(寒假)浙教版数学七年级寒假讲练测第02讲 平行线的判定（2份，原卷版+解析版）

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【学习目标】
1.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.
2.掌握平行公理及其推论；
3.掌握“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行.”
【基础知识】
一、直线平行的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
要点：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
二、平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
(3)“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
三、平行线判定的其他方法：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行.
【考点剖析】
例1．已知如图直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是( )
A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＝∠4D．∠2+∠5＝180°
【答案】A
【解析】试题解析：∵∠1=∠2，
∴a∥b；
故选A．
例2．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理分别进行分析即可求解．
【解析】解：A、∠1=∠2可判断，故此选项符合题意；
B、∠3=∠4可判断，故此选项不符合题意；
C、∠D=∠DCE可判断，故此选项不符合题意；
D、∠D+∠ACD=180°可判断，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
例3．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．两直线平行，同位角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．内错角相等，两直线平行
【答案】C
【分析】作图时保持∠1＝∠2，则可判定两直线平行．
【解析】如图：
∵∠1＝∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，善于从问题中抓住问题的本质是关键．
例4．如图，不能判断//的条件是（ ）
A．∠1=∠3B．∠2+∠4=180°C．∠4=∠5D．∠2=∠3
【答案】D
【分析】根据平行线的判定，结合图形逐项分析即可．
【解析】解：A、∠1=∠3正确，内错角相等两直线平行，不符合题意；
B、∠2+∠4=180°正确，同内角互补两直线平行，不符合题意；
C、∠4=∠5正确，同位角相等两直线平行，不符合题意；
D、∠2=∠3错误，它们不是同位角、内错角、同旁内角，故不能推断两直线平行，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
例5．如图下列推断错误的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【答案】C
【分析】根据题意，结合图形，由平行线的判定方法对选项一一分析，选择正确答案．
【解析】选项A、B、D都正确（都是依据“同位角相等，两直线平行”判定的）；
因为与、与都不是“三线八角”，
所以不能判定，
故C选项错误.
【点睛】本题考查平行线的判定方法．同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行．
例6．如图所示，下列判断不正确的是( )
A．因为∠1=∠2，所以AE∥BDB．因为∠3=∠4，所以AB∥CD
C．因为∠1=∠2，所以AB∥EDD．因为∠5=∠BDC，所以AE∥BD
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理一一判断即可．
【解析】A、由∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”可知AE∥BD，故正确；
B、由∠3=∠4，根据“内错角相等，两直线平行”可知AB∥CD，故正确；
C、由∠1=∠2，并不能推出AB∥ED，故错误；
D、由∠5=∠BDC，根据“同位角相等，两直线平行”可知AE∥BD，故正确．
故选C
【点睛】本题考查了平行线的判定定理.需要注意是那两条直线被第三条直线所截而构成的同位角、内错角.当同位角、内错角相等时，只能证明被截的两条直线平行．
例7．如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．若∠3＝∠5，则CD∥EFB．若∠2＝∠6，则CD∥EF
C．若∠4＝∠3，则CD∥EFD．若∠1＝∠6，则GH∥AB
【答案】C
【解析】解：∠4和∠3是直线EF和CD被直线GB所截形成的内错角，所以∠4＝∠3时，CD∥EF．故选C．
例8．如图有下列条件：①；②；③；④；⑤.其中能判定直线的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】依据平行线的判定方法逐一判定即可得出结论．
【解析】①由，能判定直线（内错角相等，两直线平行）；
②由，不能判定直线；
③由，可得，能判定直线（同位角相等，两直线平行），
④由，不能判定直线；
⑤，
，
，能判定直线（内错角相等，两直线平行）；
故能判定直线的有3个.
故选B.
