(寒假)浙教版数学八年级寒假讲练第02讲 二次根式的性质（2）与二次根式的乘除（2份，原卷版+解析版）

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【学习目标】
掌握二次根式积的性质和商的性质；
2、了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简；
3、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算。
【基础知识】
一、二次根式的性质：
1.（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
2.（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
二、最简二次根式
（1）被开方数不含有分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
要点：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1) 被开方数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式.
三、二次根式的乘法
1.法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
要点：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
;
≥0，≥0，…..≥0）;
(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.
四、二次根式的除法
1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除..
要点：
(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
【考点剖析】
考点1：最简二次根式的概念
例1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用最简二次根式定义判断即可．
A：是最简二次根式，符合题意；
B：，不符合题意；
C：，不符合题意；
D：，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
例2．下列根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（ ）
A．2个B．3个C．6个D．5个
【答案】A
【解析】
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解：符合最简二次根式的条件；
=2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
=，被开方数含分母，不是最简二次根式；
=，被开方数含分母；不是最简二次根式；
符合最简二次根式的条件；
=，被开方数含分母；不是最简二次根式；
因此只有，两个符合条件．
故本题选择A．
考点2：最简二次根式的化简1-数字型（积的性质与商的性质）
例3．化简：______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据根式的性质进行化简即可．
解：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，熟悉相关性质是解题的关键．
例4．化简：（1）＝______；（2）﹣＝______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据最简二次根式的定义解答．
解：=，，
故答案为：，．
【点睛】
此题考查了二次根式的化简，掌握最简二次根式的定义：不含分母，不含能再开方的因式或因数，是解题的关键．
考点3：最简二次根式的化简2-含字母型（积的性质与商的性质）
例5．把下列二次根式化成最简二次根式：
(1).
(2).
(3).
(4).
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】
根据二次根式的乘法和除法法则化简即可.
解：(1).
(2).
(3).
(4).
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，属于基础题型，熟练掌握化简的方法是关键.
例6．当时，化简：_______；_______； _______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质进行化简．
根据二次根式的意义，可知中的，则，
又∵，∴原式=；
根据二次根式的意义和，可知中的，
则，
又∵，∴原式=；
根据二次根式的意义和，可知中的，则，
又∵，∴原式= ．
故答案是：；；．
【点睛】
本题考查二次根式的化简，需要注意化简的时候要考虑字母的取值范围，注意符号的变化．
考点4：最简二次根式的形式
例7．若二次根式是最简二次根式，则最小的整数______.
【答案】－1.
【解析】
【分析】
先确定a的范围，再根据最简二次根式的概念即可得出答案.
解：∵，∴.
当a取最小整数－1时，，是最简二次根式，所以最小的整数－1.
故答案为－1.
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件和最简二次根式的定义，熟知概念是解题的关键.
例8．若和都是最简二次根式，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据最简二次根式的定义解答即可.
根据题意得：
解得
∴
【点睛】
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
考点5：最简二次根式的化简3-复合型
例9．把下列各式化成最简二次根式：
； ；
； ；
； ．
【答案】；；；；；．
【解析】
【分析】
（1）先将带分数化为分数再开方．
（2）直接开方再分母有理化；
（3）直接开方即可．
（4）将小数化为分数后再开方．
（5）通分后再开方．
（6）通分后再开方，然后再分母有理化．
解：（1）原式==；
（2）原式=x2=x；
（3）原式==；
（4）原式==ab；
（5）原式==；
（6）原式==．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，难度不大，注意要耐心运算，否则很容易出错．
例10．已知a