(寒假)浙教版数学八年级寒假讲练第05讲 一元二次方程（2份，原卷版+解析版）

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【学习目标】
理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义；
会把一元二次方程化为一般形式
【基础知识】
一、一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
二、一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
要点：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
三、一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
【考点剖析】
考点1：一元二次方程的概念
例1．下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是关于x的一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例2．下列叙述正确的是（ ）
A．形如的方程叫一元二次方程 B．方程不含有常数项
C．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0
D．是关于y的一元二次方程
例3．下列方程中，是一元二次方程的有（ ）个
①；②；③；④；⑤．
A．B．C．D．
例4．下面关于的方程中：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．一元二次方程的个数是
A．1B．2C．3D．4
考点2：一元二次方程的一般形式
例5．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）
A．B．C．D．
例6．方程2x2﹣5x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．2，5，4B．2，﹣5，4C．﹣2，﹣5，4D．2，﹣5，﹣4
例7．把化成一般形式为__________，二次项系数为__________，一次项系数为__________，常数项为__________．
例8．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）
A．B．C．D．
考点3：根据一元二次方程的概念确定参数（养成一元二次方程解题素养a≠0）
例9．已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，则m＝________．
例10．当___________时，方程是一元二次方程．
例11．关于x的方程是一元二次方程，则________．
例12．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值是________．
例13．如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ）
A．3B．C．D．0或
例14．要使方程是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0B．a≠3C．a≠1且b≠﹣1D．a≠3且b≠﹣1且c≠0
例15．关于x的方程（m2﹣4）x2＋（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足______时，方程为一元二次方程，当m满足______时，方程为一元一次方程．
例16．关于x的一元二次方程，常数项为0，求m的值．下面是小莉和小轩的解题过程：小莉：由题意，得，所以．
小轩：由题意，得，且，所以．其中解题过程正确的是（ ）
A．两人都正确B．小轩正确，小莉不正确
C．小莉正确，小轩不正确D．两人都不正确
考点4：一元二次方程的解
例17．若关于的一元二次方程有一个解为，则的值是（ ）
A．1B．3C．－3D．4
例18．若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）
A．1B．C．1或D．
例19．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值为（ ）
A．2﹣B．2+C．1D．﹣1
考点5：根据一元二次方程的解整体代换及相关变形
例20．若m是方程的一个根，则的值为_____．
例21．若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（ ）
A．2022B．2020C．2019D．2021
例22．已知a是方程的一个根，则的值为（ ）．
A．B．2022C．2021D．无法计算
例23．关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，则a的值为______．
考点6：试根法和利用整体未知数求解方程的解法
例24．若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ）
A．1，0B．﹣1，0C．1，﹣1D．无法确定
例25．关于的方程必有一个根为（ ）
A．x=1B．x=-1C．x=2D．x=-2
例26．若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（ ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
例27．如果a，b，k均为整数，则满足下面等式的所有k的取值有( )
A．2个B．3个C．6个D．8个
例28．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）
A．2020B．C．-2020D．
考点7：复杂的一元二次方程的解的求值及其他问题
例29．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ___．
例30．若是关于方程的两个实数根，则实数的大小关系是（）
A．B．C．D．
例31．设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是，则的值为（ ）
A．2B．0C．-2D．-1
考点8：一元二次方程的近似求解法（夹逼思想）
例32．根据表格估计方程x2+2x=6其中一个解的近似值．
根据表格，求方程x2+2x=6的一个解大约是______（精确到0．01）
【真题演练】
一、单选题
1．（2005·广东深圳·中考真题）一元二次方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是( )
A．x2－5x+5=0B．x2+5x－5=0C．x2+5x+5=0D．x2+5=0
2．（2022·青海·统考中考真题）已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ）
A．4B．C．3D．
3．（2013·贵州安顺·中考真题）已知关于的方程的一个根为，则实数的值为
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
4．（2022·四川遂宁·统考中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A．B．0C．2022D．4044
二、填空题
5．（2019·江苏南京·统考中考真题）已知x=是关于x的方程的一个根，则m＝____________．
6．（2017·山东菏泽·中考真题）关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是_______．
【过关检测】
一、单选题
1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1、2、B．1、2、4C．1、、4D．1、、
2．已知关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A．B．3C．或3D．都不对
3．下列各方程中：①；②；③；④；⑤一元二次方程的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．关于的一元二次方程的一个解是，则的值为（ ）
A．2或4B．0或4C．或0D．或2
5．如果非零实数满足，则有一根为的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．若m是方程的根，则的值为（ ）
A．2024B．2022C．2020D．2018
7．下面关于x的方程中：， 其中一元二次方程的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ）
A．1，0B．﹣1，0C．1，﹣1D．无法确定
9．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2019
10．在估算一元二次方程的根时，小彬列表如下：
由此可估算方程的一个根的范围是（ ）A．B．C．D．
二、填空题
11．把方程化为一元二次方程的一般形式是______．
12．关于x的方程有一个根为零，那么____________．
13．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是______．
14．一元二次方程的二次项系数是________，一次项系数是________．
15．关于x的一元二次方程的常数项为0，则m为_______．
16．已知方程有一个根是m，则代数式的值为_____．
17．已知方程的一个根为，则的值为__________
18．已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 _____．
三、解答题
19．判断下列方程是否为一元二次方程．
（1）；（2）；（3）；（4）．
20．判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根．
(1)（，，）．
(2)．
(3)．
(4)．
21．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)；
(2)
22．填表：
23．某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题：
（1）是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值；
（2）是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程．
24．探索一元二次方程的近似解．
（1）
所以
（2）
所以
通过以上探索，估计方程解的整数部分为_______，十分位为_______．
x
1.63
1.64
1.65
1.66
…
x2+2x
5.9169
5.9696
6.0225
6.0756
…
1
1.1
1.2
1.3
0.84
2.29
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
0
0.5
1
1.5
2