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．
例9．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（ ）
A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°
【答案】B
【分析】两次拐弯后，行驶方向与原来相同，说明两次拐弯后的方向是平行的．对题中的四个选项提供的条件，运用平行线的判定进行判断，能判定两直线平行者即为正确答案．
【解析】A、如图1：∵∠1=40°，∠2=140°，
∴AB与CD不平行；
故本选项错误；
B、如图2：∵∠1=40°，∠2=40°，
∴∠1=∠2，
∴AB与CD平行；
故本选项正确；
C、如图3：∵∠1=40°，∠2=140°，
∴∠1≠∠2，
∴AB不平行CD；
故本选项错误；
D、如图4：∠1=40°，∠2=40°，
∴∠3=140°，
∴∠1≠∠3，
∴AB与CD不平行；
故本选项错误．
故选B．
【点睛】此题考查平行线的判定．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
例10．a，b，c为平面内不同的三条直线，若要a∥b，条件不符合的是（ ）
A．a∥c，b∥cB．a⊥c，b⊥c
C．a⊥c，b∥c D．c截a，b所得的内错角的邻补角相等
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理，对选项分别判断，排除出不符合条件者即可．
【解析】A据平行于同一条直线的两直线互相平行，可得a∥b，不符合题意；
B据同一平面内，垂直于同一条直线两直线平行，可得a∥b，不符合题意；
C中据垂直于两平行线中一条的直线必于另一条垂直，可得a⊥b，符合题意；
D中内错角的邻补角相等即内错角相等，可得a∥b，不符合题意；故选C．
【点睛】本题考查了平面内多条直线的位置关系，关键是掌握平行和垂直关系的判定．
例11．在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2D．在图④中，展开后测得∠1+∠2=180°
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【解析】A、 当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以a∥b；
B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得，所以a∥b；
C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；
D、∠1+∠2=180°时，同旁内角可互补，两直线平行，所以a∥b．
故选C
【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
例12．如图，∠EFB＝∠GHD＝53°，∠IGA＝127°，由这些条件，能找到_____对平行线．
【答案】2
【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行）进行判断即可．
【解析】解：∵∠GHD＝53°，
∵∠GHC＝127°，
∵∠IGA＝127°，
∴∠GHC＝∠IGA，∠IGB＝53°，
∴AB∥CD，
∵∠EFB＝53°，
∴∠IGB＝∠EFB，
∴IH∥EF．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行线的判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
例13．如图，填空:
(1)若∠A=∠3，则____∥_____，理由是______；
(2)若∠2=∠E，则____∥___，理由是____；
(3)若∠A+∠ABE=180°，则____∥___，理由是____；
(4)若∠2=∠____，则DA∥EB，理由是____；
(5)若∠DBC+∠_____=180°，则DB∥EC，理由是____；
【答案】见解析
【分析】根据平行线的判定方法解答即可.
【解析】(1)若∠A=∠3，则_AD__∥__BE__，理由是；(同位角相等，两直线平行);
(2)若∠2=∠E，则__BD__∥_CE__，理由是(内错角相等，两直线平行)；
(3)若∠A+∠ABE=180°，则_AD___∥__BE_，理由是(同旁内角互补，两直线平行)；
(4)若∠2=∠_D___，则DA∥EB，理由是(内错角相等,两直线平行)；
(5)若∠DBC+∠_C_=180°，则DB∥EC，理由是(同旁内角互补，两直线平行)；
故答案为(1). AD (2). BE (3). 同位角相等，两直线平行； (4). BD， (5)CE, (6)内错角相等，两直线平行; (7). AD, (8)BE, (9)同旁内角互补，两直线平行； (10). D (11). 内错角相等,两直线平行; (12).C, (13) 同旁内角互补，两直线平行.
【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
例14．如图，∠1＝2x＋10°，∠2＝40°－x，当∠1＝____度时，DE∥BC．
【答案】30
【分析】根据平行线的判定定理得出当∠1=∠2时，DE∥BC，推出方程2x+10=40-x，求出x的值，即可求出∠1．
【解析】当∠1=∠2时,DE∥BC，
即2x+10=40−x，
解得：x=10，
∠1=(2×10+10)度=30度，
故答案为30.
【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行.
例15．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝70°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是_____．
【答案】20°##20度
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．
【解析】解：∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是∠1-∠AOC =70°﹣50°＝20°．
故答案是：20°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．
例16．如图所示，给出如下条件：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不能判定直线的是___．
【答案】②③④⑤
【分析】根据平行线的判定方法逐条分析即可.
