8.6.2第一课时　直线与平面垂直的判定-2024-2025学年高中数学新版同步课件（人教A版必修二）

第八章 8.6　空间直线、平面的垂直 8.6.2　直线与平面垂直第一课时　直线与平面垂直的判定课标要求1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并加以证明. 2.会应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直. 3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题.在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象.正因为日常生活中有许多线面垂直的关系，所以，今天我们有必要对线面垂直做进一步的研究.引入课时精练一、直线与平面垂直的定义二、直线与平面垂直的判定定理及应用三、直线与平面所成的角课堂达标内容索引直线与平面垂直的定义一探究1 如图，在阳光下观察，直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，它们的位置关系如何？那么与不过点B的任意一条直线B′C′的位置关系又如何呢？提示　始终保持垂直.与B′C′也垂直，即可得到旗杆AB与地面上的任意一条直线都垂直.探究2 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？ 提示　可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.直线与平面垂直知识梳理(1)定义：如果直线l与平面α内的__________直线都垂直，那么直线l与平面α互相垂直，记作________.任意一条l⊥α(2)有关概念公共点垂线段温馨提示(1)定义中的“任意一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式.例1下列命题中，正确的序号是________.①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.④⑤当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确.故填④⑤.1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.(多选)下列说法，正确的是A.若直线l垂直于α，则直线l垂直于α内任一直线B.若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交、可能异面、也可能平行C.若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥bD.若a⊥b，b⊥α，则a∥α训练1√√由线面垂直的定义知，A正确；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的；而D中，a可能在α内，所以D错误.直线与平面垂直的判定定理及应用二探究3 数学实验1：将一张矩形纸片沿AB对折后略为展开，竖立在桌面上，我们可以观察到折痕AB与桌面垂直.如图所示：数学实验2：如图，将一张矩形纸片沿AB对折后略为展开，使DB，BF在桌面内，观察折痕AB还与桌面垂直吗？提示　不垂直.探究4 对比两个数学实验，探究直线与平面垂直的充分条件. 提示　直线与平面内两条相交直线垂直.知识梳理直线与平面垂直的判定定理两条相交温馨提示(1)判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直.(2)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.至于这两条直线是否与已知直线有无交点，这是无关紧要的.(链接教材P152练习T2)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于点D，求证：AD⊥平面SBC.例2因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，又SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以SA⊥BC，又AC∩SA＝A，SA⊂平面SAC，AC⊂平面SAC，所以BC⊥平面SAC，因为AD⊂平面SAC，所以BC⊥AD.又SC⊥AD，SC∩BC＝C，SC⊂平面SBC，BC⊂平面SBC，所以AD⊥平面SBC.1.利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使要证直线和这两条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论.2.平行转化法(利用推论)证明线面垂直训练2如图所示，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS，∴∠SDB＝∠SDA，∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC，又由(1)知SD⊥BD.又∵ SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC.直线与平面所成的角三探究5 当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成角逐渐增大，观察思考铅笔和桌面所成角怎样定义？ 提示　铅笔和它在桌面上的射影所成的角.知识梳理直线和平面所成的角相交垂直垂线垂足斜足交点90°0°0°≤θ≤90°温馨提示(1)斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；(2)斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.例3(链接教材P152例4)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.如图，连接BC1，BC1与B1C相交于点O，连接A1O. 设正方体的棱长为a.因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1.又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1DCB1，所以BC1⊥平面A1DCB1，所以A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角.所以∠BA1O＝30°，所以直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.求直线与平面所成角的一般步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.(3)计算：通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算.训练3如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.由题意知A是M在平面ABC上的射影，∴MA⊥平面ABC，∴MC在平面CAB上的射影为AC，∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，∴MC＝BMsin ∠MBC＝5sin 60°在Rt△MAB中，在Rt△MAC中，【课堂达标】1.(多选)若直线l与平面α垂直，则下列说法正确的是A.直线l与平面α内的所有直线都垂直B.在平面α内存在与直线l异面的直线C.在平面α内存在无数条直线与直线l相交D.在平面α内存在与直线l平行的直线√在平面α内不存在与直线l平行的直线，故D错误.√√√2.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC.3.(多选)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是 A.三角形的两边 B.梯形的两边 C.圆的两条直径 D.正六边形的两条边√由线面垂直的判定定理知，直线垂直于A，C图形所在的平面，√对于B，D图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.4.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为________.