数学必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件练习题

这是一份数学必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件练习题，共46页。

知识点01 充分条件与必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论不成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论不成立的一个必要条件．
注意：对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释：
“若p，则q”形式的命题为真命题；
（2）由条件p可以得到结论 q；
（3）p是q的充分条件或q的充分条件是p；
（4）只要有条件p，就一定有结论 q，即p对于q是充分的；
（5）q是p的必要条件或p的必要条件是q；
（6）一旦q不不成立，p一定也不不成立，q不成立对于p不成立是必要的.
显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已.
【即学即练1】（2024·江苏·高一假期作业）“”是“”的________条件，“”是“”的________条件（用“充分”“必要”填空）．
【即学即练2】（2024·高一课时练习）关于x的方程有实根的一个充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
知识点02 充分条件、必要条件与充要条件
如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论不成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论不成立的一个必要条件；每一条数学定义都给出了相应数学结论不成立的一个充要条件
1、充分不必要条件：如果且，则称是的充分不必要条件；
2、必要不充分条件：如果且，则称是的必要不充分条件；
3、充要条件：如果且，则称是的充分必要条件，简称充要条件；
4、既不充分也不必要条件：如果且，则称是的既不充分也不必要条件
【即学即练3】（2023·高一单元测试）若a,b∈R，则“a>1,b>1”的充分不必要条件是（ ）
A．ab>1且a+b>2B．ab>1且(a−1)(b−1)>0
C．a+b>2且(a−1)(b−1)>0D．a+b>3且(a−1)(b−1)>0
【即学即练4】（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）对任意的实数x，y，则“x+y=0”是“x2+y2=0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
知识点03 充分必要条件与集合的关系
若条件p，q以集合的形式出现，即A{x|p(x)}，B{x|q(x)}，
则由A⊆B可得，p是q的充分条件，
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A⊇B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若AB，则p是q的充要条件；
⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；
若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
【即学即练5】（2024·高一单元测试）已知全集，集合，.
(1)当时，求和；
(2)若“”是“”不成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
难点：充分条件、必要条件、充要条件的应用
已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．
【题型1：充分条件、必要条件、充要条件的判断】
例1.（2024·全国·高一专题练习）“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席1935年10月所写的一首词《清平乐·六盘山》，反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神.从数学逻辑角度分析，其中“好汉”是“到长城”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式1.（2024·江苏·高一假期作业）已知，，则是的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式2.（2024·江苏·高一假期作业）下列命题中，p是q的什么条件？
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(2)p：，q：.
变式3.（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）指出下列各组命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答）
(1)p：x为自然数，q：x为整数；
(2)p：，q：；
(3)p：同位角相等，q：两直线平行；
(4)p：四边形的两条对角线相等，q：四边形是平行四边形．
变式4.（2024·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式5.（2024·江苏·高一假期作业）“”是“”的 条件．
变式6.（2023春·河北保定·高二定州市第二中学校考阶段练习）设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
变式7.（2023春·浙江温州·高二校联考期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
变式8.（2023春·河北沧州·高二统考期末）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式9.（2024·全国·高一假期作业）设：或；：或，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式10.（2024·全国·高三专题练习）是方程有实根且的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式11.（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知命题：，，则“”是“是真命题”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式12.【多选】（2023春·湖南常德·高一统考期末）下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”的否定是“”
C．的充要条件是
D．若，则至少有一个大于1
变式13.【多选】（2023秋·江西赣州·高一统考期中）下列结论正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“，有”的否定是“，使”
D．“是方程的实数根”的充要条件是“”
变式14.（2023秋·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（ ）
A．，
B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等
C．，
D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等
【方法技巧与总结】
充分条件、必要条件、充要条件的判断方法
（1）定义法
①分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．
②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．
③根据推式及条件得出结论．
（2）等价转化法
①等价法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．
②逆否法：这是等价法的一种特殊情况．
若¬p⇒¬q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；
若¬p⇒¬q，且¬q ¬p，则p是q的必要不充分条件；
若¬p⇔¬q，则p与q互为充要条件；
若¬p ¬q，且¬q ¬p，则p是q的既不充分也不必要条件．
（3）集合法：写出集合A{x|p(x)}及B{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断．
若条件p，q以集合的形式出现，即A{x|p(x)}，B{x|q(x)}，
则由A⊆B可得，p是q的充分条件，
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A⊇B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若AB，则p是q的充要条件；
⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
（4）传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断．
（5）特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．
注：充分必要条件判断精髓：
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
【题型2：求条件(充分条件、必要条件和充要条件)】
例2．（2024·湖南衡阳·高二校联考学业考试）使不等式不成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2024·全国·高三专题练习）已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2024·全国·高三对口高考）给出以下四个条件：①；②或；③；④且．其中可以作为“若，则”的一个充分而不必要条件的是 ．
变式3.（2023春·陕西商洛·高二校考阶段练习）不等式“在上恒不成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
变式4.（2024·全国·高三专题练习）不等式（）恒不成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥1B．a＞1C．D．a＞2
变式5.（2024·重庆·统考模拟预测）命题“”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
变式6.（2023秋·高一课时练习）方程有实根的充要条件是 ，方程有实根的一个充分而不必要条件可以是 .