【解析】①∵，
∴（内错角相等，两直线平行），故不符合题意；
②∵∠2与∠3不具备特殊位置关系，
∴由不能判断，故符合题意；
③∵∠4与∠5不具备特殊位置关系，
∴由不能判断，故符合题意；
④∵时，，
∴由不能判断，故符合题意；
⑤∵∠3与∠5不具备特殊位置关系，
∴由不能判断，故符合题意；
⑥∵，
∴（同位角相等，两直线平行），故不符合题意；
故答案为②③④⑤.
【点睛】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行.
例17．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b//a，c//a，那么b//c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c．
其中真命题的是__________．（填写所有真命题的序号）
【答案】①②④
【解析】①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，
②如果b//a，c//a，那么b//c是真命题，
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，
④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c是真命题，
∴真命题有①②④，
故答案为：①②④
例18．在同一平面内有2022条直线，如果，，，……那么与的位置关系是_____________．
【答案】垂直
【分析】根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系．
【解析】解：∵在同平面内有2022条直线，若，，，……
∴与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…，
∵…1，
∴与的位置关系是垂直．
故答案为：垂直．
【点睛】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律．
例19．如图，是上一点，是上一点，是延长线上一点．
（1）如果，可以判断哪两条直线平行？为什么？
（2）如果，可以判断哪两条直线平行？为什么？
（3）如果，可以判断哪两条直线平行？为什么？
【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3），见解析
【分析】（1） ，互为同位角，根据同位角相等，两直线平行即知正确答案；
（2） ，互为内错角，根据内错角相等，两直线平行即知正确答案；
（3） ,互为同旁内角，根据同旁对角互补，两直线平行，可得正确答案.
【解析】解：（1）由，根据“同位角相等，两直线平行”，可得；
（2）由，根据“内错角相等两直线平行”，可得；
（3）由，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得．
【点睛】本题考查平行线的判定定理，牢记定理内容是解题关键．
例20．已知：如图， ．求证： ．
分析：如图，欲证，只要证______．
证明： ，（已知）
又，（ ）
__________．（ ）
．（__________，____________）
【答案】；对顶角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【分析】根据等量代换和同位角相等，两直线平行即可得出结果．
【解析】分析：如图，欲证，只要证．
证明： ，（已知）
又，（对顶角相等）
．（等量代换）
．（同位角相等，两直线平行）
【点睛】本题主要考查平行线的判定，属于基础题，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
例21．已知：如图，直线被所截， ，
求证： ．
证法1：如图， 与交于
（ ）
又（ ）
（ ）
（ ）
证法2：如图，
（ ）
又（ ）
（ ）
（ ）
证法3：如图，
（ ）
（ ）
又（ ）
（ ）
（ ）
【答案】证法1：对顶角相等，已知，等量代换，同位角相等，两直线平行；证法2：对顶角相等，已知，等量代换，内错角相等，两直线平行；证法3：邻补角互补，对顶角相等，已知，等量代换，同旁内角相等，两直线平行．
【分析】根据平行线的判定与性质解题．
【解析】证明：证法1：如图， 与交于
（ 对顶角相等 ）
又（ 已知 ）
（ 等量代换 ）
（ 同位角相等，两直线平行 ）
证法2：如图，
（ 对顶角相等 ）
又（ 已知 ）
（ 等量代换 ）
（ 内错角相等，两直线平行 ）
证法3：如图，
（ 邻补角互补 ）
（ 对顶角相等 ）
又（ 已知 ）
（ 等量代换 ）
（ 同旁内角相等，两直线平行 ）
【点睛】本题考查平行线的判定、几何推理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
例22．如图所示，平分，平分，且，求证：．
【答案】详见解析
【分析】利用三角形内角和定理得到，然后根据角平分线的定义得到，，再进行等量代换即可解答.
【解析】证明：∵（已知），
∴（三角形内角和定理）．
∵平分，平分（已知），
∴，（角平分线的定义）．
∴（等量代换）．
∴（等式的性质）．
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
【点睛】此题考查三角形内角和定理，平行线的判定，解题关键在于掌握判定定理.
