人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式练习，共39页。试卷主要包含了基本不等式，变形，若，则函数的最小值是，已知，则的最小值为，函数取最小值时的值为，若，则有，函数的最小值为，若，是两正实数，，则的最小值是等内容，欢迎下载使用。

知识点一 基本不等式
1．基本不等式：如果，当且仅当时，等号成立．
其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
知识点二 用基本不等式求最值
用基本不等式≥求最值应注意：
(1)x，y是正数．
(2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
(3)讨论等号成立的条件是否满足．
知识点三 基本不等式的两个变形
1.(，当且仅当时取等号)；
2. (，当且仅当时取等号).
利用基本不等式求最值
(1)拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件．
(2)常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．
的最小值为
A．2B．3C．4D．5
函数的最小值为
A．10B．15C．20D．25
若，则函数的最小值是
A．B．2C．D．
已知，则的最小值为
A．B．2C．D．4
函数取最小值时的值为
A．6B．2C．D．
若，则有
A．最小值为3B．最大值为3C．最小值为D．最大值为
函数的最小值为
A．3B．2C．1D．0
函数的最小值为
A．8B．7C．6D．5
若，是两正实数，，则的最小值是
A．B．C．D．
若，，且，则的最小值为
A．12B．6C．14D．16
已知，都是正数，若，则的最小值为
A．B．C．D．1
若，，且，则的最小值为
A．6B．12C．14D．16
已知，且，则的最小值为
A．B．C．D．6
已知正实数，满足，则的最小值为
A．8B．9C．5D．7
已知，，且，则的最小值为
A．64B．81C．100D．121
若正数，满足，则的最小值为
A．6B．C．D．
基本不等式与恒成立
(1)分离参数，转化为求代数式的最值问题．
(2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
设，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
设，，，则使得恒成立，求的取值范围是
A．B．，C．D．，
已知，且，则使不等式恒成立的实数的取值范围为
A．B．，C．D．，
若，，且，恒成立，则实数的取值范围是
A．B．或C．或D．
基本不等式综合
已知，且，则下列结论正确的是
A．B．的最大值为
C．的最小值为D．的最大值为
已知，，，则下列结论正确的是
A．的最小值为B．的最小值为16
C．的最大值为D．的最小值为
设正实数，满足，则下列结论正确的是
A．有最小值4B．有最大值
C．有最大值D．有最小值
设正实数，满足，则下列说法正确的是
A．上的最小值为2B．的最大值为1
C．的最大值为4D．的最小值为
不等式的证明
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
已知，，均为正数，且，求证：．
已知，，设，，求证：
（1）；
（2）．
已知，，且，求证：．
解答下列各题．
（1）设，，，求证：；
（2）设且恒成立，求实数的取值范围．
基本不等式的实际应用
应用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)认真审题，恰当选择变量(x或y)，并求其取值范围；
(2)用x或y表示要求最大(小)值的量z；
(3)利用基本不等式，求出z的最大(小)值；
(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．
如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为，宽为．
（1）若菜园面积为72，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为30，求的最小值．
经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆小时）与汽车的平均速度（千米小时）之间的函数关系为：．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？
2018年10月19日，由中国工信部、江西省政府联合主办的世界（虚拟现实）产业大会在南昌开幕，南昌在红谷滩新区建立特色小镇项目．现某厂商抓住商机在去年用450万元购进一批设备，经调试后今年投入使用，计划第一年维修、保养费用22万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为180万元，设使用年后设备的盈利额为万元．
（1）写出与之间的函数关系式；
（2）使用若干年后，当年平均盈利额达到最大值时，求该厂商的盈利额．
1．的最小值为
A．2B．3C．4D．5
2．函数的最小值为
A．10B．15C．20D．25
3．若，则函数的最小值是
A．B．2C．D．
4．已知，则的最小值为
A．B．2C．D．4
5．函数取最小值时的值为
