(寒假)浙教版数学八年级寒假讲练第03讲 二次根式的加减（2份，原卷版+解析版）

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【学习目标】
1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并含有被开方数相同的二次根式，进行简单的二次根式加减运算；
2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.
【基础知识】
1.合并同类二次根式
合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)
要点：
(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；
(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.
即： ；
2.二次根式的加减
二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.
即： ；
要点：
（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.
（2）二次根式加减运算的步骤：
1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；
2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；
3)合并同类二次根式.
3.二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.
要点诠释：
(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；
(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.
4.二次根式的比较大小
能化简成同类二次根式的，化简后比较系数，系数大的二次根式就大；
不能化简成同类二次根式的：
正数大于负数；
同为正数时，进行平方运算，结果大的二次根式就大；
同为负数时，进行平方运算，结果大的二次根式反而小；
【考点剖析】
考点1：二次根式的加减法1-数字型
例1．的计算结果是（ ）
A．5 B． C． D．
例2．化简：______．
例3．计算：______．
考点2：二次根式的加减法2-字母型
例4．计算：（1）________； （2）_________．
例5．计算；（1）________；（2）________．
例6．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．
例7．的值一定是（ ）
A．正数B．非正数C．非负数D．负数
考点3：二次根式的混合运算1-数字型
例8．计算：_____________．
例9．计算：（ ）
A．4B．5C．6D．8
例10．计算：________．
例11．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
例12．计算：______．
例13．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
例14．计算：______．
例15．计算：．
考点4：二次根式的大小比较
例16．请用“，，”符号比较大小：__________．
例17．比较大小：______；化简：＝______．
例18．比较大小：（1）_________； （2）_________；
（3）_________； （4）_________．
考点5：二次根式的混合运算2-字母型及复合型
例19．若m，n为有理数，且，则mn=_____.
例20．若a、b为有理数，且，则________，________．
例21．已知，则（ ）
A．B．C．D．
例22．已知：，，则的值为（ ）
A．5B．-5C．25D．5或-5
例23．已知，，则______．
考点6：二次根式的混合运算与分式
例24．先化简，再求值：，其中．
例25．已知，则的值．
例26．先化简，再求值：
已知a＝，求的值．
考点7：复杂的二次根式混合运算
例27．计算：．
例28．计算：
(1)；
(2)．
例29．
例30．计算：
（1）；
（2）．
考点8：二次根式混合运算的应用
例31．一个长方形的长和宽分别是和，这个长方形的长与宽的和=________．
例32．解不等式：
例33．如图是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为的小数部分，则输出的数值为_________．
例34．宋代数学家秦九韶，古希腊数字家海伦在探究三角形面积的求解过程中发现，若一个三角形的三边长分别为，，，设，则这个三角形面积为：，并进行了严格证明，这个公式叫海伦秦九韶公式，当，，时，三角形边上的高等于（ ）
A．B．C．D．
例35．若＝2.5，则的值为_____．
【真题演练】
一、单选题
1．（2021·广西柳州·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·重庆·中考真题）下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2020·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
4．（2022·贵州六盘水·中考真题）计算：__________．
5．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算的结果是___________．
6．（2020·河北·中考真题）已知：，则_________．
三、解答题
7．（2021·福建·中考真题）计算：．
8．（2019·辽宁铁岭·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【过关检测】
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列计算正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
3．若，则的值为（ ）
A．56B．34C．28D．14
4．若，则x的值等于（ ）
A．4B．C．2D．
5．﹣与﹣的关系是（ ）
A．互为相反数B．互为倒数
C．相等D．乘积是有理式
6．计算的值为( )
A．B．C．D．
7．下列算式：（1）；（2）；（3）=；（4），其中正确的是（ ）
A．（1）和（3）B．（2）和（4）C．（3）和（4）D．（1）和（4）
8．的值一定是（ ）
A．正数B．非正数C．非负数D．负数
9．若a，b为有理数，且，那么的值是（ ）
A．0B．2C．8D．10
10．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．计算的值等于________．
12．比较大小：（1）_________；
（2）_________；
（3）_________；
（4）_________．
13．数轴上点A表示的数是2,将点A向右平移个单位长度得到点B,则点B表示的数是____.
14．一个三角形的三边长分别为，则它的周长是___________cm．
15．若a、b均为有理数，且则a=______b=________.
16．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．
17．不等式的解集是______．
18．对于任意两个正数m、n，定义运算※为： 计算的结果为 _____．
19．若，则 __________．
20．观察下列分母有理化的计算：
，
，……，
从计算结果中找出规律并利用规律计算：
____________．
三、解答题
21．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
22．计算：
(1)．
(2)．
(3)．
23．计算：
(1)；
(2)．
24．化简与计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
25．计算：
(1)
(2)
26．化简二次根式：．
27．解不等式：．
28．先化筒．再求值：，其中，．
29．计算：．
30．请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．
小敏的做法是：根据得，
，得：．
把作为整体代入：得．
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求代数式的值．
31．阅读下列解题过程：
；
；
；
……
解答下列各题：
(1)______；
(2)观察上面的解题过程，请计算.
(3)利用这一规律计算：
.
32．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝4，d＝2大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝，n＝之间的大小，并证明．
(3)化简：＝ （直接写出答案）．