(寒假)浙教版数学八年级寒假讲练第07讲 一元二次方程的解法-配方法（2份，原卷版+解析版）

这是一份(寒假)浙教版数学八年级寒假讲练第07讲 一元二次方程的解法-配方法（2份，原卷版+解析版），文件包含寒假浙教版数学八年级寒假讲练第07讲一元二次方程的解法-配方法原卷版doc、寒假浙教版数学八年级寒假讲练第07讲一元二次方程的解法-配方法解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；
2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；
3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.
【基础知识】
一．配方法解一元二次方程：
(1)配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
要点：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式．
二、配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
【考点剖析】
考点1：配方法解一元二次方程
例1．用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．
【解析】解：，
，
则，
即，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．
例2．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【解析】解：∵，
∴，，
则，即，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
例3．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．化为B．化为
C．化为D．化为
【答案】B
【分析】根据配方的步骤计算即可解题．
【解析】
故B错误．且ACD选项均正确，
故选：B
【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．
例4．关于y的方程，用___________法解，得__，__．
【答案】 配方 102
【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．
【解析】，
，
，
，
，
，
故答案为：配方，102，．
【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键．
例5．用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据配方法的步骤：先把二次项系数化为1，然后把常数项移到右边，两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可得到答案．
【解析】解：∵ ，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了配方法，解题的关键在于能够熟练掌握配方法．
例6．用配方法解方程，正确的是（ ）
A．B．
C．，原方程无实数解D．，原方程无实数解
【答案】D
【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解．
【解析】方程移项得：x2-x=-1，
配方得：x2-x+=-，即（x-）2=-，
则原方程无实数解，
故选D．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
例7．用配方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】利用配方法求解即可．
（1）解：3x2−5x=2移项得：x2-x=，配方得：x2-x+=+，合并得：（x-）2=，解得：x1=+=2，x2=-=-；
（2）解：x2+8x=9配方得：x2+8x +16=9+16，合并得：（x+4）2=25，解得x1=1，x2=-9；
（3）解：x2+12x−15=0移项得：x2+12x+36=15+36，配方得：（x+6）2=51解得x1=-6＋，x2=-6-
（4）解：x2−x−4=0去分母得：，移项得：，配方得：x2-4 x+4=16+4，合并得：（x-2）2=20，解得：x1=2＋2，x2=2－2；
（5）解：2x2+12x+10=0 系数化为1得：，移项得：，配方得：x2+6x+9=-5+9，合并得：（x+3）2=4，解得：x1=-1，x2=--5；
（6）解：x2+px+q=0，移项得：，配方得：x2+px+=-q+，合并得：(x+)2=，解得x=．
【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键．
考点2：配方法的应用1-三角形问题
例8．的三边分别为、、，若，，按边分类，则是______三角形
【答案】等腰
【分析】将，代入中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a与c的值，进而求出b的值，即可确定出三角形形状．
【解析】解：∵
∴ ，
∴，
∴，
即，
整理得：，
∵，，
∴，即；，即，
∴，
则△ABC为等腰三角形．
故答案是：等腰．
【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
例9．如果一个三角形的三边均满足方程，则此三角形的面积是______
【答案】
【解析】解方程：，得 ，
∴.
∵一个三角形的三边均满足方程 ，
∴此三角形是以5为边长的等边三角形，
∴三角形的面积=°=.
故答案是：.
例10．已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ）
A．c＞8B．5＜c＜8C．8＜c＜13D．5＜c＜13
【答案】C
【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．
【解析】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，
∴（a2-10a+25）+（b2-16b+64）=0，
∴（a-5）2+（b-8）2=0，
∵（a-5）2≥0，（b-8）2≥0，
∴a-5=0，b-8=0，
∴a=5，b=8．
∵三角形的三条边为a，b，c，
∴b-a＜c＜b+a，
∴3＜c＜13．
又∵这个三角形的最大边为c，
∴8＜c＜13．
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．
考点3：配方法的应用2-比较整式大小与求值问题
例11．若M=2-12x+15，N=-8x+11，则M与N的大小关系为（ ）
A．M≥NB．M＞NC．M≤ND．M＜N
【答案】A
【解析】∵M=2-12x+15，N=-8x+11，
∴M-N= .
∵，
∴M-N0，
∴MN.