A．6B．2C．D．
6．若，则有
A．最小值为3B．最大值为3C．最小值为D．最大值为
7．函数的最小值为
A．3B．2C．1D．0
8．函数的最小值为
A．8B．7C．6D．5
9．若，是两正实数，，则的最小值是
A．B．C．D．
10．若，，且，则的最小值为
A．12B．6C．14D．16
11．已知，都是正数，若，则的最小值为
A．B．C．D．1
12．若，，且，则的最小值为
A．6B．12C．14D．16
13．已知，且，则的最小值为
A．B．C．D．6
14．已知正实数，满足，则的最小值为
A．8B．9C．5D．7
15．已知，，且，则的最小值为
A．64B．81C．100D．121
16．若正数，满足，则的最小值为
A．6B．C．D．
17．设，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
18．设，，，则使得恒成立，求的取值范围是
A．B．，C．D．，
19．已知，且，则使不等式恒成立的实数的取值范围为
A．B．，C．D．，
20．若，，且，恒成立，则实数的取值范围是
A．B．或C．或D．
21．已知，且，则下列结论正确的是
A．B．的最大值为
C．的最小值为D．的最大值为
22．已知，，，则下列结论正确的是
A．的最小值为B．的最小值为16
C．的最大值为D．的最小值为
23．设正实数，满足，则下列结论正确的是
A．有最小值4B．有最大值
C．有最大值D．有最小值
24．设正实数，满足，则下列说法正确的是
A．上的最小值为2B．的最大值为1
C．的最大值为4D．的最小值为
25．如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为，宽为．
（1）若菜园面积为72，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为30，求的最小值．
26．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆小时）与汽车的平均速度（千米小时）之间的函数关系为：．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
27．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？
28．2018年10月19日，由中国工信部、江西省政府联合主办的世界（虚拟现实）产业大会在南昌开幕，南昌在红谷滩新区建立特色小镇项目．现某厂商抓住商机在去年用450万元购进一批设备，经调试后今年投入使用，计划第一年维修、保养费用22万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为180万元，设使用年后设备的盈利额为万元．
（1）写出与之间的函数关系式；
（2）使用若干年后，当年平均盈利额达到最大值时，求该厂商的盈利额．
专题2.2 基本不等式
知识点一 基本不等式
1．基本不等式：如果，当且仅当时，等号成立．
其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
知识点二 用基本不等式求最值
用基本不等式≥求最值应注意：
(1)x，y是正数．
(2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
(3)讨论等号成立的条件是否满足．
知识点三 基本不等式的两个变形
1.(，当且仅当时取等号)；
2. (，当且仅当时取等号).
利用基本不等式求最值
(1)拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件．
(2)常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．
的最小值为
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：由已知函数，
，，
，
当且仅当，即时等号成立，
当时，函数有最小值是4，
故选：．
函数的最小值为
A．10B．15C．20D．25
【解答】解：由题意，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值为20，
故选：．
若，则函数的最小值是
A．B．2C．D．
【解答】解：由，得，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
故选：．
已知，则的最小值为
A．B．2C．D．4
【解答】解：由，，
当且仅当，即时，取得等号，
故的最小值为，
故选：．
函数取最小值时的值为
A．6B．2C．D．
【解答】解：，，
函数，
当且仅当，即时取等号．
故选：．
若，则有
A．最小值为3B．最大值为3C．最小值为D．最大值为
【解答】解：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以有最小值
故选：．
函数的最小值为
A．3B．2C．1D．0
【解答】解：由，得，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为
故选：．
函数的最小值为
A．8B．7C．6D．5
【解答】解：由，得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为
