(寒假)浙教版数学八年级寒假讲练第06讲 一元二次方程的解法-开平方法（2份，原卷版+解析版）

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1．掌握开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；
2．理解解法中的降次思想，开平方法中的分类讨论与换元思想.
【基础知识】
直接开方法解一元二次方程：
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为（直接）开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：
平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
若，则；表示为，有两个不等实数根；
若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
若，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
.
要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
【考点剖析】
考点1：直接开平方法解一元二次方程
例1．一元二次方程的解为（ ）
A．B．，C．D．
例2．若，则是（ ）
A．-2B．2C．-2或2D．4
例3．方程x2- =0的根为_______．
例4．有关方程的解说法正确的是（ ）
A．有两不等实数根3和B．有两个相等的实数根3
C．有两个相等的实数根D．无实数根
例5．若方程的两个根分别是与，则_____．
例6．解方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
例7．计算：4（3x+1）2﹣1＝0、﹣2＝0的结果分别为（ ）
A．x＝±，y＝±B．x＝±，y＝
C．x＝﹣，y＝D．x＝﹣或﹣，y＝
例8．一元二次方程的实数根为（ ）
A．B．
C．D．
考点2：直接开平方法解一元二次方程的条件
例9．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( )
A．B．C．D．
例10．方程y2＝-a有实数根的条件是（ ）
A．a≤0B．a≥0C．a>0D．a为任何实数
例11．有下列方程：①x2-2x=0；②9x2-25=0；③(2x-1)2=1；④．其中能用直接开平方法做的是( )
A．B．C．D．
例12．方程 x2=（x﹣1）0 的解为（ ）
A．x=-1B．x=1C．x=±1D．x=0
例13．如果方程可以用直接开平方求解，那么的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．任意实数
例14．已知方程有实数根，则与的关系是（ ）.
A．B．或、异号
C．或、同号D．是的整数倍
考点3：直接开平方法解一元二次方程的复合型
例15．用直接开平方的方法解方程，做法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例16．方程的解为（ ）
A．B．
C．D．
例17．解方程：
（1）；（2）．
考点3：一元二次方程的根的概念深入理解
例18．一元二次方程的根与的根（ ）
A．都相等B．都不相等C．有一个根相等D．无法确定
考点4：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式
例19．关于x的方程(x+a) =b(b>0)的根是（ ）
A．x=±-aB．x=±a+
C．当b≥0时，x=-a±D．当a≥0时，x=a±
例20．形如的方程，下列说法错误的是（ ）
A．时，原方程有两个不相等的实数根
B．时，原方程有两个相等的实数根
C．时，原方程无实数根
D．原方程的根为
考点5：直接开平方法解一元二次方程-降次
例21．方程的根的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
考点6：直接开平方法解一元二次方程-换元法
例22．若，则的值为( )
A．7B．-3C．7或-3D．21
考点7：直接开平方法解一元二次方程-创新题，数系的扩充
例23．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“i”，使其满足（即方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，从而对于任意正整数n，我们可以得到，同理可得．那么的值为________．
【真题演练】
一、单选题
1．（2011·广西柳州·中考真题）方程x2－4＝0的解是
A．x＝2B．x＝－2C．x＝±2D．x＝±4
2．（2013·湖南永州·中考真题）我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为【 】
A．0B．1C．﹣1D．i
二、填空题
3．（2020·江苏扬州·中考真题）方程的根是_______．
4．（2007·江苏无锡·中考真题）一元二次方程的解是__________
三、解答题
5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程：
【过关检测】
一、单选题
1．方程 的解为( )
A．，B．，
C．D．，
2．用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是（ ）
A．完全平方公式B．平方根的意义
C．等式的性质D．一元二次方程的求根公式
3．若，则等于（ ）
A．10B．10或0C．0D．以上都不对
4．方程的根是（ ）
A．B．，C．，D．，
5．方程的解为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知方程有实数根，则与的关系是（ ）.
A．B．或、异号
C．或、同号D．是的整数倍
7．一元二次方程的根与的根（ ）
A．都相等B．都不相等C．有一个根相等D．无法确定
8．下列方程不能用直接开平方法求解的是（ ）
A．B．C．D．
9．关于x的一元二次方程(x-a)2=b，下列说法中正确的是( )
A．有两个解B．当b0,有两个解+a
C．当b0，有两个解-a.D．当b0时，方程无实数根.
10．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ）
A．x1=-6，x2=-1B．x1=0，x2=5C．x1=-3，x2=5D．x1=-6，x2=2
二、填空题
11．填空：
（1）方程的根是______________________．
（2）方程的根是______________________．
12．关于的方程．
（1）当时，方程有__________的实数根；
（2）当时，方程有__________的实数根；
（3）当时，方程__________．
13．一元二次方程的解是____________．
14．关于的方程的根是_________________．
15．已知：关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1(a、k均为常数，a≠0)．
（1）关于x的方程a(x+k+2)+2022=0的根是_______；
（2）关于x的方程a(x+3k) +2022=0的根为_______．
16．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2＋2x＋a2﹣9＝0的一个根是0，则a＝_______．
17．按照如图所示的操作步骤，若输出y的值为11，则输入x的值为____．
18．给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则．已知函数，则方程的解是 __．
三、解答题
19．用开平方法解下列方程：
(1)
(2)．
20．解下列方程：
（1）；
（2）．
21．用直接开平方法解下列方程：
（1）；
（2）．
22．用直接开平方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
23．李老师在课上布置了一个如下的练习题：
若，求的值．
看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程：
晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤．
24．阅读下列材料，完成相应任务：
我们已经学习过利用“配方法、公式法、因式分解法”解一元二次方程，对于关于的一元二次方程，还可以利用下面的方法求解．
将方程整理，得. ……………………第1步
变形得. ……………………第2步
得. ……………………第3步
于是得，即.……第4步
当时，得.……………………第5步
得，.………………第6步
当时，该方程无实数解. ……………………………第7步
学习任务：
（1）上述材料的第2步到第3步依据的一个数学公式是_______；以第4步到第5步将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是________．
（2）请用材料中提供的方法，解下列方程：
①； ②．
解：，①
，②
．③