故选A.
点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小.
例12．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ）
A．0B．1C．3D．不确定
【答案】A
【分析】把x=a代入3个方程得出a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．
【解析】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．
∵a2+a+1=（a+）2+＞0，
∴a+b+c=0．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
例13．已知实数，，满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由变形得，代入中得到，再进行配方，根据非负数的性质即可得到答案．
【解析】





故选：A．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键．
考点4：配方法的应用3-最值问题
例14．若为任意实数时，二次三项式的值都不小于0，则常数满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把二次三项式进行配方即可解决．
【解析】配方得：
∵，且对为任意实数，
∴
∴
故选：B
【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．
例15．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2－2x－4y+16的值总是_______数．
【答案】正
【解析】x2+y2－2x－4y+16=（x2－2x+1）+（y2－4y+4）－1－4+16=（x－1）2+（y－2）2+11，由于（x－1）2≥0，（y－2）2≥0，故（x－1）2+（y－2）2+11≥11，所以x2+y2－2x－4y+16的值总是正数.
故答案为正.
点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即可证明.
例16．不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（ ）
A．总大于7B．总不小于9
C．总不小于﹣9D．为任意有理数
【答案】C
【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可．
【解析】解：4x2+3y2+8x﹣12y+7
＝4x2＋8x＋4＋3y2−12y＋3
＝4（x2＋2x＋1）＋3（y2−4y＋1）
＝4（x＋1）2＋3（y2−4y＋4−4＋1）
＝4（x＋1）2＋3（y−2）2−9，
∵（x＋1）2≥0，（y−2）2≥0，
∴4x2+3y2+8x﹣12y+7≥−9．
即不论x、y为什么实数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值总不小于−9．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法．
例17．若，则x2+y2+z2可取得的最小值为（ ）
A．3B．C．D．6
【答案】B
【分析】设，把x，y，z用k的代数式表示，则x2+y2+z2转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值．
【解析】设，
则，，，
∴x2+y2+z2
=14k2+10k+6，
．
故最小值为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，关键是把x2+y2+z2转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值．
例18．关于代数式，有以下几种说法，
①当时，则的值为-4.
②若值为2，则.
③若，则存在最小值且最小值为0.
在上述说法中正确的是（ ）
A．①B．①②C．①③D．①②③
【答案】C
【分析】①将代入计算验证即可；②根据题意=2，解得a的值即可作出判断；③若a＞-2，则a+2＞0，则对配方，利用偶次方的非负性可得答案．
【解析】解：①当时，
．
故①正确；
②若值为2，
则，
∴a2+2a+1=2a+4，
∴a2=3，
∴．
故②错误；
③若a＞-2，则a+2＞0，
∴=
=
=≥0．
∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0．
故③正确．
综上，正确的有①③．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键．
考点5：配方法的应用4-配方法在二次根式与分式中的应用
例19．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是_________．
【答案】
【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解．
【解析】解：∵，p=3，c=2，
∴，
∴a+b=4，
∴a=4−b，
∴

∴当b=2时，S有最大值为．
【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．
例20．已知（x，y均为实数），则y的最大值是______．
【答案】
【分析】将根据题意，，原式两边同时平方，可得，故，进而即可求得最大值.
【解析】解：，，，
．
，
．
的最大值为．
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次根式的求值问题，配方法的应用，解本题的关键是通过y2为媒介求得y的取值范围从而找出最大最小值.
例21．已知，则____________
【答案】20
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入所求代数式计算即可．
【解析】将等式整理配方,
∴
则=0，=0，=0
∵a-1≥0，b-2≥0，c-3≥0，
∴∴a=2，b=6，c=12，
∴a+b+c=20.
故填：20.
【点睛】此题主要考查配方法的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形应用.
例22．已知，无论取任何实数，这个式子都有意义，则c的取值范围_______.