故选：．
若，是两正实数，，则的最小值是
A．B．C．D．
【解答】解：因为，是两正实数，，
则，
当且仅当且，即，时取等号．
故选：．
若，，且，则的最小值为
A．12B．6C．14D．16
【解答】解：因为，，且，
则，当且仅当且，即，时取等号．
故选：．
已知，都是正数，若，则的最小值为
A．B．C．D．1
【解答】解：已知，都是正数，且，
则，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为：．
故选：．
若，，且，则的最小值为
A．6B．12C．14D．16
【解答】解：因为，
当且仅当，即，时取得最小值为12，
故选：．
已知，且，则的最小值为
A．B．C．D．6
【解答】解：，，且，
，
，
当且仅当且，即，时取等号，
故选：．
已知正实数，满足，则的最小值为
A．8B．9C．5D．7
【解答】解：可得，
，
当且仅当时，取得最小值9
故选：．
已知，，且，则的最小值为
A．64B．81C．100D．121
【解答】解：由，可得，
则，
当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值81
故选：．
若正数，满足，则的最小值为
A．6B．C．D．
【解答】解：因为正数，满足，
所以，
则，
当且仅当且，即，时取等号，
所以的最小值为．
故选：．
基本不等式与恒成立
(1)分离参数，转化为求代数式的最值问题．
(2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
设，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：，，，
则，
当且仅当，，，上式取得等号，
由不等式恒成立，可得，
故选：．
设，，，则使得恒成立，求的取值范围是
A．B．，C．D．，
【解答】解：因为，，，
所以，当且仅当时取“”，
若使得恒成立，则的取值范围是，
即，．
故选：．
已知，且，则使不等式恒成立的实数的取值范围为
A．B．，C．D．，
【解答】解：由题意知两个正数，满足，
则，当且仅当，时取等号，
，
故选：．
若，，且，恒成立，则实数的取值范围是
A．B．或C．或D．
【解答】解：根据题意，，，且，
则，
当且仅当时等号成立，
即的最小值为8，
若恒成立，必有，解可得．
即的取值范围为．
故选：．
基本不等式综合
已知，且，则下列结论正确的是
A．B．的最大值为
C．的最小值为D．的最大值为
【解答】解：，，，
，
故，
故选项正确；
，
即，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最大值为，
故选项正确；
，
，
故
，
由二次函数的性质知，
当时取得最小值，
故选项正确；
，，，
，
即，
即，
故，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最大值为，
故选项错误；
故选：．
已知，，，则下列结论正确的是
A．的最小值为B．的最小值为16
C．的最大值为D．的最小值为
【解答】解：因为，，，即，
所以，当且仅当且，即，时取等号，
此时取得最小值，正确；
因为，当且仅当且，即，时取等号，此时取最小值8，
所以取得最小值，正确；
因为（当且仅当时取等号），（当且仅当，时取等号），
所以，错误；
，当且仅当，即，时取等号，此时取得最大值，正确．
故选：．
设正实数，满足，则下列结论正确的是
A．有最小值4B．有最大值
C．有最大值D．有最小值
【解答】解：因为正实数，满足，
所以，
当且仅当且，即时取等号，取得最小值4，正确，
，当且仅当时取等号，取得最大值，正确，
，当且仅当时取等号，取的最大值，正确，
，当且仅当时取等号，取得最小值．正确，
故选：．
设正实数，满足，则下列说法正确的是
A．上的最小值为2B．的最大值为1
C．的最大值为4D．的最小值为
【解答】解：因为正实数，满足，
所以，当且时取等号，正确；
，当且仅当时取等号，正确；
，当且仅当时取等号，
所以，错误；
，当且仅当时取等号，错误．
故选：．
不等式的证明
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
已知，，均为正数，且，求证：．
【解答】证明：由，，为正数，根据平均值不等式，得，，．
当且仅当时等号成立，将此三式相加，得，即．
由，则有．
所以，．
已知，，设，，求证：
（1）；
（2）．
【解答】证明：（1），，，，
，当且仅当时取等号．
（2），，，
则，
而，，
，
，
．
已知，，且，求证：．
【解答】解：，，且
当且仅当，即时取“”号．
故原题得证．
解答下列各题．
（1）设，，，求证：；
（2）设且恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）证明：，，，
，
，
，（当且仅当时取等号）
故，
即．
（2），，
恒成立，
恒成立，
即，
又，
，，
则．
当且仅当，即时上式等号成立．
，
的取值范围是：，．
基本不等式的实际应用
应用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)认真审题，恰当选择变量(x或y)，并求其取值范围；
(2)用x或y表示要求最大(小)值的量z；
