高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质教学设计及反思

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1．等式的性质
(1) 性质1 如果a＝b，那么b＝a；
(2) 性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3) 性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
(4) 性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
(5) 性质5 如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
2．不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.
(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．
1．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是( )
A．a－b＞d－c B．a＋d＞b＋c
C．a－c＞b－c D．a－c＜a－d
B [根据不等式的性质．]
2．与a>b等价的不等式是( )
A．|a|>|b| B．a2>b2
C.eq \f(a,b)>1 D．a3>b3
D [可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b.再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D.]
3．设xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
B [∵xa2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.]
利用不等式性质判断命题真假
【例1】 对于实数a，b，c下列命题中的真命题是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)
C．若a＜b＜0，则eq \f(b,a)＞eq \f(a,b)
D．若a＞b，eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，则a＞0，b＜0
[思路点拨] 本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断．
D [法一：∵c2≥0，∴c＝0时，
有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a＞b＞0，有ab＞0⇒eq \f(a,ab)＞eq \f(b,ab)⇒eq \f(1,b)＞eq \f(1,a)，
故B为假命题；
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－\f(1,b)＞－\f(1,a)＞0,a＜b＜0⇒－a＞－b＞0))⇒eq \f(a,b)＞eq \f(b,a)，
故C为假命题；
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＞b⇒b－a＜0,\f(1,a)＞\f(1,b)⇒\f(1,a)－\f(1,b)＞0⇒\f(b－a,ab)＞0))ab＜0.
∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．
法二：特殊值排除法．
取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．
取a＝2，b＝1，则eq \f(1,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(1,b)＝1.
有eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，故B错．取a＝－2，b＝－1，
则eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(a,b)＝2，有eq \f(b,a)＜eq \f(a,b)，故C错．]
运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.
1．下列命题正确的是( )
A．若a2＞b2，则a＞b
B．若eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，则a＜b
C．若ac＞bc，则a＞b
D．若eq \r(a)＜eq \r(b)，则a＜b
D [A错，例如(－3)2＞22；B错，例如eq \f(1,2)＞eq \f(1,－3)；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.]
利用不等式性质证明简单不等式
【例2】 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2).
[思路点拨] 可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以eq \f(1,a－c2b－d2)，
得eq \f(1,a－c2)＜eq \f(1,b－d2).
又e＜0，∴eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2).
本例条件不变的情况下，求证：eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d).
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴0＜eq \f(1,a－c)＜eq \f(1,b－d)，
又∵e＜0，∴eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d).
利用不等式的性质证明不等式注意事项
1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac[证明] ∵a>b，c>0，∴ac>bc.
又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，
∴e－bc>f－ac，∴f－ac不等式性质的应用
[探究问题]
1．小明同学做题时进行如下变形：
∵2∴eq \f(1,3)又∵－6∴－2你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－62．由－6提示：不正确．因为同向不等式具有可加性．但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？
∵2∴－4又∵－2∴0∴－3这怎么与－2提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2【例3】 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与eq \f(a,b)的取值范围．
[思路点拨] 依据不等式的性质，找到－b与eq \f(1,b)的范围，进而求出a－b与eq \f(a,b)的取值范围．
[解] 因为1＜a＜4,2＜b＜8，
所以－8＜－b＜－2.
所以1－8＜a－b＜4－2，
即－7＜a－b＜2.
又因为eq \f(1,8)＜eq \f(1,b)＜eq \f(1,2)，所以eq \f(1,8)＜eq \f(a,b)＜eq \f(4,2)＝2，
即eq \f(1,8)＜eq \f(a,b)＜2.
求含字母的数或式子的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.
3．已知－eq \f(π,2)≤α＜β≤eq \f(π,2)，求eq \f(α＋β,2)，eq \f(α－β,2)的取值范围．
[解] ∵已知－eq \f(π,2)≤α＜β≤eq \f(π,2)，
∴－eq \f(π,4)≤eq \f(α,2)＜eq \f(π,4)，－eq \f(π,4)＜eq \f(β,2)≤eq \f(π,4)，
两式相加，得－eq \f(π,2)＜eq \f(α＋β,2)＜eq \f(π,2).
∵－eq \f(π,4)＜eq \f(β,2)≤eq \f(π,4).
∴－eq \f(π,4)≤－eq \f(β,2)＜eq \f(π,4).
∴－eq \f(π,2)≤eq \f(α－β,2)＜eq \f(π,2)，
又知α＜β，∴eq \f(α－β,2)＜0.
故－eq \f(π,2)≤eq \f(α－β,2)＜0.
1．在应用不等式性质时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．
2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性.
1．思考辨析
(1)若a>b，则ac>bc一定成立．( )
(2)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.( )
[提示] (1)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立．
(2)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.
[答案] (1)× (2)×
2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是( )
A．a－d＞b－c B．－eq \f(a,d)＜－eq \f(b,c)
C．a＋d＞b＋c D．ac＞bd
C [由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，
即a－d＞b－c，所以A正确；
由c＞d＞0，得eq \f(1,d)＞eq \f(1,c)＞0.
又a＞b＞0，所以eq \f(a,d)＞eq \f(b,c)，－eq \f(a,d)＜－eq \f(b,c)即B正确；
显然D正确，因此不正确的选项是C.]
3．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2＜α－β＜0 B．－2＜α－β＜－1
C．－1＜α－β＜0 D．－1＜α－β＜1
A [由－1＜α＜1，－1＜β＜1，
得－1＜－β＜1.
∴－2＜α－β＜2，但α＜β.
故知－2＜α－β＜0.]
4．若bc－ad≥0，bd>0.求证：eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d).
[证明] 因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，
因为bd>0，所以eq \f(a,b)≤eq \f(c,d)，所以eq \f(a,b)＋1≤eq \f(c,d)＋1，所以eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d).
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握不等式的性质．(重点)
2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．(难点)
3．通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异.
1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力．
2．借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养.