【答案】c＜−1
【分析】将原式分母配方后，根据完全平方式的值为非负数，只需−c−1大于0，求出不等式的解集即可得到c的范围．
【解析】原式分母为：x2＋2x−c＝x2＋2x＋1−c−1＝（x＋1）2−c−1，
∵（x＋1）2≥0，无论x取任何实数，这个式子都有意义，
∴−c−1＞0，
解得：c＜−1．
故填：c＜−1
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及分式有意义的条件，灵活运用配方法是解本题的关键．
例23．（1）设，求的值．
（2）已知代数式，先用配方法说明：不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
【答案】（1）的值为；（2）说明见解析，当时，代数式有最小值．
【分析】（1）根据a＞b＞0可知，，再根据完全平方式把被开方数展开，把a2+b2=3ab代入进行计算即可；
（2）首先将原式变形为（x-）2+，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是整数，设代数式的值为M，就有M=x2-5x+7，根据非负数的性质就可以求出最值．
【解析】（1）∵a＞b＞0，a2+b2=3ab，
∴原式===；
（2）解：由题意，得，
∵，
∴，
∴，
∴这个代数式的值总是正数．
设代数式的值为M，则有
M=，
∴M=，
∴当时，这个代数式的值最小为．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，求代数式的值，代数式中配方法的运用，关键是运用完全平方公式，式子的转化．
考点6：配方法的应用5-创新与阅读材料题
例24．选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：或；③选取一次项和常数项配方：．
根据上述材料解决下面问题：
（1）写出的两种不同形式的配方．
（2）已知，求的值．
（3）已知a、b、c为三条线段，且满足，试判断a、b、c能否围成三角形，并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）1；（3）不能围成三角形，理由详见解析．
【分析】（1）根据配方的概念，分别对一次项和常数项进行配方；
（2）根据求出x、y的值，代入求解即可；
（3）将原式进行转换，得出a、b、c之间的等量关系，从而进行判断．
【解析】（1）或．
（2），
．
，．．
（3）不能，理由如下：原式变形：．
．
即．
，，．
．a、b、c三条线段不能围成三角形．
【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意理解新概念并掌握整式的运算，求解出未知数或者他们之间的等量关系是解题的关键．
例25．若实数x，y，z满足x＜y＜z时，则称x，y，z为正序排列．已知x=﹣m2+2m﹣1，y=﹣m2+2m，若当m时，x，y，z必为正序排列，则z可以是( )
A．mB．﹣2m+4C．m2D．1
【答案】A
【分析】用每一个选项减去y=-m2+2m，通过配方判定它们的差的符号，从而正确确定选项．
【解析】A．∵m(﹣m2+2m)=m2﹣m(m)2，∴当m时，(m)2＞0，∴当m时，x，y，z必为正序排列；
B．∵﹣2m+4﹣(﹣m2+2m)=m2﹣4m+4=(m﹣2)2，∴当m=2时，(m﹣2)2=0，∴当m时，x，y，z不一定为正序排列；
C．m2﹣(﹣m2+2m)=2m2﹣2m=2m(m﹣1)，∴当m≤1时，2m(m﹣1)＜0，∴当m时，x，y，z不一定为正序排列；
D．1﹣(﹣m2+2m)=m2﹣2m+1=(m﹣1)2，∴当m=1时，(m﹣1)2=0，∴当m时，x，y，z不一定为正序排列．
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法的应用，考查学生的计算能力．
【真题演练】
一、单选题
1．（2022·山东东营·统考中考真题）一元二次方程的解是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用配方法解方程即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故选D．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
2．（2022·山东聊城·统考中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【解析】解：∵，
∴，，
则，即，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
3．（2018·山东泰安·统考中考真题）一元二次方程根的情况是（ ）
A．无实数根B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3D．有两个正根，且有一根大于3
【答案】D
【解析】分析：直接整理原方程，进而解方程得出x的值．
详解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5
整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x1=2+＞3，x2=2﹣，故有两个正根，且有一根大于3．
故选D．
点睛：本题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题的关键．
二、填空题
4．（2013·广东佛山·中考真题）方程的解是_______．
【答案】
【分析】用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方：
【解析】由，移项得：，配方得：，
两边直接开平方得：，则．
故填：
5．（2011·广西崇左·中考真题）若为正实数，且，则=_______．
【答案】
【分析】由m-=3，得m2-3m-1=0，即(m- ，因为m为正实数，可得出m的值，代入m2- ，解答出即可；
【解析】解：由m-=3得，
得m2-3m-1=0，即(m-，
∴m1=，
因为m为正实数，∴m=
；
故答案为：3．
三、解答题
6．（2019·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程：
【答案】，
【分析】方程两边都加上，配成完全平方式，再两边开方即可得．
【解析】解：，
，即，
则，
，
即，．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，必须熟练的计算,这是中考的必考题.
