初中北师大版（2024）5 三角函数的应用精品ppt课件

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专题1.3 三角函数的应用【八大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc3417" 【题型1 仰角俯角问题】  PAGEREF _Toc3417 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc1648" 【题型2 坡度坡比问题】  PAGEREF _Toc1648 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc13911" 【题型3 方向角问题】  PAGEREF _Toc13911 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc9999" 【题型4 物理模型问题】  PAGEREF _Toc9999 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc7631" 【题型5 实物抽象模型问题】  PAGEREF _Toc7631 \h 26 HYPERLINK \l "_Toc16451" 【题型6 坡度坡比与仰角俯角综合问题】  PAGEREF _Toc16451 \h 31 HYPERLINK \l "_Toc24702" 【题型7 临界值问题】  PAGEREF _Toc24702 \h 36 HYPERLINK \l "_Toc22008" 【题型8 方案设计问题】  PAGEREF _Toc22008 \h 44【题型1 仰角俯角问题】【例1】（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD=17米，BD=10米．(1)求CD的长；(2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间．（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75）【答案】(1)CD的长约为8米；(2)模拟装置从A点下降到B点的时间为4.5秒．【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键．（1）过点B作BE∥CD交AD于点E，根据余弦值求出CD的长即可；（2）先由勾股定理，求出AC的长，再利用正弦值求出BC的长，进而得到AB的长，然后除以速度，即可求出下降时间．【详解】（1）解：如图，过点B作BE∥CD交AD于点E，由题意可知，∠DBE=36.87°，∴∠BDC=36.87°，在△BCD中，∠C=90°，BD=10米，∵cos∠BDC=CDBD，∴CD=BD⋅cos36.87°≈10×0.80≈8米，即CD的长约为8米；（2）解：∵AD=17米，CD=8米，∴AC=AD2-CD2=15米，在△BCD中，∠C=90°，BD=10米，∵sin∠BDC=BCBD，∴BC=BD⋅sin36.87°≈10×0.60≈6米，∴AB=AC-BC=15-6=9米，∵模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，∴模拟装置从A点下降到B点的时间为9÷2=4.5秒，即模拟装置从A点下降到B点的时间为4.5秒．【变式1-1】（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点C,D,E依次在同一条水平直线上，DE=36 m,EC⊥AB，垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB）为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA）为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB）为31°．(1)求线段CD的长（结果取整数）；(2)求桥塔AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan31°≈0.6,tan6°≈0.1．【答案】(1)54m(2)59m【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键．（1）设CD=x，在Rt△BCD中，BC=CD⋅tan∠CDB=x⋅tan45°=x．在Rt△BCE中，BC=CE⋅tan∠CEB=x+36⋅tan31°．则x=x+36⋅tan31°．解方程即可；（2）求出AC，根据AB=AC+BC即可得到答案．【详解】（1）解：设CD=x，由DE=36，得CE=CD+DE=x+36．∵EC⊥AB，垂足为C，∴∠BCE=∠ACD=90°．在Rt△BCD中，tan∠CDB=BCCD，∠CDB=45°，∴BC=CD⋅tan∠CDB=x⋅tan45°=x．在Rt△BCE中，tan∠CEB=BCCE，∠CEB=31°，∴BC=CE⋅tan∠CEB=x+36⋅tan31°．∴x=x+36⋅tan31°．得x=36×tan31°1-tan31°≈36×0.61-0.6=54．答：线段CD的长约为54 m．（2）在Rt△ACD中，tan∠CDA=ACCD，∠CDA=6°，∴AC=CD⋅tan∠CDA≈54×tan6°≈54×0.1=5.4．