例23．如图，直线、交于点，，分别平分和，已知，且．
(1)求的度数；
(2)试说明的理由．
【答案】(1)140°
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义推出，再根据对顶角性质求解即可；
（2）结合等量代换得出，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．
【解析】（1）解：∵，分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线、对顶角以及平行线的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
【真题演练】
一、单选题
1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果．
【解析】解：A、当时，；故A不符合题意；
B、当时，；故B不符合题意；
C、当时，；故C符合题意；
D、∵，则，
∵，则，
∴；故D不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．
2．（2022·浙江台州·中考真题）如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可．
【解析】解：A.∠1与∠2是邻补角，无法判断两条铁轨平行，故此选项不符合题意；
B. ∠1与∠3与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；
C. ∠1与∠4是同位角，且∠1=∠4=90°，故两条铁轨平行，所以该选项正确；
D. ∠1与∠5与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键．
3．（2020·浙江衢州·中考真题）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【解析】A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．
B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．
C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，
D、无法判断两直线平行，
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
4．（2020·浙江金华·中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，得到，理由是（ ）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线
C．连接直线外一点与直线各点的所有直线中，垂线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】A
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【解析】解：由题意得：
∴a∥b（在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行），
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的判定，平行公理，解题关键是理解题意，灵活运用所学直线解决问题．
二、填空题
5．（2021·甘肃兰州·中考真题）将一副三角板如图摆放，则______∥______，理由是______．
【答案】 内错角相等，两直线平行
【分析】根据三角板的角度可知，根据内错角相等，两直线平行判断即可．
【解析】解：一副三角板如图摆放，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案为：；；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解本题的关键．
6．（2018·湖南湘潭·中考真题）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为__________．（任意添加一个符合题意的条件即可）
【答案】∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断（答案不唯一）．
【解析】解：若，则BC∥AD；
若∠C+∠ADC=180°，则BC∥AD；
若∠CBD=∠ADB，则BC∥AD；
若∠C=∠CDE，则BC∥AD；
故答案为∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【过关检测】
一、单选题
1．如图，点在的延长线上，下列条件中能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
【解析】解：A、当时，可得：，不合题意；
B、当时，可得：，不合题意；
C、当时，可得：，不合题意；
D、当时，可得：，符合题意．
故选：D
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
2．如图，下列推论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．
【解析】解：A、，
∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意；
B、，
∴（同位角相等，两直线平行），不符合题意；
C、由无法得到，不符合题意；
D、，
∴（同位角相等，两直线平行），符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
3．如图，直线，被所截得的同旁内角为，，要使，只要使（ ）
A．B．
C．D．，
【答案】C
【分析】由同旁内角互补两直线平行即可判定出，变形后即可得到正确的选项．
【解析】解：当，即时，，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
4．如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【分析】图时保持∠1=∠2结合其为同位角，则可判定两直线平行．
【解析】
解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，灵活运用平行线的判定定理是解答本题的关键．
5．如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由平行线的判定定理进行判断，即可得到答案．
【解析】解：，则；故①符合题意；
，则；故②不符合题意；
，则；故③符合题意；
由，，则，得；故④符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理进行判断，是解题的关键
6．如图，下列能判定的条件有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．
【解析】解：①由可由同旁内角互补，两直线平行得到，符合题意；
②由可由同位角相等，两直线平行得到，符合题意；
③由可由内错角相等，两直线平行得到，符合题意；
④由可由内错角相等，两直线平行得到，不能得到，不符合题意；
⑤由可由内错角相等，两直线平行得到，不能得到，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
7．如图，已知直线，，直线交直线于点A，交直线于点B，过点B的直线交于点C，下列条件能判断的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理依次分析即可．
【解析】解：A. 不能证明，故不符合题意；
B. 不能证明，故不符合题意；
C. 不能证明，故不符合题意；
D. 能证明，故符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理：同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
8．如图，在三角形中，，点是上的点，于点，则下列结论中，不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】依据∠ACB=∠AED=90°，即可判定DE∥BC，依据平行线的性质，即可得出结论．