7．（2013·四川自贡·中考真题） 用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．
【答案】详见解析
【分析】应用配方法解一元二次方程，要把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解析】解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，∴a≠0．
∴由原方程，得，
等式的两边都加上一次项系数一半的平方，得，
即，
开方，得，即，
移项，得，
∴原方程的解为（其中b2﹣4ac≥0）．
【点睛】配方法解一元二次方程．
8．（2017·山东滨州·中考真题）根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；
…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n．
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
【答案】（1）①；②；③．（2）①， ②；（3）．
【分析】（1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、－4，常数项分别为1，2，3．解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案即可；（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可.
【解析】（1）①；
②；
③．
（2）①；
②．
（3）

x2－9x＋＝－8＋
(x－ )2＝
∴x－＝±．
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程.根据系数和解的特征找出规律是解题的关键.
【过关检测】
一、单选题
1．一元二次方程x2﹣6x+2＝0经过配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2＝4B．（x+3）2＝7C．（x﹣3）2＝4D．（x﹣3）2＝7
【答案】D
【分析】利用配方法的步骤配方即可解答．
【解析】解：移项，得：x2﹣6x＝﹣2，
配方，得：x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7，
故选：D．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解答的关键．
2．一元二次方程化为的形式，正确的是（ ）
A．B．C．D．以上都不对
【答案】A
【分析】先把常数项1移到等号的右边，再把二次项系数化为1，最后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配方即可．
【解析】解：∵2x2-3x+1=0，
∴2x2-3x=-1，
，
，
，
∴一元二次方程2x2-3x+1=0化为（x+a）2=b的形式是：，
故选：A．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3．在解方程时，对方程进行配方，对于两人的做法，说法正确的是（ ）
A．两人都正确B．小思正确，小博不正确C．小思不正确，小博正确D．两人都不正确
【答案】A
【分析】利用配方法把含未知数的项写成完全平方式，然后利用直接开平方法解方程．
【解析】由图知，小思和小博除了第一步x2的系数化1不一致，其他都一样．两人的做法都正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
4．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．化为B．化为
C．化为D．化为
【答案】B
【分析】根据配方的步骤计算即可解题．
【解析】
故B错误．且ACD选项均正确，
故选：B
【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．
5．用配方法解方程，正确的是（ ）
A．B．
C．，原方程无实数解D．，原方程无实数解
【答案】D
【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解．
【解析】方程移项得：x2-x=-1，
配方得：x2-x+=-，即（x-）2=-，
则原方程无实数解，
故选D．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．阅读下列材料:如果,那么,则,由此可知:,.根据以上材料计算的根为
A．,B．,
C．,D．,
【答案】A
【分析】把的左边整理为平方差公式的形式，然后进行因式分解并解答．
【解析】


x-3=±5
x1=8 ,x2= -2
故选A
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程．关键是要熟练掌握配方法的一般步骤.
7．若M=2-12x+15，N=-8x+11，则M与N的大小关系为（ ）
A．M≥NB．M＞NC．M≤ND．M＜N
【答案】A
【解析】∵M=2-12x+15，N=-8x+11，
∴M-N= .
∵，
∴M-N0，
∴MN.
故选A.
点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小.
