(寒假)浙教版数学八年级寒假讲练第11讲 一元二次方程的应用（2份，原卷版+解析版）

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【学习目标】
1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；
2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
【基础知识】
一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).
要点：
列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
二、一元二次方程应用题的主要类型
1.平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
2.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
3.利息问题
(1)概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.
期数：存入银行的时间叫期数. 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
(2)公式:利息=本金×利率×期数 利息税=利息×税率 本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
4.利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数
5.形积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
【考点剖析】
考点1：增长率问题
例1．随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为，利用等量关系：八月份的产量六月份的产量×（1-产量的月平均减少率，即可得出关于的一元二次方程，解方程取其合适的值即可得出结论．
【解析】解：设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为，
依题意得：，
解得： ，（不符合题意，舍去），
∴该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
例2．某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）²=182B．50+50（1+x）+50（1+x）²=182
C．50（1+2x）=182D．50+50（1+x）+50（1+2x）²=182
【答案】B
【分析】设平均每月的增长率为x，则二月份生产零件万个，三月份生产零件万个，由此可得出方程．
【解析】解：设二、三月份平均每月的增长率为x，则二月份生产零件个，三月份生产零件个，
则得：
．
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
考点2：数字型问题
例3．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为（ ）
A．62B．44C．53D．35
【答案】C
【分析】设个位数为x，则十位上的数为8-x,根据题意列出一元二次方程即可求解.
【解析】设个位数为x，则十位上的数为8-x,
由题意得[10×（8-x）+x] [10x+8-x]=1855,
解得x=3或5，
故较大的数为53，故选C.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是表示出对调前后的两位数表示.
考点3：握手问题（握手问题2个算一场）
例4．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共共握66次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（ ）
A．x（x﹣1）＝66B．＝66
C．x（1+x）＝66D．x（x﹣1）＝66
【答案】A
【分析】利用参会人员共握手次数＝参会人数×（参会人数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：依题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
例5．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排36场比赛，则八年级班级的个数为( )
A．6B．9C．7D．8
【答案】B
【分析】根据题意设八年级班级的个数为个，根据单循环形式共需安排36场比赛，建立一元二次方程，解方程即可求解．
【解析】解：设八年级班级的个数为个，根据题意得，
，
解得（舍去），
答：八年级班级的个数为9个．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
考点4：握手问题衍生题（红包问题2个算2场，重在理解）
例6．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )
A．9人B．10人C．11人D．12人
【答案】B
【解析】试题解析：设这个QQ群共有x人，
依题意有x（x-1）=90，
解得：x=-9（舍去）或x=10，
∴这个QQ群共有10人．
故选B.
考点5：传染问题
例7．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有225人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为x人，则可列方程（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由于每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，那么经过第一轮后有（1+x）人患了流感，经过第二轮后有[（1+x）+x（1+x）]人患了流感，再根据经过两轮传染后共有225人患了流感即可列出方程．
【解析】解：依题意得（1+x）+x（1+x）=225．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题关键是根据题意分别列出不同阶段患了流感的人数．
考点6：小路问题
例8．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为( )
A．35×20-35-20+22=600B．35×20-35-2×20=600
C．(35-2)(20-)=600D．(35-)(20-)=600
【答案】C
【分析】设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35-2x）米，宽为（20-x）米的矩形，再利用矩形的面积公式计算即可．
【解析】设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35-2x）米，宽为（20-x）依题意，得：
（35-2x）（20-x）=600．
故选：C．
【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