【解析】∵∠ACB=90°，DE⊥AC，
∴∠ACB=∠AED=90°，
∴DE∥BC，故A选项正确；
∠ADE=∠B，故B选项正确；
∠BCD=∠EDC，故D选项正确；
而CD⊥AB不一定成立，
故选B．
【点睛】考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行．
9．下列图形中，由能得到AB//CD的图形有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此判断即可．
【解析】解：第一个图形，
由∠1=∠2不能得到ABCD；故不符合题意；
第二个图形，
∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DCA，
∴ABCD，故符合题意；
第三个图形，
由∠1=∠2不能得到ACBD；故不符合题意；
第四个图形，
∵∠1=∠2，
∴ABCD，故符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．
10．数学课上，老师要求同学们利用三角板画出两条平行线，老师展示了甲、乙两位同学的画法如下：
甲的画法：
乙的画法：
请你判断两人的作图的正确性( )
A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确
C．两人都正确D．两人都错误
【答案】C
【分析】两人的根据分别是同位角相等，两直线平行，和内错角相等，两直线平行．
【解析】
如图，由已知可得两个图中∠1=∠2，
所以a∥b
所以，两人都正确．
故选：C．
【点睛】考核知识点：平行线判定．理解题意，运用平行线判定分析问题是关键．
二、填空题
11．平行线的判定方法：（1）两条直线被第三条直线所截，如果__________________，那么 ___________________________；
（2）两条直线被第三条直线所截，如果____________________，那么 ______________________；
（3）两条直线被第三条直线所截，如果____________________，那么 ______________________．
【答案】 同位角相等 两直线平行 内位角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行
【分析】根据平行线的判定方法填空即可．
【解析】解：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内位角相等，那么两直线平行；
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行，
故答案为：同位角相等、两直线平行；内位角相等、两直线平行；同旁内角互补、两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握判定定理的概念．
12．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是______．
【答案】同位角相等，两直线平行
【分析】作图时保持∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行即可画出已知直线的平行线．
【解析】解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理，解决本题的关键是掌握平行线的判定和性质．
13．如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1= 50°，则当∠2=____时，ab．
【答案】40°##40度
【分析】根据三角尺的直角顶点在直线b上，∠1＝50°，即可得到∠3＝180°−90°−∠1＝40°，再根据ab，即可得到∠2＝∠3＝40°．
【解析】解：如图，
∵三角尺的直角顶点在直线b上，∠1＝20°，
∴∠3＝180°−90°−∠1＝40°，
又∵要使得ab，
∴只需要∠2＝∠3＝40°，
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行线，同位角相等是解题的关键．
14．如图所示，下列说法中正确的编号是______．
①若∠2=∠4，则ADBC；
②若∠1=∠3，则ADBC；
③若∠3+∠ABC=180°，则ABCD；
④若∠2=∠4，则ABCD；
⑤若∠4+∠ABC=180°，则ABCD；
⑥若∠1=∠3，则ABCD．
【答案】②④##④②
【分析】根据平行线的判定方法逐一分析判断即可．
【解析】解：①若∠2=∠4，则ABCD，故①错误；
②若∠1=∠3，则ADBC，故②正确；
③若∠3+∠ABC=180°，不能判定ABCD，故③错误；
④若∠2=∠4，则ABCD，故④正确；
⑤若∠4+∠ABC=180°，不能判定ABCD，故⑤错误；
⑥若∠1=∠3，则ADBC，故⑥错误．
所以正确的说法是②④．
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练应用平行线的判定定理是解题的关键，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
15．如图，直角三角形的顶点A在直线m上，分别度量：①；②；③；④，可判断直线m与直线n是否平行的是__________．
【答案】②
【分析】两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．据此可得结论．
【解析】解：度量：①∠1，∠2，∠C，不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；
度量：②∠2，∠3，∠B，可得∠4的度数，结合∠2的度数，即可判断直线m与直线n是否平行，符合题意；
度量：③∠3，∠4，∠C不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；
度量：④∠1，∠2，∠3，不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；
故答案为：②．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
16．将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号）
【答案】①④⑤
【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题．
【解析】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°，
∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2，
∴mn，故①符合题意；
∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故②不符合题意；
∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故③不符合题意；
过点C作CEm，
∴∠3=∠4，
∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5，
∴∠1=∠5，
∴ECn，
∴mn，故④符合题意；
∵∠ABC=∠2-∠1，
∴∠2=∠ABC+∠1，
∴mn，故⑤符合题意；
故答案为：①④⑤．
【点睛】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．李强同学学完“相交线与平行线”一章后，在一本数学读物上看到一种只利用圆规和无刻度直尺作图的方法：
① 以∠AOB的顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA边于点M，交OB边于点N；② 作一条射线CD，以点C为圆心，以OM长为半径画弧，与射线CD交于点E；③ 以点E为圆心，以MN长为半径画弧，与②中所画弧交于点F；④ 过点F作射线CP，则∠PCD=∠BOA．如图1：
李强想利用这种方法过平面内一点Q作直线l的平行线a，如图2．
（1）李强同学能借助上述方法作出直线l的平行线a吗？______（填“能”或“不能”）.