因为PA⊥平面ABC，45°所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.【课时精练】√1.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面 A.有且只有一个 B.至多有一个 C.有一个或无数个 D.不存在设过m的平面为β，若n⊥β，则n⊥m，故若m与n不垂直，则不存在过m的平面β与n垂直，故过m与n垂直的平面至多一个.√2.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是 A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.√3.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是连接AC(图略)，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.A.平行 B.垂直相交C.垂直但不相交 D.相交但不垂直又MC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，则BD⊥MC，因为AC∩ MC＝C，且AC，MC⊂平面AMC，所以BD⊥平面AMC，又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD，显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.√4.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，则在四面体AOEF中，下列说法中正确的是∵在原正方形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，BC⊥CD，A.AH⊥平面OEF B.AO⊥平面OEFC.AE⊥平面OEF D.AF⊥平面OEF∴折叠后AO⊥OE，AO⊥OF，又OE∩OF＝O，∴AO⊥平面OEF，故B正确；如图，连接AH，因为过一点与一平面垂直的直线有且只有一条，且AE，AF，AH均不与AO重合，∴AE，AF，AH均不与平面OEF垂直，故A，C，D错误.√5.在正三棱锥P－ABC中，AB＝3，PA＝2，则直线PA与平面ABC所成角的大小为 A.30° B.45° C.60° D.75°如图，取底面正三角形ABC的中心O，连接PO，则PO⊥平面ABC，连接AO并延长，交BC于点D，则D为BC的中点.所以AP在平面ABC上的射影为AO，所以PA与平面ABC所成角为∠PAO.故直线PA与平面ABC所成角的大小为30°.6.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是________.∵AB⊥α，l⊂α，∴AB⊥l，l ⊥AC又BC⊥β，l⊂β，∴BC⊥l，又AB∩BC＝B，且AB，BC⊂平面ABC，∴直线l⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，故l⊥AC.由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.30°∴∠PCA＝30°，即PC与平面ABCD所成的角为30°.8.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，正方形ABCD的面积为16，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为________.∵AB⊥平面BB1C1C，故∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角，即∠AC1B＝30°.9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求： (1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值；如图所示，连接DB，∵D1D⊥平面ABCD，∴DB是D1B在平面ABCD内的射影，则∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角.(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角.∵E是A1A的中点，A1A⊥平面A1B1C1D1，∴∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角.在Rt△EA1F中，∵F是A1D1的中点，∴∠EFA1＝45°，即EF与平面A1B1C1D1所成的角为45°.10.如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上异于A，B两点的任意一点，AN⊥PM，N为垂足. (1)求证：AN⊥平面PBM；∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PA⊥BM，又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，∴BM⊥平面PAM，又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN，又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM，∴AN⊥平面PBM .由(1)知AN⊥平面PBM，(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.√11.(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是√对于A，易证AB与CE所成的角为45°，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于B，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE；对于C，易证AB与CE所成的角为60°，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于D，如图，设正方体的上底面为EFDB，连接BF，由正方形的性质可得DE⊥BF，而AF⊥平面EFDB，可得AF⊥DE，且BF∩AF＝F，则DE⊥平面ABF，即有DE⊥AB，同理可得AB⊥CE，且ED∩EC＝E，所以AB⊥平面CDE.√如图，取BD的中点F，连接EF，AF.因为E，F分别为PB，BD的中点，因为PD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，因为AF⊂平面ABCD，所以EF⊥AF，所以直线AE与平面ABCD所成角为∠EAF.因为四边形ABCD是边长2的正方形，解得a＝1，故PD＝2EF＝2.13.如图，PA垂直矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.取PD的中点E，连接NE，AE，如图.(1)求证：MN∥平面PAD；∴NE∥AM，且NE＝AM，∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.∵AE⊂平面APD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD.(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∵E是PD的中点，∴AE⊥PD.又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD.∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD.14.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件______________________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C.A1C1⊥B1C1(答案不唯一)因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1.由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等) 本课结束