例9．如图，在一幅长80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周，镶一条宽度相等的金色纸边制成矩形挂图，如果要使整个挂图的面积为cm2，设金色纸边的宽为x cm，则可列方程（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（长+2个纸边的宽度）×（宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程．
【解析】解：设金色纸边的宽为xcm，
依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．
例10．现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为，设小道的宽度为x，可列方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设小道的宽度为x，则剩余部分的长为：m，宽为：m，由长方形的面积公式即可求解．
【解析】解：设小道的宽度为x，由题意得：
剩余部分的长为：m，宽为：m，
∴由长方形面积公式得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
考点7：日历（表格）问题
例11．日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律．小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数是（ ）
A．17B．18C．19D．20
【答案】C
【分析】根据日历上数字的特点，用含中间数的代数式表示出最小的数a和最大的数i，根据最大的数与最小的数乘积是297列一元二次方程，解方程即可．
【解析】解：根据日历的特点，同一列上下两个数相差7，前后两个数相差1，
则，，，，
∵最大的数与最小的数乘积是297，
∴，
解得，取正数，．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是用含中间数的代数式表示出a和i．
考点8：围栏问题
例12．如图，一农户要建议个矩形花圃，花圃的一边利用长为12 m的墙，另外三边用25 m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1 m宽的门，花圃面积为80 m2，设于墙垂直的一边长为x m，则可以列出方程是（ ）
A．x（26－2x）＝80B．x（24－2x）＝80
C．（x－1）（26－2x）＝80D．x（25－2x）＝80
【答案】A
【分析】设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，根据花圃面积为80m2即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，
根据题意得：x（26-2x）=80．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
例13．空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（ ）
A．若a＝16，S＝196，则有一种围法B．若a＝20，S＝198，则有两种围法
C．若a＝24，S＝198，则有两种围法D．若a＝24，S＝200，则有一种围法
【答案】A
【分析】分两种情况讨论：采用图1围法，图2围法，设矩形菜园的宽为x米，分别表示矩形的长，再利用矩形面积列方程，解方程，注意检验x的范围，从而可得答案．
【解析】解：设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，

解得：
此时都不符合题意，
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验不符合题意，
综上：若a＝16，S＝196，则没有围法，故A符合题意；
设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，

解得： 经检验符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验符合题意，
综上：若a＝20，S＝198，则有两种围法，故B不符合题意；
同理可得：C不符合题意，D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，表示图2中矩形的长是解本题的关键．
考点9：营销问题
例14．某海鲜市场以每千克10元的进价进了一批螃蟹，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克．售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该海鲜市场想平均每天获利408元，设这种螃蟹的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设这种螃蟹的售价上涨了元，则每千克的销售利润为元，每天可销售千克，利用每天的销售利润每千克的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解析】设这种螃蟹的售价上涨了元，则每千克的销售利润为元，每天可销售千克，
依题意得：．
故选：D
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
考点10：复杂的营销问题
例15．重庆奉节脐橙，柚子非常出名，奉节大力发展经济作物．其中果树种植已经具有规模性了，今年受气候、雨水等因素的影响，所橙产量较去年有小幅度的减少．而柚子产量有所增加．
（1）奉节某果农今年收获脐橙和柚子共4200千克，其中脐橙的产量不超过柚子产量的6倍，求该果农今年收获柚子至少多少千克？
（2）该果农把今年收获的脐橙、柚子两种水果的一部分运往市场销售．该果农去年脐橙的市场销售量为1000千克，销售均价为15元千克，今年脐橙的市场销售量比去年减少了a%销售均价与去年相同．该果农去年柚子的市场销售量为2000千克，销售均价为10元/千克，今年柚子的市场销售量比去年增加了2a%，但销售均价比去年减少了a%，该果农今年运往市场销售的这部分脐橙和柚子的销售总金额与他去年脐橙和柚子的市场销售总金额相同，求a的值．
【答案】（1）600；（2）25
【分析】（1）利用脐橙的产量不超过柚子产量的6倍，表示两种水果的质量，进而得出不等式求出答案；
（2）根据今年运往市场销售的这部分脐橙和柚子的销售总金额与他去年脐橙和柚子的市场销售总金额相同列出等式，进而得出答案．
【解析】解：（1）设今年柚子xkg，
由题意得：4200－x≤6x，
解得：x≥600
答：该果农今年收获柚子至少600kg．
（2）由题意知：
1000×（1－a%）×15+2000×（1+2a%）×10×（1－a%）＝1000×15+2000×10，
令a%＝m，
15×（1－m）+20×（1+2m）（1－m）＝15+20，
100m2－25m＝0，
解得：（不合题意，舍去），＝25%，
∴a＝25
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意列出等量关系是解题的关键．计算过程中通常把a%设成m方便计算．
考点11：几何问题
例16．如图所示，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设，则这个正方形的面积是____________________．
