人教版数学八上同步考点分类训练专题19 分式的运算（2份，原卷版+解析版）

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专题19 分式的运算【思维导图】◎考点题型1 分式的乘法 分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作积的分子,分母的积作积的分母.用式子表示为：.例．（2022·山东菏泽·八年级期末）下列分式运算，结果正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式的乘方，分式乘法分别进行判断即可．【详解】解：A. ，故该选项错误；       B. ，故该选项错误；C. ，故该选项正确；       D. ，故该选项错误．故选：C．【点睛】本题考查分式的乘方及分式的乘法，解题关键是掌握相关的运算法则．变式1．（2022·湖南衡阳·八年级期末）计算的结果是（　　）A． B． C． D．0【答案】C【分析】根据分式的乘法运算法则来求解．【详解】解：．故选：C．【点睛】本题主要考查了分式乘法的运算法则，理解约分是解答关键．变式2．（2022·江苏·八年级）化简的结果正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先将分子分母因式分解，再根据分式的乘法以及分式的性质约分化简即可．【详解】解：故选A【点睛】本题考查了分式的乘法运算，掌握分式的性质是解题的关键．变式3．（2022·江苏·八年级）计算的结果是（     ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分式的乘法解决此题．【详解】解：．故选：A．【点睛】本题主要考查分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解决本题的关键．◎考点题型2 分式的除法分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为：.例．（2022·河北承德·八年级期末）化简，正确结果是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分式的除法进行计算即可求解．【详解】解：原式＝，故选D．【点睛】本题考查了分式的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．变式1．（2022·四川广元·八年级期末）下列计算结果正确的有（       ）①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】求出每个式子的值，再进行判断即可．【详解】解：①，正确；②，正确；③，正确；④，错误．故选：C．【点睛】本题考查了分式的混合运算等的应用，主要考查学生的计算能力，掌握分式的运算性质是解题的关键．变式2．（2022·江西九江·八年级期末）计算的结果为（       ）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根据分式的除法计算法则求解即可．【详解】解：，故选B．【点睛】本题主要考查了分式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键．变式3．（2022·安徽滁州·七年级阶段练习）下列运算正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法和分式的计算规则来计算即可；【详解】解：A、-m5，故本选项错误；B、，本选项正确；C、a6÷a3=a3，本选项错误；D、，本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和分式的计算；熟练掌握运算的计算法则是解决本题的关键．◎考点题型3 分式的乘方分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：例．（2022·河南南阳·八年级期中）计算的正确结果是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用分式的性质结合乘方运算法则化简得出答案．【详解】解：．故选：D．【点睛】本题主要考查了分式的乘除法，解题的关键是正确掌握相关运算法则．变式1．（2022·海南省直辖县级单位·八年级期末）下列运算正确的是（ 　）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据同底数幂相除，幂的乘方，同底数幂相乘，分式的乘方，逐项判断即可求解．【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；B、，故本选项正确，符合题意；C、，故本选项错误，不符合题意；D、，故本选项错误，不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了同底数幂相除，幂的乘方，同底数幂相乘，分式的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．变式2．（2022·内蒙古包头·模拟预测）下列运算正确的是（       ）A．（）3＝ B．3a3•2a2＝6a6C．4a6÷2a2＝2a3 D．（3a2）3＝27a6【答案】D【分析】根据积的乘方、单项式乘单项式、单项式除单项式的运算法则进行判断即可．【详解】A.＝，故A错误；B.＝6a5，故B错误；C.＝2a4，故C错误；D.＝27a6，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握积的乘方、单项式乘单项式、单项式除单项式的运算法则，是解题的关键．变式3．（2021·全国·八年级课时练习）计算的结果是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】原式利用乘方的意义计算即可得到结果．