8．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ）
A．0B．1C．3D．不确定
【答案】A
【分析】把x=a代入3个方程得出a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．
【解析】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．
∵a2+a+1=（a+）2+＞0，
∴a+b+c=0．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
9．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【解析】x2+6x+m=0，
x2+6x=-m，
∵阴影部分的面积为36，
∴x2+6x=36，
4x=6，
x=，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4=36+9=45，则该方程的正数解为．
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
10．已知实数满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由m2-m+c=0，可得m2-m=-c，代入n=4m2-4m+c2-，得到n=c2-2c-，再配方后，根据非负数的性质可求n的取值范围．
【解析】∵m2-m+c=0，
∴m2-m=-c，
∵m2-m=（m-）2-≥-，
∴-c≥-，
∴c≤，
∵n=4m2-4m+c2-
=4（m2-m）+c2-
=4×（-c）+c2-
=c2-2c-
=（c-1）2-，
∵（c-1）2≥，
∴n≥-1．
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，解题关键是通过配方确定c的取值范围并根据题意得到n=c2-2c-．
二、填空题
11．下列是小明同学用配方法解方程：的过程：
解：，…第1步
，…第2步
，…第3步
，则…第4步
∴．
最开始出现错误的是第 _____步．
【答案】2
【分析】将常数项移到方程的右边，再把二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【解析】解：，…第1步，
，…第2步，
，……第3步，
，则……第4步，
∴．
所以原解答过程从第2步开始出现错误，
故答案为：2．
【点睛】本题考查解一元二次方程－配方法，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程．
12．用配方法解方程时，方程的两边同时加上一个实数_____________，使得方程左边配成一个完全平方式．
【答案】16
【分析】根据一元二次方程的配方法可直接进行求解．
【解析】解：用配方法解方程时，方程的两边同时加上一个实数16，使得方程左边配成一个完全平方式，即为；
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．
13．若一元二次方程配方后为，则______．
【答案】12
【分析】将配方后的方程化为一般形式，即可得出a=4，b=3，代入代数式求解即可．
【解析】解：∵一元二次方程−ax+b=0配方后为，
∴将整理为，
∴a=4，b=3，
∴ab=12，
故答案为：12．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的配方法及求代数式的值，将配方后的方程展开是解题关键．
14．已知等腰三角形的面积S与底边x有如下关系：S＝﹣5x2+10x+14，将这个解析式配方，得S=_______________，则x＝______时，S有最大值，最大值是 ____________．
【答案】 1 19
【分析】先配方，再根据平方的性质解答．
【解析】解：配方得：S＝﹣5x2+10x+14＝﹣5（x﹣1）2+19，
∴当x＝1时，S最大＝19，
故答案为：﹣5（x﹣1）2+19，1，19．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握配方法的步骤和平方的性质是解题关键．
15．若一元二次方程的x2﹣2x﹣3599=0两根为a，b，且a＞b，则2a﹣b的值为_____．
【答案】181
【解析】x2﹣2x=3599，
x2﹣2x+1=3600
（x﹣1）2=3600，
x﹣1=±60，
所以a=61，b=﹣59，
所以2a﹣b=2×61﹣（﹣59）=181．
故答案为181．
16．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是_________．
【答案】
【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解．
【解析】解：∵，p=3，c=2，
∴，
∴a+b=4，
∴a=4−b，
∴

∴当b=2时，S有最大值为．
【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．
17．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2－2x－4y+16的值总是_______数．
【答案】正
【解析】x2+y2－2x－4y+16=（x2－2x+1）+（y2－4y+4）－1－4+16=（x－1）2+（y－2）2+11，由于（x－1）2≥0，（y－2）2≥0，故（x－1）2+（y－2）2+11≥11，所以x2+y2－2x－4y+16的值总是正数.
故答案为正.
点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即可证明.
18．阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程x=-1时，突发奇想：x=-1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=-1，那么当x2=-1时，有x=±i，从而x=±i是方程x2=-1的两个根．据此可知：方程x2-4x+5=0的两根为 __．(根用i表示)
【答案】，
【分析】方程利用配方法，结合阅读材料中的方法求出解即可．
【解析】解：方程整理，得x2-4x＝－5，
配方得x2－4x＋4＝－1，即(x-2)2＝－1，
开方，得x-2＝±i，
解得，，
故答案为：，．
【点睛】题考查了解一元二次方程-直接开平方法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
三、解答题
19．用配方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】利用配方法求解即可．