∴AB=AC+BC≈5.4+54≈59．答：桥塔AB的高度约为59 m．【变式1-2】（2024·河南新乡·二模）甲乙两楼是两幢完全一样的房子，小明与小奇住在甲幢．为测量房子的高度，制定如下方案：两幢房子截面图如图，AB= 14m，小明在离屋檐A处3m的点F处水平放置平面镜（平面镜的大小忽略不计），小奇在离点F水平距离4m的点N处恰好在镜子中看到乙幢屋顶H，此时测得小奇眼睛与镜面的竖直距离MN=0.8m．下楼后，小明在地面点E处测得点C的仰角为35°，点E与C，H在一条直线上，点A，B，E，D，C在同一平面内，BE=5m，求房子的高度．（精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70）【答案】16.8m【分析】本题考查了解正三角形的应用，相似三角形的应用；延长NF分别交CE于点Q，过H作HP⊥NQ于点P，解Rt△CDE得DE=20，设CR=x，则PF=x+25，在Rt△HRC，得出HR=0.7CR=0.7x，进而求得HP，根据反射的性质，证明△MNF∽△HPF，进而根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：延长NF分别交CE于点Q，过H作HP⊥NQ于点P，在Rt△CDE中，tan35°=CDDE≈0.7,CD=14，∴14DE≈0.7，解得DE=20，∴BD=BE+ED=25设CR=x，则PF=x+25由题意可得：CR∥ED，∴∠HCR=∠CED=35°在Rt△HRC中，tan35°=HRCR≈0.7，∴HR=0.7CR=0.7x，∴HP=HR+RP=HR+AF=0.7x+3根据反射可知，∠MFN=∠HFP，∵∠MNF=∠P=90°，∴△MNF∽△HPF，∴MNNF=HPPF，即0.84=0.7x+325+x，解得x=4，∴HR=0.7x=2.8  ∴HR+CD=HR+AB=2.8+14=16.8答：房子的高度为16.8m．【变式1-3】（2024·江西南昌·模拟预测）每年的3月5日是“学雷锋纪念日”，为弘扬雷锋精神，某校九年级（1）班数学兴趣小组的同学们来到学校附近的雷锋像（图1）下敬献鲜花和花篮，集体朗诵《雷锋日记》部分章节，高唱歌曲《学习雷锋好榜样》，如图2，该兴趣小组的同学们利用所学的数学知识测量雷锋像的长度，AB表示底座高度，BC表示雷锋像人身的高度，在点D处测得点B的仰角22°，点C的仰角45°，后退2米到达点E处后测得点C的仰角37°，点A、D、E在同一直线上，AC⊥DE．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41）(1)求∠DCE+∠BDC的度数；(2)①求AC的长；②求BC的长．【答案】(1)31°(2)①AC的长约为6米；②BC的长约为3.6米．【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．（1）连接AD，过点C作CF∥AE，由题意可知，∠ADB=22°，∠ADC=45°，∠AEC=37°，进而得到∠BDC=23°，再根据平行线的性质，得出∠DCE=8°，即可求解；（2）①由题意可知，△ACD是等腰直角三角形，则令米AC=AD=x，利用锐角三角函数列方程，求出x≈6，即可求解；②由①可知，AC=AD≈6米，再利用锐角三角函数求出AB≈2.4米，即可求解．【详解】（1）解：如图，连接AD，过点C作CF∥AE，由题意可知，∠ADB=22°，∠ADC=45°，∠AEC=37°，∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=45°-22°=23°，∵CF∥AE，∴∠DCF=∠ADC=45°，∠ECF=∠AEC=37°，∴∠DCE=∠DCF-∠ECF=45°-37°=8°，∴∠DCE+∠BDC=8°+23°=31°；（2）解：①由题意可知，∠ADB=22°，∠ADC=45°，∠AEC=37°，CA⊥AE，DE=2米，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AC=AD，令AC=AD=x米，则AE=x+2米，在Rt△CAE中，AC=AE⋅tan∠AEC=AE⋅tan37°，∴x≈0.75x+2，∴x≈6，即AC的长约为6米；②由①可知，AC=AD≈6米，在Rt△ADB中，AB=AD⋅tan∠ADB=AD⋅tan22°，∴AB≈6×0.4=2.4米，∴BC=AC-AB≈3.6米，即BC的长约为3.6米．【题型2 坡度坡比问题】【例2】（2024·海南海口·一模）如图，5G时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号在坡度i=1:2.4（即DB:AB=1:2.4）的山坡AD上加装了信号塔PQ，信号塔底端Q到坡底A的距离为13m．当太阳光线与水平线所成的夹角为53°时，且AM=8m,ME=9m．(1)AQ=　　　m，∠PEN=　　　°；(2)求信号塔PQ的高度大约为多少米？（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）【答案】(1)13，37(2)信号塔PQ的高度大约为30.0米【分析】（1）根据题意即可求出AQ，作ES⊥PQ，垂足为S，根据题意∠PES=53°，即可求得∠PEN=90-53°=37°；（2）根据题意和作图可知四边形EMHS为矩形，根据坡度的定义设QH=5x米，在Rt△AQH中，由勾股定理可得QH2+AH2=AQ2，代入求出QH的长，利用锐角三角函数关系tan∠PES=PSES，得出PS的长，进而得出答案．