【详解】解：==故选 C【点睛】此题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．◎考点题型4 分式的乘除乘方混合运算例．（2021·河北石家庄·八年级期中）的结果是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先把每一项因式分解，然后根据分式的混合运算法则求解即可．【详解】===故选：B．【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是先对每一项因式分解，然后再根据分式的混合运算法则求解．变式1．（2021·全国·八年级专题练习）计算的结果为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式乘除运算法则对原式变形后，约分即可得到结果．【详解】解： ==.故选：B.【点睛】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式2．（2021·全国·八年级专题练习）计算的结果是（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】原式==.故选D.【点睛】本题主要考查分式的乘除，解题的关键在于先去括号，要注意的是系数也要乘方，然后将除法变成乘法进行计算即可.变式3．（2019·全国·七年级单元测试）下列各式中.计算结果正确的有（       ）①；②；③；④.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【分析】利用分式的运算法则一一计算判断即可：①分子与分子相乘，分母与分母相乘，最后结果写成最简分式；②根据除法法则，将原式化成乘法，再计算即可；③先约分，再计算即可；④先算乘方，再将除法变乘法，最后计算即可.【详解】①，故①错误；②，故②错误；③，故③错误；④，故④错误；综上答案选A.【点睛】本题考查的是分式的运算，能够掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键.◎考点题型5 分式的同分母相加减分式加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.用式子表示是：.例．（2021·河北承德·八年级期末）若（     ），则（     ）中的数是（        ）A． B． C． D．任意实数【答案】B【分析】把和两个式子相加即可．【详解】解：因为（     ），===2所以（     ）中的数是2，故选B．【点睛】本题考查了分式的加减，解题关键是熟练运用分式加减法则进行计算．变式1．（2022·贵州铜仁·八年级期末）化简的结果是（       ）A．x B． C． D．【答案】A【分析】按同分母分式减法法则计算即可．【详解】解：===x，故选：A．【点睛】本题考查同分母分式减法，熟练掌握同分母分式减法法则：分母不变，分子相减是解题的关键．变式2．（2022·福建宁德·八年级期末）计算的结果是（       ）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】利用分式的减法的法则进行求解即可．【详解】解：原式===1故选：A【点睛】本题主要考查分式的减法，解答的关键是掌握分式的减法的法则．变式3．（2022·天津河西·二模）计算的结果是（       ）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】利用同分母分式加减法进行计算即可得出答案．【详解】解：．故选：A．【点睛】本题考查分式的加减计算，正确地计算能力是解决问题的关键．◎考点题型6 分式的异分母相加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.用式子表示是：.例．（2022·山西·九年级专题练习）化简的结果是（　　）A．m﹣2 B．m+2 C． D．【答案】C【分析】先将原式通分，再利用同分母分式的减法法则计算．【详解】解：原式 ，故选：C．【点睛】本题考查了分式的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．变式1．（2022·河南新乡·八年级期末）若，，则的值是（       ）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】将所求式子变形，再整体代入即可得到答案．【详解】解：∵x+y=3，xy=-3，∴===-2，故选：C．【点睛】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质和整体思想的应用．变式2．（2021·陕西榆林·八年级期末）下列计算正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式加法、减法、乘法，除法法则，进行计算逐一判断即可解答．【详解】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、故C符合题意；D、，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了分式的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．变式3．（2022·河南南阳·八年级期中）化简分式的结果正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先将分式的分母进因式分解，然后进行通分，最后化简即可．【详解】解：原式＝＝＝＝故选：C【点睛】此题考查了分式化简问题，解题关键是用因式分解以及通分进行化简．◎考点题型7 整式与分式相加减例．（2022·江苏宿迁·八年级期末）若，则式子的值是（   ）A．