（2）如果能，请在图2中作出直线a, 保留作图痕迹，并说明能够证明这两条直线平行的理由：________________．
【答案】 能 图见解析，同位角相等，两直线平行
【分析】（1）根据题目中所列的方法即可判断；
（2）根据题目中所列的方法即可画出图形
【解析】解：（1）根据题目中的方法，作出角与已知角相等，再由平行线的判定从而得到平行线，即可用上述方法作出直线l的平行线a；
（2）如图所示，
证明这两条直线平行的理由：同位角相等，两直线平行
故答案为：能；图见解析；同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
18．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为______时，与平行．
【答案】2秒或38秒
【分析】分与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【解析】解：存在．分三种情况：
如图，与在的两侧时，
，，
，，
要使，则，
即，
解得；
此时，
；
旋转到与都在的右侧时，
，，
，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
；
旋转到与都在的左侧时，
，，
，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
，
此情况不存在．
综上所述，当时间的值为秒或秒时，与平行．
故答案为：秒或秒．
【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
三、解答题
19．如图，直线a，b直线c所截．
(1)当∠1＝∠3时，直线a，b平行吗？请说明理由．
(2)当∠2+∠3＝180°时，直线a，b平行吗？请说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据等角的补角相等可得∠2=∠4，再根据同位角相等，两直线平行即可得ab；
（2）根据同角的补角相等可得∠2=∠4，再根据同位角相等，两直线平行即可得ab；
（1）
解：如图，
当∠1=∠3时，ab,理由如下：
∵∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，∠1=∠3，
∴∠2=∠4，
∴ab；
（2）
当∠2+∠3=180°时，ab,理由如下：
∵∠2+∠3=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠2=∠4，
∴ab；
【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是熟练运用平行线的判定定理．
20．如图，，求证：，请将证明过程填写完整.
证明：∵（已知）
又∵（ ）
∴________，
∴____________（ ）
∴______________（ ）
又∵（已知）
∴________________，
∴（ ）
【答案】答案见解析．
【分析】由平行线的性质以及判定一一判断即可．
【解析】证明：∵∠1+∠2=180°（已知）
又∵∠1=∠AOE（对顶角相等）
∴∠AOE+∠2=180°
∴DE∥AC，（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠C=∠DEB（两直线平行，同位角相等）
又∵∠C=∠D（已知）
∴∠D=∠DEB
∴AD∥BC（内错角相等两直线平行）．
故答案为对顶角相等，∠AOE，AC，同旁内角互补，两直线平行，∠DEB，两直线平行，同位角相等，∠DEB，内错角相等两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
21．如图，
(1) 等于多少度？
(2)AD与BC平行吗？请说明理由．
【答案】(1)∠DAB+∠B=180°
(2)；理由见解析
【分析】（1）由已知可求得∠DAB=120°，从而可求得∠DAB+∠B=180°；
（2）根据同旁内角互补两直线平行可得．
（1）
解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°．
又∵∠1=30°，
∴∠BAD=120°，
∵∠B=60°，
∴∠DAB+∠B=180°．
（2）
解：．理由如下：
∵∠DAB+∠B=180°，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行．
22．如图，已知，平分，平分，且，请填写说明DE∥BF的理由的依据．
解：因为平分，平分（已知）
所以，（______）
因为（已知）
所以（______）
因为（______）
所以（______）
所以DEBF（______）
【答案】角平分线的定义；等量代换；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行
【分析】根据角平分线定义和已知求出，推出，根据平行线的判定推出即可．
【解析】解：因为平分，平分（已知），
所以，（角平分线的定义），
因为（已知），
所以（等量代换），
因为（已知），
所以（等量代换），
所以（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；等量代换；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定和角平分线的定义，掌握同位角相等，两直线平行是关键.
