(寒假)浙教版数学八年级寒假讲练第12讲 一元二次方程根与系数的关系（2份，原卷版+解析版）

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【学习目标】
掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.
【基础知识】
1.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩．
(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；
以两个数为根的一元二次方程是.
(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.
设一元二次方程的两根为、，则
①当△≥0且时，两根同号．
当△≥0且，时，两根同为正数；
当△≥0且，时，两根同为负数．
②当△＞0且时，两根异号．
当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；
当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．
要点：
（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；
（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．
【考点剖析】
考点1：利用一元二次方程根与系数的关系求值
例1．若、是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．B．C．D．
例2．设方程的两个根为，，则的值是（ ）
A．B．C．2D．4
考点2：通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值
例3．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（ ）
A．1B． C．2D．
例4．已知、是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2016B．2018C．2022D．2024
例5．若方程的两个实数根为、，则的值为（ ）
A．7B．3C．－5D．9
例6．已知，是一元二次方程的两个实数根，则= （ ）
A．B．2C．D．4
例7．设 ， 是一元二次方程 的两个根，那么 的值等于（ ）
A．B．C．D．
考点3：利用一元二次方程根与系数的关系求参数
例8．若关于x的一元二次方程的两个根互为相反数，则m的值为（ ）
A．3或B．C．3D．2或
例9．若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则（ ）
A．3B．1C．D．
例10．是方程的两个实根，若恰成立，则的值为（ ）
A．B．或C．D．或1
考点4：利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假
例11．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根
B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大
C．两个负根
D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小
例12．有两个关于x的一元二次方程：，，其中a+c=0，以下列四个结论中，
①如果，那么方程M和方程N有一个公共根为1；
②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等；
③如果2是方程M的一个根，那么一定是方程N的一个根；
④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是．其中错误的结论的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
考点5：利用一元二次方程根与系数的关系比较根的大小
例13．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则（ ）
A．B．C．D．
例14．关于x的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．当时，D．当时，
考点6：解答证明题
例15．已知关于x的方程：．
(1)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根，，满足，求a的值．
例16．关于的一元二次方程：
(1)若方程有两个不等的实数根，求的取值范围；
(2)若、是方程的两根，且．求的值．
例17．已知关于的方程
(1)求证：无论取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根；
(2)若这个方程的两个实数根满足，求的值及相应的．
例18．阅读下列材料并完成练习题：
已知一元一次方程的两个实数根分别为和
∵
∴
对比系数可得：，
类比上面的证明方法：
(1)如果一元三次方程的两个实数根分别为，，，______，______，______．
(2)已知方程，求值：______．
例19．阅读下列材料：
韦达定理：若一元二次方程的两根分别为．则， ．
阅读下面应用韦达定理的过程：
若一元二次方程的两根分别为．求的值．
解：该一元二次方程的判别式，
由韦达定理可得： ，，解答下列问题：
(1)设方程的两根分别为，不解方程，利用韦达定理求代数式的值；
(2)若关于x的一元二次方程的两实数根分别为，且，利用韦达定理求k的值．
【真题演练】
一、单选题
1．（2022·四川泸州·统考中考真题）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（ ）
A．B．C．或3D．或3
2．（2021·四川宜宾·统考中考真题）若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（ ）
A．4B．5C．6D．12
3．（2021·四川眉山·统考中考真题）已知一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）
A．B．C．2D．5
4．（2021·湖北武汉·统考中考真题）已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．-25B．-24C．35D．36
5．（2014·内蒙古包头·中考真题）关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（ ）
A．m≤B．m≤且m≠0C．m＜1D．m＜1且m≠0
二、填空题
6．（2022·湖南娄底·统考中考真题）已知实数是方程的两根，则______．
7．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____．
8．（2022·四川眉山·中考真题）设，是方程的两个实数根，则的值为________．
9．（2021·江苏南通·统考中考真题）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．
三、解答题
10．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
11．（2018·湖北孝感·统考中考真题）已知关于的一元二次方程.
（1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根，满足，求的值.
12．（2017·湖北鄂州·中考真题）已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|＝成立？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．
【过关检测】
一、单选题
1．若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程的两个根为，则的值为（ ）
A．2B．6C．8D．14
3．下列一元二次方程中，两根均为负数的是( )
A．B．
C．D．
4．若、是一元二次方程的两个根，且，那么这个一元二次方程是（ ）
A．B．C．D．
5．若、是关于x的一元二次方程的两个实数根，，则必有（ ）
A．B．C．D．
6．已知一元二次方程的两根为，则（ ）
A．0B．1C．2D．
7．若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则k=（ ）
A．1B．-1
C．D．
8．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6B．2或8C．2D．6
9．关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
10．若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足，，则的值为（ ）
A．B．C．2012D．2011
二、填空题
11．设，是关于x的方程的两个根，且，则______．
12．若、是一元二次方程的两根，则的值是_______．
13．在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝________，q＝________．
14．已知、是方程的两个实数根，则的值为__．
15．设一元二次方程x2－3x－1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2(x22－3x2)＝____．
16．已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是_________．
17．已知是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则_____．
18．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列结论：①若方程两根为-1和2，则2a+c=0；②若b＞a+c，则方程有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则方程有两个不相等的实数根；④若m是方程的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立．其中结论正确的序号是__________．
三、解答题
19．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若m，n是方程的两根，且，求k的值；
20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求m的取值范围；
(2)当时，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根为，，且，求m的值．
22．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．
23．已知关于x的一元二次方程①有两个实数根，．
(1)求实数k的取值范围；
(2)从因式分解法可知，方程①也可转化为②．把方程②的左边展开化成一般形式后，可以得到方程①两个根的和、积与系数分别有如下关系：______，______；（用含k的式子表示）
(3)是否存在实数k，使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
24．规定：若（，m、n、p为有理数，为无理数）是一元二次方程（，a、b、c为有理数）的根，则也是该方程的根，称是该方程的一对“共轭无理根”．
(1)写出一元二次方程的一对“共轭无理根”___________；
(2)若是关于的一元二次方程的一个根，求有理数b、c的值___________；
(3)关于的一元二次方程（，a、b为有理数）的一对“共轭无理根”是．若（m、n为有理数），求代数式的值．
25．阅读材料：
材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_________．
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值．
(3)思维拓展：已知实数、满足，，且，求的值．
26．阅读材料：
材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
∴，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，___________．
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值．