高中人教B版 (2019)2.2.1 直线的倾斜角与斜率同步练习题

这是一份高中人教B版 (2019)2.2.1 直线的倾斜角与斜率同步练习题，共52页。试卷主要包含了定义，规定，范围，图形等内容，欢迎下载使用。

知识点01 直线的倾斜角
1.定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，则α叫做直线的倾斜角.
2.规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，
3.范围：[0,π)
4.图形：
【即学即练1】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）若直线l过两点0,0和1,−3，则直线l的倾斜角为（ ）
A．π3B．23πC．56πD．π6
【即学即练2】（23-24高二上·湖北武汉·期末）若直线l的斜率为k，且k2=3，则直线l的倾斜角为（ ）
A．30°或150°B．60°或120°C．45°或135°D．90°或180°
知识点02直线的斜率
1.定义：一般的，如果直线l的倾斜角为α，则当α≠90°时，称k=tanα为直线l的斜率；当α=90°时，称直线l的斜率不存在.
2.公式：已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)，是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k=y2−y1x2−x1，当x1=x2时，直线l的斜率不存在.
【即学即练3】（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知直线l的倾斜角为π4，则直线l的斜率为（ ）
A．33B．−1C．1D．3
【即学即练4】（23-24高二上·河北石家庄·期中）过两点1,2和−2,1的直线的斜率为（ ）
A．3B．−3C．13D．−13
知识点03 直线的方向向量
1.定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合 ，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a//l
2.性质：①如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②如果A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l上两个不同的点，则AB=(x2-x1,y2-y1)是直线l的一个方向向量.
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③若α为直线l的倾斜角，则（csα，sinα）一定是直线l的一个方向向量.
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④如果已知a=（u,v）为直线l的一个方向向量，则当u=0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°；当u≠0时，直线l的斜率是存在的，直线l的斜率k=vu,即tanα=vu.
【即学即练5】（23-24高二上·湖北黄石·期末）已知(−3,3)是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【即学即练6】（23-24高二下·全国·课堂例题）已知直线l通过点A(0,1)与B(1,1−3)，则直线l的一个方向向量为 .
知识点04 直线的法向量
一般的，如果表示非零向量的v的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l，一条直线的方向向量与法向量互相垂直.
【即学即练7】（23-24高二上·上海奉贤·期末）直线3x−y+1=0的法向量可以为（ ）
A．n=3,1B．n=1,3
C．n=−1,3D．n=3,−1
【即学即练8】（23-24高二下·全国·课堂例题）若1,3是直线l的一个法向量，则直线l的斜率为 ，倾斜角的大小为 ．
难点：动点问题
示例1：（23-24高二下·全国·课后作业）已知实数x，y满足y=15x−35，且−2≤x≤3，则y−2x+1的取值范围（ ）
A．−∞,−12∪3,+∞B．−12,3
C．−∞,−1∪3,+∞D．−1,3
【题型1：直线的倾斜角】
例1．（21-22高二下·安徽芜湖·阶段练习）直线x=tanπ6的倾斜角是（ ）
A．0B．π6C．π3D．π2
变式1．（23-24高二下·宁夏吴忠·开学考试）若直线经过A1,0、B2,3两点，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
变式2．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）图中α能表示直线l的倾斜角的是（ ）
A．①④B．①②C．①③D．②④
变式3．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l的倾斜角为α，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为（ ）
A．αB．90°−α
C．180°−αD．90°+α
变式4．（多选）（24-25高二上·全国·课堂例题）设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为（ ）
A．α+45°B．α−135°
C．135°−αD．α−45°
变式5．（多选）（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tanα
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°
变式6．（多选）（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα
C．若A1,−3，B1,3，则直线AB的倾斜角为90°
D．若直线过点1,2，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点3,4
变式7．（24-25高二上·上海·课后作业）若θ∈−π2,π2，则经过两点P0,0，Qsinθ,csθ的直线的倾斜角为 ．
【方法技巧与总结】
求直线倾斜角的方法及关注点
（1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角.
（2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论.
【题型2：直线的斜率】
例2．（23-24高二上·江西·期末）已知直线l的倾斜角为1rad，则l的斜率为（ ）
A．1B．45C．tan1D．tan1°
变式1．（23-24高二上·湖北十堰·期中）直线y+3=0的斜率为（ ）
A．不存在B．−3C．13D．0
变式2．（23-24高二上·河南郑州·期中）已知直线l经过1,0，1,3两点，直线l的倾斜角是直线m的倾斜角的两倍，则直线m的斜率是（ ）
A．0B．1C．-2D．不存在
变式3．（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）过点A1,2和点B(1,−2)的直线的倾斜角和斜率分别是 （ ）
A．45∘，1B．90∘，不存在C．135∘，−1D．0°，0
变式4．（23-24高二上·广东茂名·期中）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，写出该正方形的一条边所在直线的斜率为 ．
变式5．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l上的一点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，仍在该直线l上，则直线l的斜率为 ．
变式6．（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）直线l的倾斜角α满足sinα=1213，则直线l斜率为 .
变式7．（2024·上海青浦·二模）已知直线l1的倾斜角比直线l2:y=xtan80°的倾斜角小20°，则l1的斜率为 ．
【方法技巧与总结】
斜率公式是最基本的求解直线斜率的方法。如有直线的两个点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，x1≠x2，则该直线的斜率为:k=y2−y1x2−x1
【题型3：倾斜角与斜率的变化】
例3．（2023高二上·江苏·专题练习）如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（ ）
A．k1