【答案】
【分析】从图中可以看出，正方形的边长=a+b，所以面积=（a+b）2，矩形的长和宽分别是a+2b，b，面积=b（a+2b），两图形面积相等，列出方程得=（a+b）2=b（a+2b），其中a=2，求b的值，即可求得正方形的面积．
【解析】解：根据图形和题意可得：
（a+b）2=b（a+2b），其中a=2，
则方程是（2+b）2=b（2+2b），
解得：b=(负值已舍)，
所以正方形的面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形的剪拼，解一元二次方程，本题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得b的值，从而求出边长，求面积．
例17．如图，在长方形中，厘米，厘米，点在边上（不与点、重合），厘米．将长方形绕点顺时针旋转90度后，得到长方形，且重叠部分的四边形是长方形．连接，．
（1）若厘米，厘米，则三角形的面积 平方厘米；
（2）用含有、的代数式表示三角形的面积；
（3）若，求的长度．
【答案】（1）15；（2）；（3）4cm
【分析】（1）根据性质的性质可得，，，进而求得，，根据即可求得；
（2）根据（1）的方法求解即可；
（3）根据（2）的结论和已知条件可得，解方程求解即可
【解析】（1）解：将长方形绕点顺时针旋转90度后，得到长方形，
，，，
，，，
，，，
，
，，
，
故答案为：15；
（2）解：将长方形绕点顺时针旋转90度后，得到长方形，
，，，
厘米，厘米，厘米，
厘米，厘米，厘米，
厘米，
厘米，厘米，
；
（3）解：，，
，
解得：，（不合题意舍去），
的长度为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，一元二次方程的应用，掌握旋转的性质，根据题意求得是解题的关键．
【真题演练】
一、单选题
1．（2022·宁夏·中考真题）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据三月底和五月底92号汽油价格，得出关于x的一元二次方程即可．
【解析】解：依题意，得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解题关键．
2．（2022·山东泰安·统考中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2021·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可到方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有（x+1）人患流感，第二轮共有x+1+（x+1）x人，即81人患了流感，由此列方程求解．
【解析】x+1+（x+1）x=81
整理得，（1+x）2=81．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．
4．（2020·广西河池·统考中考真题）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．
【解析】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：
x（x﹣1）＝36，
化简，得x2﹣x﹣72＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），
答：参加此次比赛的球队数是9队．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．
二、填空题
5．（2020·辽宁大连·中考真题）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____．
【答案】x（x﹣12）＝864．
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2015·贵州毕节·统考中考真题）一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是__________L．
【答案】20
【分析】设每次倒出液体xL，第一次倒出后还有纯药液（40﹣x），药液的浓度为，再倒出xL后，倒出纯药液•x，利用40﹣x﹣•x就是剩下的纯药液10L，进而可得方程．
【解析】解：设每次倒出液体xL，由题意得：
40﹣x﹣•x=10，
解得：x=60（舍去）或x=20．
答：每次倒出20升．
故答案为20．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用．
7．（2015·四川达州·统考中考真题）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调查，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，可列方程为__________．
【答案】（40﹣x）（20+2x）=1200．
【解析】试题分析：设每件童装应降价x元，可列方程为：（40﹣x）（20+2x）=1200．故答案为（40﹣x）（20+2x）=1200．
考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．销售问题．
三、解答题
8．（2022·江苏泰州·统考中考真题）如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
【答案】4m
【分析】根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解．
【解析】解：设道路的宽应为x米，由题意得
(50-2x)×(38-2x)=1260
解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)
答：道路的宽应为4m．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关系建立方程．
9．（2021·山东日照·统考中考真题）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量（桶）与每桶降价（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
【答案】（1）y=10x+100；（2）这种消毒液每桶实际售价43元
【分析】（1）设与之间的函数表达式为，将点、代入一次函数表达式，即可求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于的一元二次方程，通过解方程即可求解．
【解析】解：（1）设与销售单价之间的函数关系式为：，
将点、代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：；
（2）由题意得：，
整理，得．
解得，（舍去）．
所以．
答：这种消毒液每桶实际售价43元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润总利润得出一元二次方程是解题关键．
10．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨
(2)的值20
(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元
