人教版（2024）八年级上册12.1 全等三角形优秀课时作业

这是一份人教版（2024）八年级上册12.1 全等三角形优秀课时作业，共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·湖南·双峰县丰茂学校八年级期中）如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB ≌△COD，理由是（ ）
A．HLB．SASC．ASAD．SSS
2．（2022·广东茂名·八年级期末）如图，平分，于点，，点是射线上的任意一点，则的最小值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
3．（2022·湖南常德·八年级期中）如图，在ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC，AB于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=3，AB=8，则ABD的面积是（ ）
A．48B．24C．12D．6
4．（2022·浙江·八年级专题练习）如图所示，△EBC≌△DCB，BE的延长线与CD的延长线交于点A，CE与BD相交于点O．则下列结论：①△OEB≌△ODC；②AE＝AD；③BD平分∠ABC，CE平分∠ACB；④OB＝OC，其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
5．（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，在中，于点，于点，与相交于点，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期中）如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2022·全国·八年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（2022·重庆巴蜀中学八年级期末）如图，ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交MG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有（ ）
①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD；⑤．
A．5个B．4个C．3个D．2个
9．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，，点E是AD上的点，连接BE，CE，且，BE平分．以下结论中：①E是AD中点，②，③，④，正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
10．（2022·全国·八年级单元测试）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ）
A．①②B．③⑤C．①③④D．①④⑤
11．（2022·全国·八年级专题练习）如图，P是∠AOB平分线上的点，PD⊥OB于点D，PC⊥OA于点C，则下列结论：①PC＝PD；②OD＝OC；③POC与POD的面积相等；④∠POC＋∠OPD＝90°．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（2022·广西·钦州市第四中学八年级阶段练习）如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（ ）
A．①③B．②③C．①②D．①②③
13．（2022·全国·八年级专题练习）如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（ ）
A．28B．14C．21D．7
14．（2022·黑龙江·肇东市第十中学八年级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DEAC交AB于点E，若AB=8，则DE的长度是（ ）
A．6B．2C．3D．4
15．（2022·广西钦州·八年级期中）如图，已知矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，，分别交于点，，且，则的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
16．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B＝110°，延长BC至点D使CD＝AB，过点C作CE∥AB且使CE＝BC，连接DE并延长DE交AC于点F，交AB于点H．若∠D＝20°，则∠CFE的度数为______度．
17．（2022·浙江·舟山市普陀第二中学八年级期末）如图，在中，是边上的高，是边上的高，且，交于点，若，BD=8，，则线段的长度为______．
18．（2022·浙江·八年级单元测试）如图，已知∠A＝∠D，EF∥BC，请在空格上添加一个适当的条件，使得△ABC≌△DEF，则添加的这个条件是________（只要填上一个满足的条件即可）．
19．（2022·陕西师大附中八年级期中）如图，的三边、、长分别为4、5、6．其三条角平分线交于点，则_____．
20．（2022·江苏·八年级单元测试）如图, 在 中, ．点 在直线 上, 动点 从 点出发 沿 的路径向终点 运动; 动点 从 点出发沿 路径向终点 运动．点 和 点 分别以每秒 和 的运动速度同时开始运动, 其中一点到达终点时另一点也停 止运动, 分别过点 和 作 直线 于 直线 于 ．当点 运动时间为___________秒时, 与 全等．
21．（2022·安徽宿州·八年级期末）如图，点，，，在一条直线上，若将的边沿方向平移，平移过程中始终满足下列条件：，于点，于点，且．则当点，不重合时，与的关系是______．
22．（2021·贵州·黔西南州金成实验学校八年级阶段练习）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____．
23．（2022·全国·八年级专题练习）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过_____时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．
三、解答题
24．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于E，点F为AB上一点，且DF＝DC．求证：∠AFD＝∠C．
25．（2022·云南省楚雄天人中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD的平分线上一点，EB=EC，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．
(1)求证：△EGB≌△EFC；
(2)若AB=3，AC=5，求AF的长．
26．（2022·北京·101中学八年级阶段练习）在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE= 度；
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．
① 如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
② 如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．
27．（2022·吉林·东北师大附中明珠学校八年级期末）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：
如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．
(1)连接BI、CE，求证：△ABI≌△AEC；
(2)过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．请利用（1）的结论，直接写出图中与正方形ABDE的面积相等的四边形，它是四边形 ．
(3)应用：若MN＝4，NH＝3，正方形ABDE的边长是 ．
28．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为线段CB一动点，连接AE，过点A作AF⊥AE且AF＝AE，过点F作FD⊥AC于点D，如图①所示．
(1)求证：FD＝AC．
(2)若点E为BC中点，连BF交AC于点G，如图②，已知CG＝1，求BC的长．
29．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABE中，D、C分别在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于点H．
(1)求证：；
(2)若AD＝3，AB＝8，求AH的长．
30．（2022·四川·富顺第二中学校八年级阶段练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．
(1)如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ；
(2)如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
31．（2022·河北·丰宁满族自治县选将营中学八年级期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当MN绕点C旋转到图1的位置时，其他条件不变，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系？写出结论，并写出证明过程.
