高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质第1课时教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质第1课时教学设计，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时 相等关系与不等关系

一、教学目标
1.通过具体情景，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解和掌握列不等式的步骤.
2.能灵活用作差法比较两个数与式的大小，掌握并会应用重要不等式，提高数学运算能力.
3.培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力.

二、教学重难点
重点：能用不等式(组)表示实际问题的不等关系，会作差法比较两实数的大小.
难点：类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质；等式与不等式的共性与差异.

三、教学过程
（一）创设情境
思考1：你能举出生活中的不等关系的例子吗?
师生活动：独自思考，并汇报交流.
总结：现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．
应用本小节不等式的知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了，让我们一起探究吧．
设计意图：通过初中所学及实例，引发学生的思考，大胆猜想，使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中，能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移．
（二）探究新知
任务1：探究不等关系的表示．
探究：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
（1）某路段限速40km/h；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
答：（1）设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h，“限速40km/h”就是v的大小不能超过40，于是0＜v≤40.
（2）由题意得，f≥2.5%p≥2.3%.
（3）设△ABC的三条边为a，b，c，则a+b＞c，a-b＜c.
（4）如图2.1-1，设C是线段AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是线段AB上不同于D的任意一点，则CD＜CE.
探究：用不等式表示实际问题中不等关系的方法。
师生活动：独自思考，并汇报交流.
总结：（1）从实际问题中抽象出不等关系；
用字母表示不等关系中的相关量；
用不等号连接这些字母；
以此研究相应的问题
建立不等式.
数学抽象的过程
设计意图：通过例题，使学生熟练不等关系与不等式，培养数学运算的核心素养.
探究：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
答：提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为(8−x−2.50.1×0.2)x万元，
那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：
(8−x−2.50.1×0.2)x≥20
求出不等式①的解集，就能指导满足条件的杂志的定价范围.
思考：如何解这个不等式？
分析：解方程的主要依据是什么？类比解方程，你能找到解不等式的主要依据吗？
师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
总结：解方程的依据类比到解不等式的依据，从等式性质类比到不等式性质，最终比较两个式子的大小关系.
任务2：探究数（式）大小比较.
探究：在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？
提示：设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab.
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
总结：基本事实
任务3：探究重要不等式.
探究：北京——第24届国际数学家大会会标．会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.
．
思考：你能在这个图中国找出一些相等关系和不等关系吗？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
探究：将风车图抽象成左图，设直角三角形的两直角边分别为a,b（a≠b），则
正方形ABCD的面积S =________；四个直角三角形的面积和S'=_____；
（2）S与S'有什么样的不等关系，如何表示？
（3）S与S'会出现相等的情况吗，什么时候相等？
答：（1）S=a2+b2；S'=2ab.
S大于S'，即a2+b2>2ab.
当三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，S=S'，即 a2+b2=2ab
综上，a2+b2≥2ab.
一般地，∀a,b∈R,a2+b2≥2ab，这个不等式被称为重要不等式，当且仅当a=b时，等号成立.
思考：如何证明重要不等式？
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
证明：利用完全平方公式，得
a2+b2−2ab=(a−b)2
因为∀a,b∈R,(a−b)2≥0,当且仅当a=b时，等号成立，
所以a2+b2−2ab≥0，
因此，由两个实数大小关系的基本事实，得a2+b2≥2ab，
当且仅当a=b时，等号成立.
设计意图：通过实例，让学生熟练比较大小的方法及过程，培养数学运算的核心素养。同时在情景中体会重要不等式，为后面学习基本不等式做好准备，同时也教会学生解决和研究问题，培养学生观察、分析、归纳、概括等一般能力的发展．
应用举例
例1某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则
40x+90y≤1000x≥5y≥6x,y∈N∗．
总结：1、用不等式（组）表示不等关系的步骤
(1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数；
(2)适当设未知数表示变量；
(3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式组的形式．
2、用不等式表示不等关系的注意点
(1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示；
(2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一.
例2 比较x+2x+3和x+1x+4的大小.
分析：根据这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系。
解：因为(x+2)(x+3)−(x+1)(x+4)
=(x2+5x+6)−(x2+5x+4)
=2>0，
∴(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).
例3 若x>2，比较x2+4x+4和x2−4的大小．
解：提示：作差法，与“0”比较．
x2+4x+4-x2−4=4x+8
因为x>2,所以4x+8>0，所以x2+4x+4>x2−4．
总结：作差法比较两个实数大小的基本步骤
例4已知a>0,b>0，求证：a3＋b3≥ab2＋a2b.
证明：因为a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b
＝a(a2－b2)＋b(b2－a2)＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2，
因为a>0，b>0，所以(a＋b)(a－b)2≥0，
当且仅当a＝b时，等号成立，
所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，
所以a3＋b3≥ab2＋a2b．
注意点：
（1）利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式.
（2）对于两个正值，可采用作商法比较，比较商与1的大小.
（3）对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小.
设计意图：通过例题，分析表达不等关系，使学生熟练作差比较大小的方法及过程，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识．
课堂练习
1.中国南方航空公司关于乘客行李规定如下：国内航班经济舱每位乘客(婴儿除外)行李1件，重量上限5千克，且外部尺寸长、宽、高之和不超过115cm.设行李重量为g(单位：千克)，外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c(单位：cm)，则这个规定用数学关系式可表示为( )
A. g0，
所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低．
故选：A．
3.体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有( )
A. 6种B. 7种C. 8种D. 5种
解：设购买的篮球个数为 x ，足球个数为 y ，且 x,y∈N∗ ，
根据题意可得 x≥8y≥2120x+140y≤1500 ，
解得符合题意的有序实数对 x,y 可以是 8,2,8,3,9,2,9,3,10,2 ，
共5种不同的购买方式．
故选：D
4.某家庭购买了一套三居室的房子，需要对三居室进行粉刷，粉刷方案要求：每个居室只用一种颜色，且三个居室各不相同．已知三个居室的粉刷面积(单位：m2)分别为a，b，c，且a