（1）解：3x2−5x=2移项得：x2-x=，配方得：x2-x+=+，合并得：（x-）2=，解得：x1=+=2，x2=-=-；
（2）解：x2+8x=9配方得：x2+8x +16=9+16，合并得：（x+4）2=25，解得x1=1，x2=-9；
（3）解：x2+12x−15=0移项得：x2+12x+36=15+36，配方得：（x+6）2=51解得x1=-6＋，x2=-6-
（4）解：x2−x−4=0去分母得：，移项得：，配方得：x2-4 x+4=16+4，合并得：（x-2）2=20，解得：x1=2＋2，x2=2－2；
（5）解：2x2+12x+10=0 系数化为1得：，移项得：，配方得：x2+6x+9=-5+9，合并得：（x+3）2=4，解得：x1=-1，x2=--5；
（6）解：x2+px+q=0，移项得：，配方得：x2+px+=-q+，合并得：(x+)2=，解得x=．
【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键．
20．解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）；（2），；（3）；（4）；（5）原方程无实数解；（6）
【分析】（1）直接利用开平方的方法解方程即可；
（2）直接利用配方法求解即可；
（3）直接利用开平方的方法解方程即可；
（4）直接利用配方法求解即可；
（5）先配方，然后可以得到，由此可以判断方程无解；
（6）先去括号，合并同类项，然后用配方法解方程即可．
【解析】解：（1）由方程可得，，
∴，
∴，；
（2）移项得，
配方得，
∴，
解得，
∴，；
（3）直接开平方得，
即或，
解得，；
（4）移项得，二次项的系数化为1得，，
，
，
解得；
（5）由原方程，得，等号的两边同时乘2，得，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得，配方得．
∵无论x取何值，恒大于等于零，
∴原方程无实数解；
（6），
，
，，
解得，
∴，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．
21．阅读：代数式x2+2x+3可以转化为（x+m）2+k的形式（其中m，k为常数），如：x2+2x+3＝x2+2x+1﹣1+3＝（x2+2x+1）﹣1+3＝（x+1）2+2
（1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式；
（2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据示例给出的方法将代数式转化为（x+m）2+k的形式即可，
（2）先将代数式转化为（x+m）2+k的形式，再与（x﹣b）2﹣1的形式联立，求出a和b的值即可．
【解析】解：（1）仿照示例的方法可得：
（2）
，
即：，，
．
【点睛】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的运算规则是解决本题的关键．
22．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：
根据以上材料，解答下列问题：
(1)用多项式的配方法将化成的形式；
(2)把多项式进行分解因式
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据配方法，，可得答案；
（2）根据因式分解法，，然后利用平方差公式进行分解，可得答案；
【解析】（1）解：根据题意，则
；
（2）解：
；
【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质以及因式分解．正确的利用完全平方公式：进行配方是解题关键．
23．选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：或；③选取一次项和常数项配方：．
根据上述材料解决下面问题：
（1）写出的两种不同形式的配方．
（2）已知，求的值．
（3）已知a、b、c为三条线段，且满足，试判断a、b、c能否围成三角形，并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）1；（3）不能围成三角形，理由详见解析．
【分析】（1）根据配方的概念，分别对一次项和常数项进行配方；
（2）根据求出x、y的值，代入求解即可；
（3）将原式进行转换，得出a、b、c之间的等量关系，从而进行判断．
【解析】（1）或．
（2），
．
，．．
（3）不能，理由如下：原式变形：．
．
即．
，，．
．a、b、c三条线段不能围成三角形．
【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意理解新概念并掌握整式的运算，求解出未知数或者他们之间的等量关系是解题的关键．
24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值．
解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）2＋4
∵（y＋2）2≥0，
∴（y＋2）2＋4≥4
∴y2＋4y＋8的最小值是4．
（1）求代数式x2＋2x＋4的最小值；
（2）求代数式4－x2＋2x的最大值；
（3）如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）3；（2）5；（3）当x取5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2
【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；
（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可．
【解析】解：（1）x2＋2x＋4＝x2＋2x＋1＋3＝（x＋1）2＋3
∵（x＋1）2≥0，
∴（x＋1）2＋3≥3
∴x2＋2x＋4的最小值是3．
（2）4－x2＋2x＝－x2＋2x＋4＝－（x2－2x－4）＝－（x2－2x＋1－5）2＝－（x－1）2＋5
∵（x－1）2≥0，
∴－（x－1）2≤0
∴－（x－1）2＋5≤5
∴4－x2＋2x的最大值是5．
（3）设花园的面积为S（m2），根据题意，得
S＝AB·BC
＝x（20－2x）
＝－2x2＋20x
＝－2（x2－10x）
＝－2（x2－10x＋25－25）
＝－2（x－5）2＋50
∵－2（x－5）2≤0
∴－2（x－5）2＋50≤50
∴当x取5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
【点睛】此题考查了配方法的应用，解题的关键是：熟练掌握完全平方公式．
小思：
小博