人教版（2024）八年级上册15.2.2 分式的加减表格教案

这是一份人教版（2024）八年级上册15.2.2 分式的加减表格教案，共6页。教案主要包含了阅读并计算，问题导入，教学建议，对应训练，随堂训练，课堂总结，知识结构，作业布置等内容，欢迎下载使用。

解题大招一 与分式加减法有关的纠错题的解法
遇到与分式加减法有关的纠错题可从以下常见的几个错误方向来考虑：
①计算过程中漏掉了分母；
②分式的运算中当分式前面是减号时，忽视分数线的括号作用；
③分式的基本性质用错等．
例1 下列是某学生化简分式eq \f(1,x＋1)＋eq \f(2,x2－1)的解答过程，他只知道结果错了，却找不出原因，请你帮助他，并完成以下问题．
eq \f(1,x＋1)＋eq \f(2,x2－1)＝eq \f(1,（x＋1）（x－1）)＋eq \f(2,（x＋1）（x－1）) (第一步)
＝eq \f(1＋2,（x＋1）（x－1）) (第二步)
＝eq \f(3,x2－1).(第三步)
(1)该学生的解答过程是从第一步开始出错的，出错的原因是分式的基本性质用错．
(2)请写出此题正确的解答过程．
解：eq \f(1,x＋1)＋eq \f(2,x2－1)＝eq \f(x－1,（x＋1）（x－1）)＋eq \f(2,（x＋1）（x－1）)
＝eq \f(x＋1,（x＋1）（x－1）)＝eq \f(1,x－1).
解题大招二 与分式加减有关的化简求值
先观察式子看是同分母加减还是异分母加减，然后按照相应的法则化简，最后代值计算即可．
例2 (1)(2023·鄂州中考)先化简，再求值：eq \f(a,a2－1)－eq \f(1,a2－1)，其中a＝2.
解：原式＝eq \f(a－1,a2－1)＝eq \f(a－1,（a＋1）（a－1）)＝eq \f(1,a＋1).
当a＝2时，原式＝eq \f(1,2＋1)＝eq \f(1,3).
(2)(2023·衡阳中考)已知x＝5，求eq \f(3,x－4)－eq \f(24,x2－16)的值．
解：原式＝eq \f(3x＋12,（x＋4）（x－4）)－eq \f(24,（x＋4）（x－4）)
＝eq \f(3x－12,（x＋4）（x－4）)
＝eq \f(3（x－4）,（x＋4）（x－4）)
＝eq \f(3,x＋4).
当x＝5时，原式＝eq \f(3,5＋4)＝eq \f(1,3).
解题大招三 与分式加减有关的运算技巧
1．逐项通分
通过观察可发现前两个分式的分母之积符合平方差公式，计算后与第三个分式的分母之积又符合平方差公式，依此类推可解此类题．
例3 eq \f(1,1－m)＋eq \f(1,1＋m)＋eq \f(2,1＋m2)＋eq \f(4,1＋m4).
解：原式＝eq \f(1＋m＋1－m,1－m2)＋eq \f(2,1＋m2)＋eq \f(4,1＋m4)
＝eq \f(2（1＋m2）＋2（1－m2）,1－m4)＋eq \f(4,1＋m4)
＝eq \f(4,1－m4)＋eq \f(4,1＋m4)
＝eq \f(8,1－m8).
2．分组计算
多个分式相加减时，要先观察其特征，如果有同分母的，可以把同分母分式先加减，没有同分母的，若分母可组成平方差公式，则可考虑将它们组合起来计算．
例4 计算：eq \f(1,x－2)－eq \f(2,x－1)＋eq \f(2,x＋1)－eq \f(1,x＋2).