(2)当MN绕点C旋转到图2的位置时，其他条件不变，你在（1）中得到的结论还成立吗？若不成立，请写出你的结论，并加以证明；
(3)当MN绕点C旋转到图3的位置时，其他条件不变，你在（1）中得到的结论还成立吗？若不成立，请直接写出结论，（不要求写出证明过程）．
参考答案：
1．A
【分析】由AC⊥BD，可得∠AOB=∠COD=90°，根据斜边直角边对应相等的两个直角三角形全等，可得答案．
【详解】解：由AC⊥BD，可得∠AOB=∠COD=90°，
∴△AOB和△COD是直角三角形，
AO＝CO，AB＝CD，直角边和斜边对应相等，
所以用的是斜边和直角边对应相等的方法判定的△AOB ≌△COD，
故选A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，准确掌握方法的适用情况是解题的关键．
2．C
【分析】根据角平分线的性质及点到直线的距离——垂线段最短即可．
【详解】解：根据角平分线的性质定理可知，
当DF垂直OB时，DF的值最小，
最小值为DF=DE=4，
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理及点到直线的距离——垂线段最短．
3．C
【分析】利用基本作图得到AD平分∠BAC，过D点作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝3，然后利用三角形面积公式求解．
【详解】解：由作法得AD平分∠BAC，
过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝3，
∴△ABD的面积AB×DH8×3＝12．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的作图和角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
4．B
【分析】根据全等三角形的性质可得∠EBC＝∠DCB，BE＝CD，∠BEC＝∠CDB，∠DBC＝∠ECB，易证△OEB≌△ODC（AAS），根据全等三角形的性质依次进行判断即可．
【详解】解：∵△EBC≌△DCB，
∴∠EBC＝∠DCB，BE＝CD，∠BEC＝∠CDB，∠DBC＝∠ECB，
在△OEB和△ODC中，
∴△OEB≌△ODC（AAS），
故①选项符合题意；
∵∠EBC＝∠DCB，
∴AB＝AC，
∵BE＝CD，
∴AE＝AD，
故②选项符合题意；
没有足够的条件证明∠EBO＝∠OBC，∠DCO＝∠OCB，
故③选项不符合题意；
∵∠ECB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
故④选项符合题意，
综上，符合题意的选项有①②④，共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
5．B
【分析】先利用HL判断Rt△ABE≌△Rt△BAD，则可对A选项进行判断；由于BA与BC不一定相等，所以不能确定△ABE与△CBE全等，则可对B选项进行判断；由于Rt△ABE≌△Rt△BAD，则AE＝BD，则可根据AAS证明△AEF≌△BDF，△AEF≌△BDF，从而可对C、D选项进行判断．
【详解】解：∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠AEB＝∠BDA＝90°，
在Rt△ABE和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABE≌△Rt△BAD（HL），所以A选项不符合题意；
∵BA与BC不一定相等，
∴△ABE与△CBE不一定全等，所以B选项符合题意；
∵Rt△ABE≌△Rt△BAD，
∴AE＝BD，
在△AEF和△BDF中，
，
∴△AEF≌△BDF（AAS），所以C选项不符合题意；
在△ADC和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BDF（AAS），所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此类问题的关键．
6．B
【分析】设点O到BC的距离为x，根据角平分线的性质定理可得点O到AB，BC，AC的距离相等，都等于x，再根据，即可求解．
【详解】解：设点O到BC的距离为x，
∵O是△ABC的角平分线的交点，
∴点O到AB，BC，AC的距离相等，都等于x，
∵△ABC的面积为24，周长为24，
∴，
解得：x=2．
即点O到BC的距离为2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．
7．B
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得：DE＝3，
∴CD＝3.