-2 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根据代数式的值可得，代入将化简后的分式，即可求解．【详解】解：∵，∴故选A【点睛】本题考查了分式的减法运算，求分式的值，整体代入是解题的关键．变式1．（2022·河北·威县第三中学一模）若，则“（       ）”中的式子是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意知“（）”中的式子为，计算求解即可．【详解】解：故选A．【点睛】本题考查了分式的加减．解题的关键在于正确的运算．变式2．（2019·河北保定·三模）下列式子运算结果为的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式的加减乘除运算逐项判断即可．【详解】A、，此项不符题意B、，此项不符题意C、，此项符合题意D、，此项不符题意故选：C．【点睛】本题考查了分式的加减乘除运算，熟记分式的运算法则是解题关键．变式3．（2021·全国·八年级专题练习）计算的结果为（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式的加减运算计算可得．【详解】解：原式==故选B．【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．◎考点题型8 分式的加减混合预算例．（2022·浙江绍兴·七年级阶段练习）已知：，则的值为（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】已知等式两边除以，求出的值，再代入即可得到结果．【详解】解：∵，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查分式的混合运算，化简求值，运用了整体代入的思想方法．解题的关键是利用了等式的两边同时除以不为零的数，等式仍然成立．变式1．（2022·山东临沂·八年级期末）化简的结果是（        ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．变式2．（2021·安徽合肥·七年级期末）已知则的值为（       ）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【分析】对进行恒等变换得到的值．【详解】∵∴∴∴，即．故答案选：C．【点睛】本题是对代数式的恒等变换．通过变换得到所求代数式是本题解题的关键．变式3．（2021·河北邯郸·三模）若，则（       ）中的数是（       ）A． B．1 C． D．任意实数【答案】A【分析】将看成差，将看成减数，用差加上减数即可求出被减数的值．【详解】解：＝＝＝＝．故选：A．【点睛】本题主要考查分式的加减，熟练掌握分式的加减的运算法则是解题的关键．◎考点题型9 分式加减的实际应用例．（2022·河南新乡·八年级期中）已知分式，，当时，与的大小关系是（       ）A． B． C． D．无法确定【答案】A【分析】根据分式的加减法法则化简，再根据判断的正负即可得．【详解】解：因为，，所以，因为，所以，所以，即，故选：A．【点睛】本题考查了分式加减法的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．变式1．（2021·重庆巫溪·八年级期末）从甲地到乙地的距离是s千米，一辆汽车以a千米/时的速度从甲地开往乙地，然后立即以b千米/时的速度从乙地返回甲地，则汽车往返所需的时间是（调头时间忽略不计）（       ）A．小时 B．小时 C．小时 D．小时【答案】C【分析】根据时间=路程÷速度，计算出去的时间和返回的时间，再根据往返所需的时间=去的时间+返回的时间，列出式子计算即可．【详解】解：由题意，得往返所需的时间为：小时，故选：C．【点睛】本题考查分式加法的应用，掌握往返所需的时间=去的时间+返回的时间是解题的关键．变式2．（2022·浙江·九年级专题练习）某工程队要修路20千米，原计划平均每天修x千米，实际平均每天多修了0.1千米，则完成任务提前了（　　）A．（）天 B．（）天 C．（）天 D．（）天【答案】A【分析】工程提前的天数＝原计划的天数﹣实际用的天数，把相关数值代入即可．【详解】解：原计划用的天数为，实际用的天数为， 故工程提前的天数为（）天． 故选：A．【点睛】此题考查了列分式解决实际问题，正确理解题意是解题的关键．变式3．（2021·山东泰安·八年级期中）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格略有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次用去800元，乙每次购买1000千克，而不管购买多少饲料．设两次购买饲料的单价分别为m元/千克和n元千克（m，n是正数，且），那么甲、乙所购买的饲料的平均单价（       ）A．甲所购买的饲料的平均单价低 B．乙所购买的饲料的平均单价低C．甲、乙所购买的饲料的平均单价相同 D．不能比较【答案】A【分析】根据题意分别表示出甲、乙所购买的饲料的平均单价，然后作差求解即可判断．【详解】解：甲两次购买饲料的平均单价为：（元/千克），乙两次购买饲料的平均单价为（元/千克），甲、乙两种饲料的平均单价的差是：，由于m、n是正数，因为m≠n时，也是正数，即，因此甲的购货方式更合算．故选：A．【点睛】此题考查了分式在实际生活中的应用，分式的加减混合运算，解题的关键是根据题意列出分式分别表示出甲、乙所购买的饲料的平均单价．◎考点题型10 分式的加减乘除混合运算例．（2022·广西梧州·七年级期末）计算，结果正确的是(     )A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式的混合运算进行计算，先根据异分母的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法运算，进而根据分式的性质约分即可求解．