(人教A版必修第一册)高一数学知识梳理与题型分层精练第二章一元二次函数、方程和不等式章节复习(原卷版+解析)

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第二章 一元二次函数、方程和不等式 章节复习(1)如果a－b＞0，那么a＞b；如果a－b＜0，那么a＜b；如果a－b＝0，那么a＝b．(2)不等式的性质：性质1　a＞b⇔b＜a．性质2　a＞b，b＞c⇒a＞c．性质3　a＞b⇒a＋c＞b＋c；推论：a＋b＞c⇒a＞c－b．性质4　a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.性质5　a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d．性质6　a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd．性质7　a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2).(3)基本不等式：，变式： (4)ax2＋bx＋c＝0(a＞0)有两个不相等的实根x1，x2(x1＜x2)时，ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是{x|x＞x2或x＜x1}，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集是{x|x1＜x＜x2}．(5)ax2＋bx＋c＝0(a＞0)有两个相等的实数根x1＝x2时，ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集∅．(6)ax2＋bx＋c＝0(a＞0)无实数根时，ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是R，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集是∅．不等式及其性质已知，，则，的大小关系为　　A． B． C． D．已知实数，满足，，则　　A． B． C． D．已知，则下列结论正确的是　　A． B． C． D．设，为正实数，现有下列命题中的真命题有　　A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则基本不等式及其应用已知正实数，满足，则的最小值为　　A．6 B．8 C．10 D．12已知，求的最小值 　 ．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围　　A． B．，， C． D．，，若对任意，恒成立，则的取值范围是 　 ．已知正实数、满足．（1）求的最小值；（2）求的最小值；（3）求的最小值．一元二次不等式的解法不等式的解集为　　 　．（用区间表示）二次不等式的解集为，则的值为　　A． B．5 C． D．6已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是　　A． B． C．或 D．或下列结论错误的是　　A．若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为 B．不等式在上恒成立的条件是且△ C．若关于的不等式的解集为，则 D．不等式的解为若不等式的解集是．（1）解不等式；（2）为何值时，的解集为．已知关于的不等式．（1）当时，解关于的不等式；（2）当，时，不等式恒成立，求的取值范围．不等式在实际问题中的应用近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为万元，除尘后当日产量时，总成本．（1）求的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？如图，某学校准备修建一个面积为2400平方米的矩形活动场地（图中的围栏，按照修建要求，中间用围墙隔开，使得为矩形，为正方形，设米，已知围墙（包括的修建费用均为每米500元，设围墙（包括的修建总费用为元．（1）求出关于的函数解析式及的取值范围；（2）当为何值时，围墙（包括的修建总费用最小？并求出的最小值．某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放个单位的药剂，它在水中释放的浓度（克升）随着时间（天变化的函数关系式近似为，其中若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克升）时，它才能起到有效治污的作用．（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值．1．已知，，则　　A． B． C． D．，的大小关系不确定2．已知，，则、之间的大小关系是　　A． B． C． D．3．已知，下列不等式错误的是　　A． B． C． D．4．下列命题正确的是　　A．，，使得 B．若，则 C．是的必要不充分条件 D．若，则5．已知，则的最小值是　　A．4 B．8 C．9 D．106．已知，且，则的最大值　　．7．已知直角三角形的两直角边长的和为4，则此直角三角形的面积满足　　A．最大值2 B．最大值4 C．最小值2 D．最小值48．已知，则的最小值为　　．9．函数的最小值为多少？10．不等式的解集是　 　．11．二次不等式的解集为，则的值为　　A． B． C．2 D．612．若不等式的解集为实数集，则实数的取值范围为　　A． B． C． D．13．下列结论错误的是　　A．若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为 B．不等式在上恒成立的条件是且△ C．若关于的不等式的解集为，则 D．不等式的解为14．已知，求的值．15．已知关于的不等式的解集为．（1）求，的值；（2）解关于的不等式．16．某养鸡场是一面靠墙，三面用铁丝网围成的矩形场地，如果铁丝网长，那么围成的场地面积最大为多少？17．商丘是商部族的起源和聚居地，商人、商业的发源地和商朝最早的建都地．华商始祖王亥最早在这里，商丘是华商之都，于2006年11月10日在商丘举办首届国际华商文化节，某花卉集团根据需要欲将如图所示一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米．