【详解】（1）解：∵信号塔底端Q到坡底A的距离为13m，∴ AQ=13m；如图，作ES⊥PQ，垂足为S， 根据题意∠PES=53°，∴∠PEN=90-53°=37°；（2）解：根据题意和作图可知四边形EMHS为矩形，∴SH=EM,ES=HM．由i=1:2.4，可得QH:HA=5:12，设QH=5x米，则HA=12x米，在Rt△AQH中，由勾股定理可得QH2+AH2=AQ2，∴5x2+12x2＝132，解得x=1（负值舍去），∴QH=5x=5（米），HA=12x=12（米），∴ES=HA+AM=12+8=20，∵∠PES=53°，在Rt△PES中， tan∠PES=PSES，即tan53°=PSES，∴PS≈20×1.3=26.0（米），∴PQ=PS+EM-QH=26.0+9-5=30.0（米），答：信号塔PQ的高度大约为30.0米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，坡度的定义，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．【变式2-1】（2024·山东·模拟预测）如图，为一个斜面ABC，坡比i=1:3．斜面的高AB=5cm．为了减小小球下滑的速度，将坡面AC换成新坡面AD，且∠ADB=15°．(1)求新坡面AD的坡比以及新坡面AD的长；(2)原坡面AC的底部距离铁板EF的距离为20cm．经过实验，坡面底部与铁板EF的距离必须大于12cm，小球才不和铁板相撞．请你通过计算，判断小球从新坡面AD静止滑下，会不会与铁板相撞？【答案】(1)新坡面AD的坡比i=1:2+3，102+3cm(2)会，理由见解析【分析】本题考查了解直角三角形的坡角即正切值，勾股定理，线段的和与差，三角形外角性质，等腰三角形性质，理解坡角的概念是解题的关键．（1）根据坡比i=1:3得到∠ACB=30°，利用三角形外角性质得到∠ADB=∠DAC，利用等腰三角形性质得到AC=DC，利用解直角三角形得到AC，BC，进而得到BD，即可得到新坡面AD的坡比以及新坡面AD的长；（2）根据题意得到ED，再与12cm进行比较判断，即可解题．【详解】（1）解：由题知，tan∠ACB=ABBC=13=33，∴ ∠ACB=30°，∵ ∠ADB=15°，∴ ∠DAC=∠ACB-∠ADB=15°，∴∠ADB=∠DAC，∴AC=DC，∵ AB=5cm，∴BC=53cm，∴ AC=ABsin30°=10cm，∴DC=10cm，∴BD=53+10cm，∴新坡面AD的坡比i=AB:BD=1:2+3；新坡面AD的长为：AB2+BD2=102+3cm；（2）解：由题知，EC=20cm，∵CD=10cm，∴ED=EC-CD=10cm，∵101607∴在此阶段洪水能越过防护栏FG．【题型3 方向角问题】【例3】（2024·重庆·模拟预测）如图，我市在三角形公园ABC旁修建了两条骑行线路：①E—A—C；②E—D—C．经勘测，点A在点B的正西方10千米处，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西45°方向，点D在点C的正南方20千米处，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东30°方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）(1)求DE的长度．（结果精确到1千米）(2)由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？【答案】(1)27千米(2)②【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，方向角问题，根据已知条件添加辅助线是解题的关键．（1）过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，根据垂直的定义得到∠EFA=∠B=∠D=90°，证明四边形EFBD是矩形，根据解直角三角形的相关计算进行计算即可得到答案；（2）利用含30°的直角三角形的性质求出AE的长，再利用三角函数进行计算即可．【详解】（1）解：过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，∴∠EFA=90°，根据题意得：∠B=∠D=90°，∴四边形EFBD是矩形，∴EF=BD,BF=DE，在Rt△ABC中，∠ACB=45°,AB=10（千米），∴BC=ABtan45°=10（千米），∵CD=20（千米），∴EF=BD=BC+CD=30（千米），在Rt△AEF中，∠AEF=30°，∴AF=EF⋅tan30°=30×33=103（千米），∴DE=BF=AF+AB=103+10≈27（千米）；（2）解：应该选择路线②；在Rt△AEF中，∠AEF=30°，∴AC=BCcos45°=1022=102，∴路线①总路程=AE+AC=203+102≈48.7（千米），路线②总路程=ED+CD=103+10+20≈47.3（千米），∵47.3”“=”“；（2）51452；（2）当这条小路MN的长为15m，△BMN面积有最小值108m2【分析】（1）如图所示，在OD上取一点E使得OE=OA，连接BE，利用SAS证明△AOC≌△EOB，得到S△AOC=S△EOB，由此可证明S△ABC=S△ABE，由S△ABE