故选：B.
【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
8．B
【详解】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求∠ABD＝∠DBC＝25°，∠BAG＝∠CAG＝35°，由外角的性质和直角三角形的性质可求∠EBC＝5°，故①正确；同理可求∠BFE＝60°，由直角三角形的性质可得BF＝2EF，故②正确；由“ASA”可证△ABE≌△AHE，可得BE＝EH，由直角三角形的性质可得EC≠BE，故③错误；由“SAS”可证△BFN≌△BFG，可得∠BFN＝∠BFG＝60°，由“ASA”可证△AFD≌△AFN，可得AD＝AN，即AB＝BG+AD，故④正确；由角平分线的性质可得NQ＝NP，由全等三角形的性质可得S△BFN＝S△BFG，S△AFD＝S△AFN，可得，故⑤正确，即可求解．
【解答】解：①∵∠ACB＝60°，∠BAD＝70°，
∴∠ABC＝50°，
∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝25°，∠BAG＝∠CAG＝35°，
∴∠BFE＝60°，
∵BE⊥AG，
∴∠FBE＝30°，
∴∠EBC＝5°，故①正确；
②∵ACB＝60°，
∴∠BAD+∠ABC＝120°，
∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC，∠BAG＝∠CAG＝∠BAC，
∴∠BFE＝∠ABD+∠BAG＝（∠ABC+∠BAC）＝60°，
∵BE⊥AG，
∴∠FBE＝30°，
∴BF＝2EF，故②正确；
③如图，延长BE，AC交于点H，
∵∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，∠AEB＝∠AEH＝90°，
∴△ABE≌△AHE（ASA），
∴BE＝EH，
∵BC≠AC，
∴EC≠BE，故③错误；
④如图，在AB上截取BN＝BG，连接NF，
∵BN＝BG，∠ABD＝∠CBD，BF＝BF，
∴△BFN≌△BFG（SAS），
∴∠BFN＝∠BFG＝60°，
∴∠AFD＝∠AFN＝60°，
又∵∠BAG＝∠CAG，AF＝AF，
∴△AFD≌△AFN（ASA），
∴AD＝AN，
∴AB＝BG+AD，故④正确；
⑤如图，过点N作NP⊥BF于P，NQ⊥AF于Q，
∵∠AFN＝∠BFN＝60°，NP⊥BF，NQ⊥AF，
∴NP＝NQ，
∵S△AFN＝×AF×NQ，S△BFN＝×BF×NP，
∴，
∵△BFN≌△BFG，△AFD≌△AFN，
∴S△BFN＝S△BFG，S△AFD＝S△AFN，
∴，故⑤正确，
故选：B．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．B
【分析】延长BE交CD的延长线于点F，证明∆ABE≅∆DFE，得出AE=DE，AB=DF，即可判断①和②正确；过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，由角平分线的性质定理即可判断③④．
【详解】解：延长BE交CD的延长线于点F，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠F=∠CBE，
∴CF=BC，
∵∠BEC=90°，
∴CE⊥BF，
∴∠BCE=∠FCE，BE=EF，
∵∠AEB=∠FED，
∴∆ABE≅∆DFE，
∴AE=DE，AB=DF，故①正确；
∵CF=CD+DF，
∴BC=CD+AB，故②正确；
∵∠EDC≠∠ECD，
∴ED≠EC，故③错误；
过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，
∵CE平分∠BCD，
∴EM=EN，
∴，故④正确；
故选：B．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
10．C
【分析】由三角形中线性质，把三角形分成面积相等的两个三角形，可判定①正确；利用SAS证△BDF≌△CDE，可判定③正确，由△BDF≌△CDE得出∠F=∠CED，由平行线的判定定理可得出BFCE，可判定④正确；因为是的中线，而△ABC不一定是等腰三角形，所以AD就不一定平分∠BAC，可判定②错误；没有条件能证得∠CAE=∠ACE，所以也就不能得出AE=CE，可判定⑤错误．
【详解】解：∵是的中线，
∴S△ABD= S△ACD，
故①正确；
∵是的中线，
∴BD=CD，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE(SAS)，
故③正确；
∴∠F=∠CED，
∴BFCE，
故④正确；
∵是的中线，没有AB=AC这个条件，
所以AD不一定是角平分式，故②错误；
没有条件能证得∠CAE=∠ACE，所以也就不能得出AE=CE，
故⑤错误；
综上，正确的有①③④，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形中线性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，证△BDF≌△CDE是解题的关键．
11．D
【分析】根据已知条件，可得△OCP≌△ODP（AAS），根据全等三角形的性质即可判断．
【详解】解：∵P是∠AOB平分线上的点，
∴∠COP=∠DOP，
∵PD⊥OB于点D，PC⊥OA于点C，
∴∠OCP=∠ODP=90°，
在△OCP和△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP（AAS），
∴PC=PD，OC=OD，故①②选项符合题意，
∵△OCP≌△ODP（AAS），
∴△POC与△POD的面积相等，故③选项符合题意；
∵△OCP≌△ODP（AAS），
∴∠OPD=∠OPC，
∵∠POC+∠OPC=90°，
∴∠POC+∠POD=90°，故④选项符合题意；
综上可知，①②③④均符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
12．C
【分析】根据角平分线的判定，先证AP是∠BAC的平分线，再证Rt△APR≌Rt△APS(HL)，可证得AS=AR，成立．