变式7.【多选】（2024·全国·高一假期作业）设全集为U，在下列选项中，是的充要条件的是（ ）
A．B．C．D．
变式8.（2023秋·甘肃兰州·高一校考期末）命题“”是真命题的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
探求充要条件一般有两种方法
(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之不成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其不成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
【题型3：充分条件、必要条件、充要条件的应用】
例3．（2024·上海长宁·统考二模）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 ．
变式1.（2023秋·陕西安康·高一校联考期末）已知条件，条件，且是的必要条件，求的取值集合．
变式2.（2024·全国·高一专题练习）已知P{x|a－41且a+b>2B．ab>1且(a−1)(b−1)>0
C．a+b>2且(a−1)(b−1)>0D．a+b>3且(a−1)(b−1)>0
【答案】A
【分析】对于选项A和B，可通过对a,b取特殊值进行验证判断，从而判断出正误；对于选项C，利用选项C中的条件，得出a>1,b>1，从而得出选项C是充要条件，从而判断出不符合结果，进而得出结论.
【详解】对于A，当a=12,b=4时，有ab>1且a+b>2，但a1且(a−1)(b−1)>0，但得不出a>1,b>1，故B错误；
对于C，由(a−1)(b−1)>0，得到a>1且b>1或a1且b>1，此时是充要条件，故C错误；
综上，可知符合条件的为选项D.
.
【即学即练4】（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）对任意的实数x，y，则“x+y=0”是“x2+y2=0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】取特殊值可判断充分性，根据x2+y2=0得x=y=0，从而可判断必要条件.
【详解】取x=−1,y=1，此时x+y=0，但x2+y2=0，故“x+y=0”不是“x2+y2=0”的充分条件.
当x2+y2=0时，x=y=0，此时x+y=0，故“x+y=0”是“x2+y2=0”的必要条件.
故“x+y=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件.
故选:B.
知识点03 充分必要条件与集合的关系
若条件p，q以集合的形式出现，即A{x|p(x)}，B{x|q(x)}，
则由A⊆B可得，p是q的充分条件，
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A⊇B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若AB，则p是q的充要条件；
⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
充分必要条件判断精髓：
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；
若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
【即学即练5】（2024·高一单元测试）已知全集，集合，.
(1)当时，求和；
(2)若“”是“”不成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可；
（2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可
【详解】（1）当时，集合，
因为，所以.
所以，
（2）因为“”是“”不成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，而不为空集，
所以，因此.
难点：充分条件、必要条件、充要条件的应用
已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．
思路分析：
【解析】 令M{x|2x2－3x－2≥0}{x|(2x＋1)(x－2)≥0}{x|x≤−12或x≥2}；
N{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}{x|x≤a－2或x≥a}，
由已知p⇒q且q p，得MN.
∴a−2≥−12，a−12，a≤2，
解得32≤a