【分析】（1）设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；
（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
【解析】（1）解：设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，
由题意得：，
解得：，
∴，
答：4月份再生纸的产量为500吨；
（2）解：由题意得：，
解得：或（不合题意，舍去）
∴，
∴的值20；
（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，
∴
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解析】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为：，
故选：A．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
2．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设它的宽为x步，则长为(60-x)步，根据面积列出方程即可得出结果．
【解析】解：设它的宽为x步，则长为(60-x)步，
∴x(60-x)=864，
故选：D．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．
3．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天的时间，某养鸡场于某日发现一例鸡瘟病例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为（ ）
A．11只B．12只C．13只D．14只
【答案】B
【分析】设每只病鸡传染健康鸡x只，则第一天有x只鸡被传染，第二天有x（x+1）只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：x +1 +x（x+1）只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可．
【解析】解：设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得：
x+1+x（x+1）＝169，
整理，得x2+2x﹣168＝0，
解，得x1＝12，x2＝﹣14（不符合题意舍去）．
答：设每只病鸡传染健康鸡12只．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系（经过两天感染患病的鸡一定）列出方程求解．
4．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x﹣1400＝0B．x2+65x﹣350＝0
C．x2﹣130x﹣1400＝0D．x2﹣65x﹣350＝0
【答案】B
【分析】先用表示出矩形挂图的长和宽，利用面积公式，即可得到关于的方程．
【解析】解：由题意可知：挂图的长为，宽为，
，
化简得：x2+65x﹣350＝0，
故选：B．
【点睛】本题主要是考查了一元二次方程的实际应用，熟练根据等式列出对应的方程，是解决该类问题的关键．
5．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设每件电子产品售价为元，主播每天的利润为元，根据每件利润=实际售价－成本价，销售量=原销售量+变化量，总利润=每件利润×数量，即可得出答案．
【解析】解：设每件电子产品售价为元，主播每天的利润为元，
则每件盈利元，每天可销售件，
根据题意得：．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用（降价促销问题），理清题意找准数量与价格变化关系是解题的关键．
6．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝28B．x（x﹣1）＝28
C．x（x﹣1）＝28D．x（x+1）＝28
【答案】B
【分析】球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝4×7，把相关数值代入即可．
【解析】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）＝4×7．
故选：B．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程．
7．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设平均每月的增长率为x，则二月份工业产值为50（1+x）亿元，三月份工业产值为50（1+x）2亿元，根据第一季度的产值为175亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：设平均每月的增长率为x，则二月份工业产值为50（1+x）亿元，三月份工业产值为50（1+x）2亿元，
依题意，得：50+50（1+x）+50（1+x）2=175．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝1056B．x（x﹣1）＝1056×2
C．x（x﹣1）＝1056D．2x（x+1）＝1056
【答案】C
【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名同学，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程．
【解析】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x-1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x-1）=1056．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
9．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（ ）
A．22元B．24元C．26元D．28元
【答案】A
【分析】根据利润和售价建立一元二次方程组，得到，解方程组得到售价，最后对售价的合理性进行判断即可得到最终的答案．
【解析】设商店的获利为元，
得，
当时，，
得，
，
解方程得元或元，
当元，，
∴元舍去，
∴元，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用及性质，解题的关键是掌握一元二次方程的相关知识．
10．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25＝121，边长为11，故得x（x+5）＝24的正数解为x＝ ，小明按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为10，小正方形的面积为4，则（ ）
A．m＝2，n＝3B．m＝ ，n＝2 C．m＝ ，n＝2D．m＝2，n=
【答案】D
【分析】根据题意将x的方程x2+mx﹣n＝0 化为x（x+m）=n，即长方形的长为x+m，宽为x ，进而依据大正方形的面积为10，小正方形的面积为4用代数式表示出边长即可得出答案.