(3)利用基本不等式，求出z的最大(小)值；
(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．
如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为，宽为．
（1）若菜园面积为72，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为30，求的最小值．
【解答】解：（1）由题意知：，篱笆总长为．
又，当且仅当，即，时等号成立．
当，时，可使所用篱笆总长最小；
（2）由题意得：，
又，
，当且仅当，即，时等号成立．
的最小值是．
经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆小时）与汽车的平均速度（千米小时）之间的函数关系为：．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
【解答】解：（1）依题意，，
当且仅当，即时，上式等号成立，
（千辆时）．
当时，车流量最大，最大车流量约为千辆时；
（2）由条件得，
整理得，
即，
解得，
所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆时，
则汽车的平均速度应大于且小于．
某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？
【解答】解：（1）由题意得：，
即，又，所以．
即最多调整500名员工从事第三产业．
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，
则
所以，
所以，
即恒成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立．
所以，又，所以，
即的取值范围为，．
2018年10月19日，由中国工信部、江西省政府联合主办的世界（虚拟现实）产业大会在南昌开幕，南昌在红谷滩新区建立特色小镇项目．现某厂商抓住商机在去年用450万元购进一批设备，经调试后今年投入使用，计划第一年维修、保养费用22万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为180万元，设使用年后设备的盈利额为万元．
（1）写出与之间的函数关系式；
（2）使用若干年后，当年平均盈利额达到最大值时，求该厂商的盈利额．
【解答】解：（1）依题得：（6分）
（2），
当且仅当时，即时等号成立．
使用15年后平均盈利额达到最大值，该厂商盈利额为1500万元．（12分）
1．的最小值为
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：由已知函数，
，，
，
当且仅当，即时等号成立，
当时，函数有最小值是4，
故选：．
2．函数的最小值为
A．10B．15C．20D．25
【解答】解：由题意，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值为20，
故选：．
3．若，则函数的最小值是
A．B．2C．D．
【解答】解：由，得，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
故选：．
4．已知，则的最小值为
A．B．2C．D．4
【解答】解：由，，
当且仅当，即时，取得等号，
故的最小值为，
故选：．
5．函数取最小值时的值为
A．6B．2C．D．
【解答】解：，，
函数，
当且仅当，即时取等号．
故选：．
6．若，则有
A．最小值为3B．最大值为3C．最小值为D．最大值为
【解答】解：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以有最小值3．
故选：．
7．函数的最小值为
A．3B．2C．1D．0
【解答】解：由，得，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为0．
故选：．
8．函数的最小值为
A．8B．7C．6D．5
【解答】解：由，得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为5．
故选：．
9．若，是两正实数，，则的最小值是
A．B．C．D．
【解答】解：因为，是两正实数，，
则，
当且仅当且，即，时取等号．
故选：．
10．若，，且，则的最小值为
A．12B．6C．14D．16
【解答】解：因为，，且，
则，当且仅当且，即，时取等号．
故选：．
11．已知，都是正数，若，则的最小值为
A．B．C．D．1
【解答】解：已知，都是正数，且，
则，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为：．
故选：．
12．若，，且，则的最小值为
A．6B．12C．14D．16
【解答】解：因为，
当且仅当，即，时取得最小值为12，
故选：．
13．已知，且，则的最小值为
A．B．C．D．6
【解答】解：，，且，
，
，
当且仅当且，即，时取等号，
故选：．
14．已知正实数，满足，则的最小值为
A．8B．9C．5D．7
【解答】解：可得，
，
当且仅当时，取得最小值9．
故选：．
15．已知，，且，则的最小值为
A．64B．81C．100D．121