【详解】解：原式＝．故选B．【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确的计算是解题的关键．变式1．（2022·江苏连云港·八年级期末）若“计算”的运算结果是1，则被墨迹覆盖的这个运算符号是（        ）A．+ B．－ C．× D．÷【答案】B【分析】根据分式四则运算分别进行计算即可求解．【详解】解：∵＋=，－=1，×=，÷=，故选B【点睛】本题考查了分式的加减乘除运算，掌握分式的加减乘除运算是解题的关键．变式2．（2022·江苏无锡·八年级期末）下列运算结果正确的是（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分式的性质、分式的四则运算逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；       B. ，故该选项不正确，不符合题意；       C. ，故该选项不正确，不符合题意；D. ，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了分式的性质、分式的四则运算，正确的计算是解题的关键．变式3．（2022·山东威海·中考真题）试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为(     )A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．【详解】解：★=★=★==，故选A．【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．◎考点题型11 分式的化简求值例．（2022·云南文山·八年级期末）若xy＝x－y，则分式（       ）A． B．－1 C．y－x D．1【答案】B【分析】先进行分式的加减计算，再代换进行解答即可．【详解】解：∵xy＝x－y，∴=，故选B．【点睛】本题考查分式的计算，解题关键是根据分式的加减计算解答．变式1．（2023·江苏·七年级专题练习）已知m＝2，则代数式（m）•的值为（　　）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【答案】C【分析】先算括号内，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】解：（m）•＝•＝m+1当m＝2时，原式＝2+1＝3，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查了分式的化简求值，先对括号内的进行通分，化简，再与括号外的进行约分得到最简式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的值．变式2．（2022·四川省内江市第六中学八年级期中）已知，则分式的值为（　　）A． B． C． D．﹣【答案】B【分析】先去分母得y-x=3xy，代入分式，约分后即可．【详解】解：∵，∴y-x=3xy，∴原式=，故选：B．【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值，熟练掌握分式计算的步骤，把y-x=3xy作为一个整体代入分式是解题关键．变式3．（2022·湖南株洲·七年级期末）已知，则 的值是   （        ）A． B． C．62 D．60【答案】C【分析】根据完全平方公式变形计算即可．【详解】解：∵，∴===62，故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练运用完全平方公式．◎考点题型12 零指数幂和负整数指数幂（1）整数指数幂：①； ②（2）小于1的正数可以用科学记数法表示为的形式，其中是第一个非零的数前面零的个数（包括整数部分的一个零）例．（2022·河北承德·八年级期末）的计算结果是（       ）A．3 B．2 C． D．【答案】B【分析】根据零指数幂的计算法则求解即可．【详解】解：，故选B．【点睛】本题主要考查了零指数幂，熟知零指数幂的计算法则是解题的关键．变式1．（2022·河北唐山·七年级期中）在等式、、中，正确的有(     )A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【答案】B【分析】根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则进行计算，从而作出判断．【详解】解：(10000)0=1，原计算正确，(-1)-1=-1，原计算错误，0.1-1=10，原计算正确，正确的共2个，故选：B．【点睛】本题考查负整数指数幂，零指数幂，理解a0=1(a≠0)，a-p=(a≠0)是解题关键．变式2．（2022·陕西西安·七年级期末）的值是（       ）A． B．2 C．-2 D．【答案】C【分析】根据负整指数幂的运算法则计算即可．【详解】，故选：C．【点睛】本题考查了负指数幂的运算，熟练掌握负指数幂的运算法则是本题的关键．48．（2022·重庆·西南大学附中七年级期末）的值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据负指数次幂的运算法则进行计算．【详解】解：原式=，故选：A．【点睛】本题考查了负指数次幂的运算，掌握运算法则是解题的关键．变式3．（2022·山东枣庄·七年级期末）已知一个水分子的半径约为0.00000000192米，将0.00000000192用科学记数法表示为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据科学记数法进行解答即可．【详解】解：0.00000000192=，故选：A．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|