【解析】解：∵ 大正方形的面积为10，小正方形的面积为4，
∴关于 x的方程x2+mx﹣n＝0 可化为x（x+m）=n，
∴图中长方形的长为x+m，宽为x ，
∴图中小正方形的边长是 ，
大正方形的边长是 ，
∴ ，
∴ ，
故m=2， ，
故答案为：D．
【点睛】本题考查解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
二、填空题
11．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是_______%．
【答案】10
【分析】设11、12两月平均每月降价的百分率是x，则11月份的成交价是7000-7000x=7000（1-x），12月份的成交价是7000（1-x）（1-x）=7000（1-x）2，由12月份的房价为5670元/m2，从而可得方程，再解方程可得答案．
【解析】解：设11、12两月平均每月降价的百分率是x，则11月份的成交价是7000-7000x=7000（1-x），12月份的成交价是7000（1-x）（1-x）=7000（1-x）2，由题意，得
∴7000（1-x）2=5670，
∴（1-x）2=0.81，
∴x1=0.1，x2=1.9（不合题意，舍去）．
故答案为：10．
【点睛】本题是一道一元二次方程的运用题，是有关降低的百分率问题，与实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．
12．游行队伍有8行12列，后又增加了69人，要使得队伍增加的行数和列数相同，需要增加___行．
【答案】3
【分析】设游行队伍增加的行数和列数均为x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【解析】解：设游行队伍增加的行数和列数均为x，
根据题意得出：
解得：x=3或x＝﹣23（舍）
∴需增加3行，3列
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确解读题意设未知数，并列出正确的一元二次方程．
13．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了_______人．
【答案】12
【分析】设平均一人传染了x人，一轮传染后有（x+1）人，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解．
【解析】解：设平均一人传染了x人，得：
x＋1＋(x＋1)x＝169
解得x＝12或x＝－14（舍去）．
故平均一人传染12人．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，考查了理解题意的能力，题目关键是看到两轮传染．
14．2019年元旦节期间班上数学兴趣小组的同学互发微信祝贺，每两个同学都互相发一次，小明统计全组共互发了90次微信，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为____________．
【答案】x(x-1)=90
【分析】每个人都要发送（x-1）次微信，有x个人，由微信的总数量列出方程，即可得到答案．
【解析】解：设数学兴趣小组的人数为x个，
∴每人要发送（x-1）次微信，
∴全班共送x（x-1）=90，
故答案为：x（x-1）=90．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是本题的关键．
15．如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为______．
【答案】
【分析】设剪去的正方形边长为xcm，根据题意，列出方程，即可求解．
【解析】解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
16．将进货单价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得8000元的利润，商品售价应为________元．
【答案】60或80
【分析】设商品售价应为x元，由题意可得，进而求解即可．
【解析】解：设商品售价应为x元，由题意可得：
，
解得：，
∴当商品售价为60元或80元时，赚得8000元的利润；
故答案为60或80．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
17．如图，有一块长，宽的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，则这个盒子的容积为___．
【答案】192
【分析】根据题意，可设截去的四个相同的小正方形边长为，则可表示出该无盖盒子底面的长和宽，从而列出一元二次方程并求解得到的值，进而得出该无盖盒子的高，即可得出其容积．
【解析】解：设截去的四个相同的小正方形边长为，
则无盖盒子的底面长为，宽为，
由题意：，
解得：或（不合题意，舍去），
∴小正方形边长为2，
则该无盖盒子的高为2，
∴其容积为：，
故答案为：192．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找准等量关系并建立方程是解题关键．
18．如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当_______s时，的面积为．
【答案】或
【分析】利用等腰直角三角形的性质求出AB，设时间为秒，分和两种情况结合三角形面积分别计算．
【解析】解：∵在等腰中，，，
∴，，．
∵于点．
∴设当时间为秒时，的面积为．
当时，，，
，即，
解得：或（舍去）．
当时，，，
，即，
解得：或（舍去）．
综上所述：当或秒时，的面积为．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，解一元二次方程，解题的关键是理解点的运动情况，注意分类讨论．
三、解答题
19．列方程解应用题：口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害气体、飞沫、病毒等物质，对进入肺部的空气有一定的过滤作用．据调查，2021年1月份某厂家口罩产量为80万只，2月份比1月份增加了25%，4月份口罩产量为196万只．
(1)该厂家2月份的口罩产量为______万只；
(2)该厂家2月份到4月份口罩产量的月平均增长率是多少？
【答案】(1)100
(2)40%
【分析】（1）用1月份的产量乘以(1+25%)即可求解；
（2）设月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
（1）2月份的产量为：80×(1+25%)=100（万只），故答案为：100；
（2）设月平均增长率为x，根据题意有：100×(1+x)2=196，解得：x=40%，（负值舍去），故2月份到4月份的平均增长率为40%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键．
20．2020年1月份以来，新型冠状病毒肺炎在我国蔓延，假如有一人感染新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有64人患病．
（1）求每轮传染中平均每个人传染了几个健康的人；
（2）如果不及时控制，第三轮传染将又有多少个健康的人患病？
【答案】（1）每轮传染中平均每个人传染了7个健康的人；（2）第三轮传染将又有448个健康的人患病．
【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有64人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）利用经过两轮传染后的人数乘以每轮平均传染人数，即可求出结论．
【解析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个健康的人．
依题意，得，
解得（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了7个健康的人．
（2）（个）．
答：第三轮传染将又有448个健康的人患病．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数.
【答案】这个两位数为36或63.