23．如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作，G为射线EC上一点，连接BG、AB，且．
(1)试说明；
(2)若试判断AB与EF平行吗？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)ABEF，理由见解析
【分析】（1）根据互相垂直的意义，以及同角或等角的余角或补角相等，得出结论；
（2）根据角平分线以及同角或等角的余角或补角相等，得出∠A=∠AEF，利用内错角相等两直线平行，得出结论．
（1）
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）
解： ，
理由如下：
∵平分 ，
∴，
∵，，
∴，
又∵ ，
∴，
∴ ．
【点睛】本题考查平行线的判定定理，同角(或等角)的余角相等，角平分线的有关证明，能根据同角(或等角)的余角相等完成角度之间的转化是解题关键．
24．如图， 已知点 在 上， 平分 平 分 ．
(1)试说明∶ ；
(2)若 ， 试判断 与 平行吗？ 为什么？
【答案】(1)见解析
(2)AB//CD，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质可得，进而证明即可得证；
（2）根据角平分线的性质可得，等量代换可得，，根据平行线的判定定理可得，进而可得．
（1）
证明： 平分 平 分 ．
，
，
．
∴
（2）
，理由如下，
平分 平 分 ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
25．（1）在学习“平行线的判定”时，课本首先通过以下的“思考”栏目，得到了平行线的判定方法1，即______．
（2）平行线的另外两个判定方法都可以根据平行线的判定方法1进行证明．请根据平行线的判定方法1证明判定方法3．
已知：如图1，直线AB和直线CD被直线EF所截，且．
求证： ．证明：
（3）平行线的判定在实际生活中有许多应用：在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图2，是直角，那么，都可以通过度量图中已标出的哪个角，来判断两条直轨是否平行？为什么？
【答案】（1）同位角相等，两直线平行；（2）证明见解析；（3）可测量∠3是否为90°；理由见解析．
【分析】（1）根据平行线的判定即可求解；
（2）根据邻补角的定义，以及同角的补角相等可得，根据同位角相等两直线平行即可得证；
（3）根据平行线的判定可测量是否为直角，即可判定两直线平行．
【解析】（1）同位角相等，两直线平行．
（2）∵（邻补角定义），（已知）
∴（同角的补角相等）
∴（同位角相等，两直线平行）
（3）可测量∠3是否为90°，若等于90°，根据同旁内角互补可判定两直线平行；
可测量∠4是否为90°，若等于90°，根据同位角相等可判定两直线平行；
可测量∠5是否为90°，若等于90°，根据内错角相等可判定两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
26．在三角形中，点在线段上，ED//BC交于点，点在线段上点不与点，，重合，连接，过点作交射线于点．
(1)如图，点在线段上，用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)如图，点在线段上，求证：；
(3)当点在线段上时，依题意，在图中补全图形，请直接用等式表示与的数量关系，不需证明．
【答案】(1)，证明见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）结论：，如图中，过点作交于点，利用平行线的性质求解即可．
（2）如图中，过点作交于点，利用平行线的性质求解即可．
（3）作出图形，利用平行线的性质求解即可．
（1）
解：结论：．
理由：如图中，过点作交于点．
，
．
．
，
．
，
．
．
．
（2）
证明：如图中，过点作交于点．
．
．
．
，
．
，
．
．
．
．
．
（3）
结论：．
理由：设交于．
，
，
，，
【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
思考
我们以前已学过用直尺和三角尺画平行线（如图）．在这一过程中，三角尺起着什么样的作用？