【详解】解：如图：连接AP，
∵PR=PS，
∴AP是∠BAC的平分线，
在Rt△APR与Rt△APS中，

∴Rt△APR≌Rt△APS(HL)，
∴AS=AR，故①正确；
∵AQ=PQ，
∴∠BAP=∠QAP=∠QPA，
∴，②正确；
BC只是过点P，并没有固定，故△BRP≌△CSP③不成立．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，难度适中．
13．A
【分析】连接OA，过点O作于点E，作于点F，则由角平分线的性质定理得：OE=OF=OD=2，再由即可求得结果．
【详解】解：连接OA，过点O作于点E，作于点F，如图
∵BO平分，，，
在和中，
，
∴，
∴OE=OD=2
同理：OF=OD=2
∴OE=OF=OD=2
∵
=
=28
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积等知识，关键是根据条件构造适合角平分线性质定理条件的辅助线．
14．D
【分析】分别延长AC、BD交于点F，根据角平分线的性质得到∠BAD=∠FAD，证明△BAD≌△FAD，根据全等三角形的性质得到BD=DF，根据平行线的性质得到BE=ED，EA=ED，进一步计算即可求解．
【详解】解：分别延长AC、BD交于点F，
∵AD平分∠BAC，AD⊥BD，
∴∠BAD=∠FAD，∠ADB=∠ADF=90°，
在△BAD和△FAD中，，
∴△BAD≌△FAD（ASA），
∴∠ABD=∠F，
∵DEAC，
∴∠EDB=∠F，∠EDA=∠FAD，
∴∠ABD=∠EDB，∠EDA=∠EAD，
∴BE=ED，EA=ED，
∴BE=EA=ED，
∴DE=AB=×8=4，
故选：D．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
15．C
【分析】根据折叠的性质与矩形的性质得到DC=DE=4，CP=EP，，再由三角形全等的判定定理与性质可得OE=OB，EF=BP，从而有BF=EP=CP，设BF=EP=CP=x，可得用x表示的AF、DF的长，再有勾股定理求得x的值从而得到DF的长．
【详解】解：由矩形的性质得到：DC=AB=4，AD=BC=3，，
由折叠的性质，得：DC=DE=4，CP=EP，，
在中，
，
，
∴BF=EP=CP
设BF=EP=CP=x，
则AF=4-x，BP=EF=3-x，DF=DE-EF=4-（3-x）=x+1，
在中， ，
即，
，
【点睛】本题考查了矩形得性质，折叠的性质，三角形的判定定理与性质，勾股定理等性质，利用三角形全等的判定定理与性质与线段的和差求出BF=EP=CP是关键．
16．30
【分析】证明△ABC≌△DCE，可得∠A=∠D= 20°，然后利用三角形内角和可得∠DEC=∠ACB= 50°，进而可以解决问题．
【详解】解：∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D＝20°，∠DEC＝∠ACB，
∵∠B＝110°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B+∠A＝50°，
∴∠DEC＝∠ACB＝50°，
∵CE∥AB，
∴∠BHF＝∠DEC＝50°，
∴∠CFE＝∠AFH＝∠BHF﹣∠A＝50°﹣20°＝30°．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABC≌△DCE．
17．5
【分析】首先证明△BDF≌△ADC，再根据全等三角形的性质可得FD=CD，AD=BD，根据AD=8，DF=3，即可算出AF的长．
【详解】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADC=∠FDB=90°，∠AEB=90°，
∴∠1+∠C=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠C，
∵∠2=∠3，
∴∠3=∠C，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴FD=CD，AD=BD，
∵CD=3，BD=8，
∴AD=8，DF=3，
∴AF=8-3=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
18．AC＝DF或AF＝CD（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定方法解决问题即可．
【详解】解：∵EF∥BC，
∴∠EFD＝∠ACB，
∵∠D＝∠A，
∴当DF＝AC时，△ABC≌△DEF（ASA），
∴可以添加条件：AC＝DF或AF＝CD．
故答案为：AC＝DF或AF＝CD(答案不唯一)．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定定理．
19．6：5：4
【分析】作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
∵三条角平分线交于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OD=OE=OF，
∴=AB：BC：CA=6：5：4，
故答案为：6：5：4．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
20．2或6##6或2
【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；
【详解】解：如图1所示：
与全等，
，
，
解得∶；
如图2所示：
点与点重合，
与全等，
，
解得∶；
故答案为∶或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．
21．BD与EF互相平分
【分析】先根据DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求证△ABF≌△CDE，再求证△DEG≌△BFG，即可．
【详解】∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中， ，
∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），
∴ED=BF．
设EF与BD交于点G，
由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，
∴∠EDG=∠GBF，
∵∠EGD=∠FGB，ED=BF，
∴△DEG≌△BFG，
∴EG=FG，DG=BG，
∴BD与EF互相平分．
【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，此题难度并不大，但是需要证明多次全等，步骤繁琐，是一道综合性较强的中档题．
22．3
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S△ABC=AB×DE+AC×DF=×4×2+AC×2=7，
解得AC=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
23．0，3，9，12
【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果．
【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝6米，
∴BE＝6米，
∴AE＝12﹣6＝6米，
∴点E的运动时间为6÷2＝3（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝6米，
∴BE＝6米，
∴AE＝12+6＝18米，
∴点E的运动时间为18÷2＝9（秒）；
③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
∵AB＝12米，
∴BE＝12米，
∴AE＝12+12＝24米，
∴点E的运动时间为24÷2＝12（秒），
故答案为：0，3，9，12．
【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，解本题的关键在找到所有符合题意的情况．
24．见解析
【分析】利用证明≌，即可解决问题．
【详解】证明：平分，，，
∴，
在和中，
，
≌，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，得到≌是解决问题的关键．
25．(1)见解析
(2)AF的长为1
【分析】（1）先证明△AGE≌△AFE，即有EG=EF，结合EB=EC，即可得Rt△EGB≌Rt△EFC；
（2）根据Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，可得BG=FC，AG=AF，根据AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG，可得AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，即可得2AF+3=5，AF可求．
（1）
解：∵EG⊥AD，EF⊥AC，
∴∠EGB=90°=∠EFC，
∴△EGB和△EFC是直角三角形，
∵AE平分∠CAD，
∴∠EAG=∠EAF，
∵EA=EA，
∴△AGE≌△AFE，
∴EG=EF，
∵EB=EC，
∴Rt△EGB≌Rt△EFC(HL)，
得证；
（2）
解：∵在（1）中证得：Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，
∴BG=FC，AG=AF，
∵AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG，
∴AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，
∵AB=3，
∴2AF+3=5，
∴AF=1，
即AF的长为1．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AGE≌△AFE是解答本题的关键．
26．(1)90
(2)①α+β=180°；证明见解析；②α=β．
【分析】（1）易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，即可解题；
（2）①易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠B+∠ACB=180°-α即可解题；
②易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°即可解题．
（1）
解：∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=90°，∠DAC+∠CAE=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°；
故答案为： 90；
（2）
解：①∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=α，∠DAC+∠CAE=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=180°-α，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°-α=β，
∴α+β=180°；
②作出图形，
∵∠BAD+∠BAE=∠BAC=α，∠BAE+∠CAE=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°，∠CED=∠AEC+∠AED，
∴α=β．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，三角形内角和定理，本题中求证△BAD≌△CAE是解题的关键．
27．(1)证明见解析
(2)AMNI
(3)2
【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AE，AC=AI，∠BAE=∠CAI=90°，得出∠EAC=∠BAI，即可得出△ABI≌△AEC(SAS)；
（2）证BM∥AI，得出，同理：，由△ABI≌△AEC，即可得出四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等；