解：原式＝(eq \f(1,x－2)－eq \f(1,x＋2))＋(eq \f(2,x＋1)－eq \f(2,x－1))
＝eq \f(x＋2－x＋2,（x＋2）（x－2）)＋eq \f(2x－2－2x－2,（x＋1）（x－1）)
＝eq \f(4,（x＋2）（x－2）)－eq \f(4,（x＋1）（x－1）)
＝eq \f(4（x＋1）（x－1）－4（x＋2）（x－2）,（x＋2）（x－2）（x＋1）（x－1）)
＝eq \f(4x2－4－4x2＋16,（x＋2）（x－2）（x＋1）（x－1）)
＝eq \f(12,（x＋2）（x－2）（x＋1）（x－1）).
3．“裂项”求和
当分式的分子等于分母中两个因式的差时，可将分式拆成两个式子的差，如利用eq \f(1,n（n＋1）)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)拆分计算；当分式的分子等于分母中两个因式的和时，可将分式拆成两个式子的和，如利用eq \f(m＋n,mn)＝eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)拆分计算．
例5 【阅读并计算】
例：计算：eq \f(1,x（x＋1）)＋eq \f(1,（x＋1）（x＋2）)＋eq \f(1,（x＋2）（x＋3）).
原式＝eq \f(1,x)－eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,x＋1)－eq \f(1,x＋2)＋eq \f(1,x＋2)－eq \f(1,x＋3)＝eq \f(1,x)－eq \f(1,x＋3)＝eq \f(3,x（x＋3）).
仿照上例计算：eq \f(2,x（x＋2）)＋eq \f(2,（x＋2）（x＋4）)＋eq \f(2,（x＋4）（x＋6）).
解：原式＝eq \f(1,x)－eq \f(1,x＋2)＋eq \f(1,x＋2)－eq \f(1,x＋4)＋eq \f(1,x＋4)－eq \f(1,x＋6)＝eq \f(1,x)－eq \f(1,x＋6)＝eq \f(6,x（x＋6）).
培优点 利用分式的加减求字母或式子的值
例 (2023·济宁期末)仿照例子解题：
若eq \f(M,x＋1)＋eq \f(N,x－1)＝eq \f(1－3x,x2－1)恒成立，求M，N的值．
解：∵eq \f(M,x＋1)＋eq \f(N,x－1)＝eq \f(1－3x,x2－1)，∴eq \f(M（x－1）＋N（x＋1）,（x＋1）（x－1）)＝eq \f(1－3x,x2－1)，
则eq \f(Mx－M＋Nx＋N,（x＋1）（x－1）)＝eq \f(1－3x,x2－1)，即eq \f(（M＋N）x－M＋N,（x＋1）（x－1）)＝eq \f(－3x＋1,x2－1)，故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(M＋N＝－3，,－M＋N＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(M＝－2，,N＝－1.))
请你按照上面的方法解题：若eq \f(M,x＋2)－eq \f(N,x－2)＝eq \f(x－8,x2－4)恒成立，求M，N的值．
分析：将等号左边的字母当成已知数先进行运算，将等号左边化为与等号右边分母相同的分式，再利用等号左右两边相等建立关于未知字母的方程(组)．
解：∵eq \f(M,x＋2)－eq \f(N,x－2)＝eq \f(x－8,x2－4)，∴eq \f(M（x－2）－N（x＋2）,（x＋2）（x－2）)＝eq \f(x－8,x2－4)，∴eq \f(（M－N）x－2M－2N,x2－4)＝eq \f(x－8,x2－4)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(M－N＝1，,－2M－2N＝－8，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(M＝2.5，,N＝1.5，))即M＝2.5，N＝1.5.
教学目标
课题
15.2.2 第1课时 分式的加减
授课人
素养目标
1.熟练掌握同分母分式的加减法法则及运算.
2.掌握异分母分式的加减法法则及运算.
3.通过探究异分母分式加减法法则的过程，提高思维的灵活性，培养学生整体思考和分析问题的能力.
教学重点
分式的加减法．
教学难点
异分母分式的加减法及简单的分式混合运算.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：提问质疑，启发新知
设计意图
安排两个具有实际背景的问题，这样可以反映出分式的加减运算是由实际需要产生的，让学生感知到学习分式加减法的必要性.