（Ⅰ）要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围内？（Ⅱ）当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值．18．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为，宽为．（1）若菜园面积为，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为，求的最小值．第二章 一元二次函数、方程和不等式 章节复习(1)如果a－b＞0，那么a＞b；如果a－b＜0，那么a＜b；如果a－b＝0，那么a＝b．(2)不等式的性质：性质1　a＞b⇔b＜a．性质2　a＞b，b＞c⇒a＞c．性质3　a＞b⇒a＋c＞b＋c；推论：a＋b＞c⇒a＞c－b．性质4　a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.性质5　a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d．性质6　a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd．性质7　a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2).(3)基本不等式：，变式： (4)ax2＋bx＋c＝0(a＞0)有两个不相等的实根x1，x2(x1＜x2)时，ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是{x|x＞x2或x＜x1}，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集是{x|x1＜x＜x2}．(5)ax2＋bx＋c＝0(a＞0)有两个相等的实数根x1＝x2时，ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集∅．(6)ax2＋bx＋c＝0(a＞0)无实数根时，ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是R，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集是∅．不等式及其性质已知，，则，的大小关系为　　A． B． C． D．【解答】解：，，当且仅当时取等号．，当且仅当时取等号．．故选：．已知实数，满足，，则　　A． B． C． D．【解答】解：因为，，所以两式相加，可得，可得，故错误；因为，所以，解得，故错误；因为，又，所以，故正确；因为，又，可得，所以，故错误．故选：．已知，则下列结论正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：，，，，，，故选项正确，故选：．设，为正实数，现有下列命题中的真命题有　　A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【解答】解：若，则，即，，，即，正确；若，可取，，则，错误；若，则可取，，而，错误；由，若，则，即，，，即若，则，即，，，即，正确．故选：．基本不等式及其应用已知正实数，满足，则的最小值为　　A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：正实数，满足，，当且仅当时等号成立，故选：．已知，求的最小值 　　．【解答】解：因为，所以，当且仅当即时等号成立．故答案为：．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围　　A． B．，， C． D．，，【解答】解：不等式有解，，，，且，，当且仅当，即，时取“”，，故，即，解得或，实数的取值范围是，，．故选：．若对任意，恒成立，则的取值范围是 　　．【解答】解：，（当且仅当时取等号），，即的最大值为，故答案为：．已知正实数、满足．（1）求的最小值；（2）求的最小值；（3）求的最小值．【解答】解：，即，，，，，（1）因为、是正实数，所以，当且仅当时等号成立，故的最小值为4；（2）因为，，所以，，则，当且仅当，时等号成立，故的最小值为25；（3）因为，，，所以当且仅当，时等号成立，故的最小值为．一元二次不等式的解法不等式的解集为　　．（用区间表示）【解答】解：原不等式等价于，所以，所以；所以不等式的解集为；故答案为：．二次不等式的解集为，则的值为　　A． B．5 C． D．6【解答】解：不等式的解集为，，原不等式等价于，由韦达定理知，，，，．故选：．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是　　A． B． C．或 D．或【解答】解：当时，不等式化为恒成立，当时，不等式不能恒成立，当时，要使不等式恒成立，需△，解得，故选：．下列结论错误的是　　A．若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为 B．不等式在上恒成立的条件是且△ C．若关于的不等式的解集为，则 D．不等式的解为【解答】解：若函数对应的方程没有实根，则△，故当时，不等式的解集为，故错误；由在上恒成立，且△，故正确；当且△时，关于的不等式的解集为，此时，求得，故正确；不等式，即，即，，故错误，故选：．若不等式的解集是．（1）解不等式；（2）为何值时，的解集为．【解答】解：（1）由题意知，，且和1是方程的两根，，解得．不等式即为，解得或．所求不等式的解集为或；（2）即为，若此不等式的解集为，则，．已知关于的不等式．（1）当时，解关于的不等式；（2）当，时，不等式恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）不等式可化为，当时，不等式化为，解得，当时，不等式化为，解得，或；当时，不等式化为；①时，，解不等式得，②时，，解不等式得，③时，，解不等式得．综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为．（2）由题意不等式化为，当，时，，，且，，所以原不等式可化为恒成立，设，，，则的最小值为（3），所以的取值范围是，．不等式在实际问题中的应用近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为万元，除尘后当日产量时，总成本．