【解答】解：由，可得，
则，
当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值81．
故选：．
16．若正数，满足，则的最小值为
A．6B．C．D．
【解答】解：因为正数，满足，
所以，
则，
当且仅当且，即，时取等号，
所以的最小值为．
故选：．
17．设，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：，，，
则，
当且仅当，，，上式取得等号，
由不等式恒成立，可得，
故选：．
18．设，，，则使得恒成立，求的取值范围是
A．B．，C．D．，
【解答】解：因为，，，
所以，当且仅当时取“”，
若使得恒成立，则的取值范围是，
即，．
故选：．
19．已知，且，则使不等式恒成立的实数的取值范围为
A．B．，C．D．，
【解答】解：由题意知两个正数，满足，
则，当且仅当，时取等号，
，
故选：．
20．若，，且，恒成立，则实数的取值范围是
A．B．或C．或D．
【解答】解：根据题意，，，且，
则，
当且仅当时等号成立，
即的最小值为8，
若恒成立，必有，解可得．
即的取值范围为．
故选：．
21．已知，且，则下列结论正确的是
A．B．的最大值为
C．的最小值为D．的最大值为
【解答】解：，，，
，
故，
故选项正确；
，
即，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最大值为，
故选项正确；
，
，
故
，
由二次函数的性质知，
当时取得最小值，
故选项正确；
，，，
，
即，
即，
故，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最大值为，
故选项错误；
故选：．
22．已知，，，则下列结论正确的是
A．的最小值为B．的最小值为16
C．的最大值为D．的最小值为
【解答】解：因为，，，即，
所以，当且仅当且，即，时取等号，
此时取得最小值，正确；
因为，当且仅当且，即，时取等号，此时取最小值8，
所以取得最小值，正确；
因为（当且仅当时取等号），（当且仅当，时取等号），
所以，错误；
，当且仅当，即，时取等号，此时取得最大值，正确．
故选：．
23．设正实数，满足，则下列结论正确的是
A．有最小值4B．有最大值
C．有最大值D．有最小值
【解答】解：因为正实数，满足，
所以，
当且仅当且，即时取等号，取得最小值4，正确，
，当且仅当时取等号，取得最大值，正确，
，当且仅当时取等号，取的最大值，正确，
，当且仅当时取等号，取得最小值．正确，
故选：．
24．设正实数，满足，则下列说法正确的是
A．上的最小值为2B．的最大值为1
C．的最大值为4D．的最小值为
【解答】解：因为正实数，满足，
所以，当且时取等号，正确；
，当且仅当时取等号，正确；
，当且仅当时取等号，
所以，错误；
，当且仅当时取等号，错误．
故选：．
25．如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为，宽为．
（1）若菜园面积为72，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为30，求的最小值．
【解答】解：（1）由题意知：，篱笆总长为．
又，当且仅当，即，时等号成立．
当，时，可使所用篱笆总长最小；
（2）由题意得：，
又，
，当且仅当，即，时等号成立．
的最小值是．
26．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆小时）与汽车的平均速度（千米小时）之间的函数关系为：．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
【解答】解：（1）依题意，，
当且仅当，即时，上式等号成立，
（千辆时）．
当时，车流量最大，最大车流量约为千辆时；
（2）由条件得，
整理得，
即，
解得，
所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆时，
则汽车的平均速度应大于且小于．
27．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？
【解答】解：（1）由题意得：，
即，又，所以．
即最多调整500名员工从事第三产业．
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，
则
所以，
所以，
即恒成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立．
所以，又，所以，
即的取值范围为，．
28．2018年10月19日，由中国工信部、江西省政府联合主办的世界（虚拟现实）产业大会在南昌开幕，南昌在红谷滩新区建立特色小镇项目．现某厂商抓住商机在去年用450万元购进一批设备，经调试后今年投入使用，计划第一年维修、保养费用22万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为180万元，设使用年后设备的盈利额为万元．
（1）写出与之间的函数关系式；
（2）使用若干年后，当年平均盈利额达到最大值时，求该厂商的盈利额．
【解答】解：（1）依题得：.
（2），
当且仅当时，即时等号成立．
使用15年后平均盈利额达到最大值，该厂商盈利额为1500万元．