【问题导入】
问题1 甲工程队完成一项工程需 n 天，乙工程队要比甲队多用 3 天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
甲工程队一天完成这项工程的eq \f(1,n)，乙工程队一天完成这项工程的eq \f(1,n＋3)，两队共同工作一天完成这项工程的(eq \f(1,n)＋eq \f(1,n＋3)).
问题2 2009年、2010年、2011年某地的森林面积(单位：km2)分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？
2011年的森林面积增长率是eq \f(S3－S2,S2)，2010年的森林面积增长率是eq \f(S2－S1,S1)，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了eq \f(S3－S2,S2)－eq \f(S2－S1,S1).
从上面的问题可知，为讨论数量关系，有时需要进行分式的加减运算.
【教学建议】
教学中讨论这两个问题时，重点应放在列出算式，为引出分式的加减法法则做准备．至于如何进行运算，则是下面要学习的内容.
活动二：实践探究，获取新知
设计意图
由同分母分数的计算引入，通过探究得出同分母分式加减法的法则，渗透类比思想，让学生体会自主探究的乐趣，并用例题对解题过程加以示范，对知识点加以巩固.
探究点1 同分母分式的加减
计算：eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)＝( eq \f(3,5) )，eq \f(1,5)－eq \f(2,5)＝( －eq \f(1,5) ).
由此我们回想一下，同分母分数加减法的法则是什么？
同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减.
尝试计算：(1)eq \f(1,a)＋eq \f(2,a)＝( eq \f(3,a) )；(2)eq \f(6,xy)－eq \f(2,xy)＝( eq \f(4,xy) )；(3)eq \f(7,x－1)－eq \f(－2,x－1)＝( eq \f(9,x－1) ).
那么，你能将同分母分数加减法的法则推广，得到同分母分式的加减法法则吗？
类比引入：
类似分数的加减法，同分母分式的加减法法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.
上述法则可用式子表示为eq \f(a,c)±eq \f(b,c)＝eq \f(a±b,c).
【教学建议】
教材对分式的加减法法则用文字形式和式子形式分别进行了表述．教学中首先出现文字表述，在学生理解后，可以适时地提出如何用式子形式表述法则的问题，引导学生运用数学符号语言表达法则．这样处理不仅可以加深学生对法则本身的理解，而且可以锻炼他们用数学式子表达数量关系的能力.
教学步骤
师生活动
例 [教材P140例6(1)]计算：eq \f(5x＋3y,x2－y2)－eq \f(2x,x2－y2).
解：eq \f(5x＋3y,x2－y2)－eq \f(2x,x2－y2)＝eq \f(5x＋3y－2x,x2－y2)＝eq \f(3x＋3y,x2－y2)
＝eq \f(3（x＋y）,（x＋y）（x－y）)＝eq \f(3,x－y).
【对应训练】
教材P141练习第1题.
【教学建议】
教学中需强调符号问题：①注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号，把各分式分子看成一个整体；②分子去括号时，如果括号前面是“－”号，在去掉括号后，原括号内的各项都要变号.
设计意图
由异分母分数的计算引入，通过探究得出异分母分式加减法的法则，渗透类比思想，让学生体会自主探究的乐趣，并用例题对解题过程加以示范，对知识点加以巩固..
探究点2 异分母分式的加减
计算：eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝( eq \f(3,6) )＋( eq \f(2,6) )＝( eq \f(5,6) )，eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝( eq \f(3,6) )－( eq \f(2,6) )＝( eq \f(1,6) ).
由此我们回想一下，异分母分数加减法的法则是什么？
异分母分数相加减，先通分，变为同分母分数，再加减.
尝试计算：
(1)eq \f(3,a)＋eq \f(1,4a)＝( eq \f(13,4a) )； (2)eq \f(1,u)＋eq \f(1,v)＝( eq \f(v＋u,uv) )； (3)eq \f(2,a2)－eq \f(3,ab)＝( eq \f(2b－3a,a2b) ).