（1）求的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？【解答】解：（1）由题意，除尘后，当日产量时，总成本，代入计算得；（2）由（1），总利润，每吨产品的利润，当且仅当，即时取等号，除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元．如图，某学校准备修建一个面积为2400平方米的矩形活动场地（图中的围栏，按照修建要求，中间用围墙隔开，使得为矩形，为正方形，设米，已知围墙（包括的修建费用均为每米500元，设围墙（包括的修建总费用为元．（1）求出关于的函数解析式及的取值范围；（2）当为何值时，围墙（包括的修建总费用最小？并求出的最小值．【解答】解：（1）设米，则由题意得，且，故，可得，（4分）则，所以关于的函数解析式为．（2），当且仅当，即时等号成立．故当为40米时，最小．的最小值为120000元．某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放个单位的药剂，它在水中释放的浓度（克升）随着时间（天变化的函数关系式近似为，其中若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克升）时，它才能起到有效治污的作用．（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值．【解答】解：，．（2分）当时，由，解得，此时；当时，由，解得，此时．（4分）综上，得．故若一次投放4个单位的药剂，则有效治污的时间可达8天．（6分）当时，，（9分）又，，，，则．当且仅当，即时取等号．令，解得，故所求的最小值为　　　　　　（14分）1．已知，，则　　A． B． C． D．，的大小关系不确定【解答】解：．故．故选：．2．已知，，则、之间的大小关系是　　A． B． C． D．【解答】解：因为， 当且仅当时去等号，，；；故选：．3．已知，下列不等式错误的是　　A． B． C． D．【解答】解：，，故对，，，故对，，且，，故对，，故，故错，故选：．4．下列命题正确的是　　A．，，使得 B．若，则 C．是的必要不充分条件 D．若，则【解答】解：对于选项，当时，不存在，使得，故命题错误；对于选项，，，，又，，故命题正确；对于选项，若，则且，故，故是的充分条件，若，，则成立，不成立，故是的不必要条件，故是的充分不必要条件，故命题错误；对于选项，，，，，，故，即，故命题正确；故选：．5．已知，则的最小值是　　A．4 B．8 C．9 D．10【解答】解：，，当且仅当，即时取等号，的最小值是9，故选：．6．已知，且，则的最大值　　．【解答】解：，，故当，即，时，等号成立，故答案为：．7．已知直角三角形的两直角边长的和为4，则此直角三角形的面积满足　　A．最大值2 B．最大值4 C．最小值2 D．最小值4【解答】解：设直角三角形的两直角边长为，，则，直角三角形的面积，当且仅当，取得最大值，且为2．故选：．8．已知，则的最小值为　4　．【解答】解：，，则．当且仅当，即时取等号．，即的最小值为4．故答案为：4．9．函数的最小值为多少？【解答】解：设，则，，当且仅当时取等号，函数的最小值为．10．不等式的解集是　，，　．【解答】解：方程，解得其根为或，，解得或，该不等式的解集是，，．故答案为：，，．11．二次不等式的解集为，则的值为　　A． B． C．2 D．6【解答】解：不等式的解集为，则方程的实数根为和，由根与系数的关系得，解得，；所以．故选：．12．若不等式的解集为实数集，则实数的取值范围为　　A． B． C． D．【解答】解：时，不等式化为，解集为实数集；时，应满足，所以，解得；综上，实数的取值范围是．故选：．13．下列结论错误的是　　A．若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为 B．不等式在上恒成立的条件是且△ C．若关于的不等式的解集为，则 D．不等式的解为【解答】解：若函数对应的方程没有实根，则△，故当时，不等式的解集为，故错误；由在上恒成立，且△，故正确；当且△时，关于的不等式的解集为，此时，求得，故正确；不等式，即，即，，故错误，故选：．14．已知，求的值．【解答】解：，解得，，．15．已知关于的不等式的解集为．（1）求，的值；（2）解关于的不等式．【解答】解：（1）不等式的解集为．所以和是对应方程的解，由根与系数的关系知，，解得，．（2）不等式化为，即，所以；当，即时，不等式化为，解得；当，即时，解不等式得或；当，即时，解不等式得或；综上知，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为，，；时，不等式的解集为，，．16．某养鸡场是一面靠墙，三面用铁丝网围成的矩形场地，如果铁丝网长，那么围成的场地面积最大为多少？【解答】解：设围成的矩形场地的长为，宽为，由题意可得，则围成的场地面积设为，即有．当且仅当，即，时，取得最大值．则围成的场地面积最大为．17．商丘是商部族的起源和聚居地，商人、商业的发源地和商朝最早的建都地．华商始祖王亥最早在这里，商丘是华商之都，于2006年11月10日在商丘举办首届国际华商文化节，某花卉集团根据需要欲将如图所示一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米．（Ⅰ）要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围内？（Ⅱ）当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值．【解答】解：（Ⅰ）设的长为米，则米，，（2分）．由，得，又，得，解得：或，即长的取值范围是． （6分）（Ⅱ）矩形花坛的面积为（10分）当且仅当，即时，矩形花坛的面积取得最小值24．故的长为2米时，矩形的面积最小，最小值为24平方米．（12分）18．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为，宽为．（1）若菜园面积为，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为，求的最小值．【解答】解：（1）由题意得，，则所用篱笆总长，当且仅当且，即，时取等号，此时所用篱笆总长最小；（2）由题意，所以，当且仅当且，即时取等号，此时取得最小值．