（3）由题意可求出矩形AMNI的面积，从而得出正方形ABDE的面积，进而可求出正方形ABDE的边长．
（1）
证明：∵四边形ABDE、四边形ACHI是正方形，
∴AB＝AE，AC＝AI，∠BAE＝∠CAI＝90°，
∴∠EAC＝∠BAI，
在△ABI和△AEC中
∴△ABI≌△AEC (SAS)；
（2）
证明：∵BM⊥AC，AI⊥AC，
∴BM∥AI，
∴，
同理：．
又∵△ABI≌△AEC，
∴四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等．
故答案为：AMNI；
（3）
解：由题意可知四边形AMNI为矩形，
∴AI=IH=MN=4，
∴IN=IH-NH=1，
∴，
∴，
∴正方形ABDE的边长为2．
故答案为：2．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
28．(1)证明见解析，
(2)BC=4．
【分析】（1）证明△ADF≌△ACE即可；
（2）易证△FDG≌△BCG，则可得出CD的长度，由（1）可得△ADF≌△ACE，点E为BC中点则点D为AC中点，求出AC即可得到BC的长度．
（1）
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，即∠FAD+∠CAE=90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AEC+∠CAE=90°，
∴∠AEC=∠FAD，
∵FD⊥AC，
∴∠FAD=90°，
在△ADF和△ACE中，
∠AEC=∠FAD，∠FAD=∠ACB，AF＝AE，
∴△ADF≌△ACE，
∴FD＝AC．
（2）
由（1）可知，FD=AC，
∵AC=BC，
∴FD=BC，
在△FDG和△BCG中，
∠FGD=∠BGC，∠FDG=∠GCB，FD=BC，
∴△FDG≌△BCG，
∴CG=DG，则CD=2CG=2，
∵△ADF≌△ACE，
∴AD=CE，
∵AC=BC，点E为BC中点，
∴点D为AC中点，则AC=2CD=4，
∴BC=AC=4．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，熟练掌握全等三角形对应边和对应角相等以及用AAS和ASA判定三角形全等是解题的关键．
29．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点作于点，先根据角平分线的性质可得，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证；
（2）过点作于点，先根据全等三角形的性质可得，设，则，，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，据此建立方程，解方程即可得．
（1）
证明：如图，过点作于点，
∵平分，，
∴，
在与中，，
∴，
，
，
．
（2）
解：如图，过点作于点，
由（1）已证：，
，
设，则，
，
，
在和中，，
，
，
，
解得，
即的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
30．(1)DE＝BD+CE．
(2)DE＝BD+CE仍然成立，证明见解析
【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE．
（1）
解：DE＝BD+CE，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE．
（2）
DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
31．(1)DE=AD+BE，理由见解析
(2)（1）中结论不成立，结论为DE=AD-BE，理由见解析
(3)（1）中结论不成立，结论为DE=BE-AD．
【分析】（1）根据AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB=90°，得出∠CAD=∠BCE，再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB；根据全等三角形的对应边相等，即可得出CE=AD，CD=BE，进而得到DE=CE+CD=AD+BE；
（2）先根据AD⊥MN，BE⊥MN，得到∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，进而得出∠CAD=∠BCE，再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB，进而得到CE=AD，CD=BE，最后得出DE=CE-CD=AD-BE；
（3）运用（2）中的方法即可得出DE，AD，BE之间的等量关系是：DE=BE-AD．
（1）
解：DE=AD+BE，理由如下：
证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠ACB=90°=∠CEB，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CE=AD，CD=BE，
∴DE=CE+CD=AD+BE；
（2）
解：（1）中结论不成立，结论应为DE=AD-BE，理由如下；
证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
同理可得∠CAD=∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
∴CE=AD，CD=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
（3）
解：（1）中结论不成立，结论应为DE=BE-AD．
理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
同理可得∠CAD=∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CE=AD，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．