【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和=45，把相关数值代入求得整数解即可．
【解析】设个位数字为，则十位数字为.
得，
∴这个两位数为36或63.
【点睛】考查一元二次方程的应用，用到的知识点为：两位数=10×十位数字+个位数字，解题的关键是能够表示这个两位数．
22．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少1625个/天，工厂的产线共x条
（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）．
（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？
【答案】（1）；（2）12或36
【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案．
【解析】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天
故答案为：；
（2）根据题意，得：
或
∴即该工厂引进了12或36条生产线．
【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．
23．有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃的一边为米．
(1)如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长是多少米？
(2)能围成面积为平方米的花圃吗？若能，求出的长，若不能，请说明理由．
【答案】(1)7米
(2)不能，理由见解析
【分析】(1)首先根据题意列出不等式组，可求得x的取值范围，再根据各边长度间的关系可得出米，再利用矩形的面积计算公式及围成花圃的面积为平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之并取其符合题意的值，即可得出结论；
(2)首先根据围成花圃的面积为平方米，即可得出关于x的一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式，即可判定能否围成面积为平方米的花圃．
【解析】（1）解：米
米，
，
根据题意得：，
解得，(不符合题意，舍去)，
答：如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长是7米；
（2）解：不能围成面积为平方米的花圃；
理由如下：
根据题意得：，
整理得：，
，
该方程没有实数根，
故不能围成面积为平方米的花圃．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，灵活运用一元二次方程根的判别式．
24．某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．
（1）甲运动后的路程是多少?
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间?
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间?
【答案】（1）28cm；（2）3s；（3）7s
【分析】（1）将t=4代入公式计算即可；
（2）第一次相遇即是共走半圆的长度，据此列方程，求解即可；
（3）第二次相遇应是走了三个半圆的长度，得到，解方程即可得到答案.
【解析】解：（1）当 t=4s 时，cm.
答：甲运动 4s 后的路程是 ．
（2） 由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆 ，甲走过的路程为 ，
乙走过的路程为 ，则.
解得 或 （不合题意，舍去）．
答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了 3s．
（3） 由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆 ，
则
解得 或 （不合题意，舍去）．
答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了 7s．
【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键.
25．某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草．
(1)如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米；
(2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间．
①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）；
②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值．
【答案】(1)1米；
(2)①；②．
【分析】（1）设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可；
（2）①先用a表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；②由①和题目意思列出方程求解即可．
【解析】（1）解：设小道进出口的宽度为米，
依题意得．
整理，得．
解得，，．
（不合题意，舍去），
；
答：小道进出口的宽度应为1米；
（2）解：①剩余的种植花草区域的面积为：
②由，得：
，
解得：（舍去）．
故．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，面积的表示，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程，注意根据实际意义舍根．
26．随着武汉解封，湖北各地的复工复产正有序进行，经济复苏也按下了“重启键”．为助力湖北复苏，月日抖音发起了“湖北重启，抖来助力--抖音援鄂复苏计划”，通过直播或短视频助力推广湖北特色产品已知当天的直播活动中热干面和周黑鸭共销售万份，其中周黑鸭的销量是热干面的倍．
(1)求当天的直播活动中销售了多少万份周黑鸭？
(2)为刺激消费，直播中推出了优惠活动疫情前，疫情期间售价均为元一份的周黑鸭（一份里面有一盒锁骨，两盒鸭脖，一盒鸭掌），以折力度售卖．疫情前，疫情期间售价均为元一份的热干面（一份里面有包热干面），以折力度售卖．已知疫情前周黑鸭的日销售量比直播当天的销量少，疫情期间的日销售额比疫情前的日销售额减少了万元；疫情前热干面的日销量比直播当天热干面的销量少，疫情期间的日销售量比疫情前的日销售量减少了；疫情期间周黑鸭和热干面的总日销售额比直播当天的总销售额少，求的值．
【答案】(1)当天的直播活动中销售了万份周黑鸭
(2)的值为
【分析】（1）设当天的直播活动中销售了万份热干面，则销售了万份周黑鸭，由题意得：，求解的值，进而可得的值；
（2）由题意得：，计算求出满足要求的解即可．
【解析】（1）解：设当天的直播活动中销售了万份热干面，则销售了万份周黑鸭，由题意得：，
解得：，
．
答：当天的直播活动中销售了万份周黑鸭；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
∴的值为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列正确的方程．