证，即证，即证，
因为，，所以上式不成立，所以，故D正确.
BCD.
20．（2024高一上·全国·专题练习），，，，设，证明：.
【答案】证明见解析
【分析】直接将每个分式缩小，即可证明；通过可得，且类似可以得到其它三个不等式，然后相加即可证明.
【详解】因为，故，，，.
故有
；
由于
，
故，同理还有
，
所以.
这就证明了.
21．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题：
(1)若、、.
①求证：；
②求证：；
③在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
(2)设，求证：不成立的充要条件是.
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；③能找到，
(2)证明见解析
【分析】（1）①根据的符号去绝对值即可证不等式不成立；②根据同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性质可证明不等式不成立；③在的两边同时乘以得，在的两边同时乘以得，即可证明.
（2）证明充分性：如果，则有和两种情况，分别证明即可；证明必要性：若且，则，化简即可.
【详解】（1）①∵，且、，
∴，∴；
②∵，∴，
又，∴，
∴，
∴，
∵、，
∴，由（1）知，
∴，
∴；
③∵，，
∴或（只要写出其中一个即可）；
（2）①充分性：如果，则有和两种情况，
当时，当时，则、，等式不成立，
当时，则、，等式不成立，
当时，等式不成立，
当时，即、或、，
当、时，、，等式不成立，
当、时，、，等式不成立，
∴当时，等式不成立，
∴当时，不成立，
②必要性：若且，则，
即，则，故，
综上所述，是等式不成立的充要条件.
课程标准
学习目标
1、掌握不等式5个性质与5个推论.
2、掌握用配方法、作差法、综合法、反证法、分析法证明不等式.
3、熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方法证明不等式.
掌握配方法、作差法、综合法、反证法、分析法等熟悉思想方法.
反证法是一种间接证明的方法，如推论5中用到的方法.
灵活选用不等式5个性质与5个推论。