那么，你能将异分母分数加减法的法则推广，得到异分母分式的加减法法则吗？
类比引入：
类似分数的加减法，异分母分式的加减法法则是：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
上述法则可用式子表示为eq \f(a,b)±eq \f(c,d)＝eq \f(ad,bd)±eq \f(bc,bd)＝eq \f(ad±bc,bd).
例 [教材P140例6(2)]计算：eq \f(1,2p＋3q)＋eq \f(1,2p－3q).
解：原式＝eq \f(2p－3q,（2p＋3q）（2p－3q）)＋eq \f(2p＋3q,（2p＋3q）（2p－3q）)(通分)
＝eq \f(2p－3q＋2p＋3q,（2p＋3q）（2p－3q）)(同分母分式相加减) ＝eq \f(4p,4p2－9q2).(化简)
【对应训练】
教材P141练习第2题(1)(2)(3)．
【教学建议】
教师需强调在学习分式加减法的初期，先不要过多地跳步，以免出错，同时也便于检查.
例题的结果写成eq \f(4p,4p2－9q2)或eq \f(4p,（2p＋3q）（2p－3q）)均可，教学中不宜强调必须使用某一种形式，只要强调将结果化为最简分式即可．
活动三：知识延伸，新知补充
设计意图
在上面一个例题基础上加大了难度(或增加项数，或需因式分解)，这是知识的延伸和补充，意在强化学生的运算能力.
例 计算：(1)eq \f(a＋2b,b－a)－eq \f(2b,a＋b)－eq \f(5ab,b2－a2)；(2)eq \f(m3＋2m2－3m,m2－9)－m－1.
解：(1)eq \f(a＋2b,b－a)－eq \f(2b,a＋b)－eq \f(5ab,b2－a2)＝eq \f(（a＋2b）（b＋a）,（b－a）（b＋a）)－eq \f(2b（b－a）,（b＋a）（b－a）)－eq \f(5ab,（b＋a）（b－a）)＝eq \f(a2＋3ab＋2b2－2b2＋2ab－5ab,（b－a）（b＋a）)＝eq \f(a2,（b－a）（b＋a）)；
【教学建议】
此处可在上一个例题完成后总结“异分母分式的加减法”的一般步骤：(1)通分；(2)加减；(3)合并；(4)约分．再讲此例题.
教学步骤
师生活动
(2) eq \f(m3＋2m2－3m,m2－9)－m－1＝eq \f(m3＋2m2－3m,m2－9)－(m＋1) ＝eq \f(m（m2＋2m－3）,（m＋3）（m－3）)－(m＋1) ＝eq \f(m（m＋3）（m－1）,（m＋3）（m－3）)－(m＋1) ＝eq \f(m（m－1）,m－3)－(m＋1) ＝eq \f(m2－m,m－3)－eq \f(（m＋1）（m－3）,m－3)＝eq \f(m2－m－（m2－2m－3）,m－3)＝eq \f(m2－m－m2＋2m＋3,m－3)＝eq \f(m＋3,m－3).
【对应训练】教材P141练习第2题(4)．
教师还需强调在计算时，各分子都应用括号括起来，若分子是系数为正的单项式，括号可以省略，若分子是多项式且分子相减时，括号不能省略，否则容易出现符号错误.
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】相应课时随堂训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.同分母分式的加减法法则是什么？用式子如何表示？
2.异分母分式的加减法法则是什么？用式子如何表示？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P146习题15.2第4，5题.
2.相应课时训练．
板书设计
15.2.2 分式的加减
第1课时 分式的加减
教学反思
本节课从分数加减法引入，类比得出分式的加减法，最关键的是法则的探究，重点是法则的运用，易错点是同分母分式的减法中减式的分子为多项式时减之前忘记添括号．教师宜让学生先进行独立的思考，完成练习，再进行适当的指导，让学生体验自主完成类比探究学习的过程，从而获得学习的成就感和乐趣