高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数巩固练习，共24页。试卷主要包含了五个幂函数的性质，函数的图象关于等内容，欢迎下载使用。

知识点一 幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
思考 如何判断一个函数是幂函数？
知识点二 五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝ ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．
2．五个幂函数的性质
知识点三 一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
3．当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．
4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
幂函数的概念
幂函数的判断及应用
(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．
(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式．
现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为
A．1B．2C．3D．4
在函数①，②，③，④，⑤，⑥中，是幂函数的是
A．①②④⑤B．①⑤⑥C．①②⑥D．①②④⑤⑥
已知幂函数的图象经过点，则
A．B．0C．1D．2
幂函数的图像过点，且，则实数的值为
A．4或B．C．D．或2
已知幂函数的图象经过点，则
A．B．1C．D．2
幂函数的图象及应用
(1)幂函数图象的画法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．
(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．
幂函数及直线，，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），则幂函数的图象经过的“卦限”是
A．①，⑦B．④，⑧C．③，⑦D．①，⑤
如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是
A．B．C．D．
幂函数的图象过点，则幂函数的图象是
A．B．
C．D．
函数，和的图象如图所示，有下列四个说法：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
④如果时，那么．
其中正确的是
A．①④B．①C．①②D．①③④
已知幂函数在内是单调递减函数，则实数 ．
已知幂函数是上的增函数，则的值为 ．
幂函数在区间上单调递增，则（3）
A．27B．9C．D．
若幂函数在上单调递减，则
A．或2B．2C．D．
比较幂值的大小
比较幂值大小的方法
(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．
(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．
若，则，，，的大小关系是
A．B．C．D．
已知，，，则
A．B．C．D．
若，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
三个数，，之间的大小关系是
A．B．C．D．
幂函数综合问题
已知幂函数的图象关于轴对称．
（1）求的解析式；
（2）求函数在，上的值域．
已知幂函数的图象关于轴对称，集合．
（1）求的值；
（2）当时，的值域为集合，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
已知幂函数的图象经过点．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若函数满足条件，试求实数的取值范围．
1．若函数为幂函数，则实数
A．2B．C．或2D．3
2．现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为
A．1B．2C．3D．4
3．若函数是幂函数，则实数的值是
A．1或B．C．2D．或2
4．设和是两个不同的幂函数，则它们图像交点的个数为
A．1或2或0B．1或2或3C．1或2或3或4D．0或1或2或3
5．已知幂函数的图象过点，则的值为
A．27B．C．D．
6．如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象．已知分别取，1，，2四个值，则与曲线，，，相应的依次为
A．2，1，，B．2，，1，C．，1，2，D．，1，2，
7．已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于
A．B．C．2D．
8．函数的图象关于
A．轴对称B．直线对称C．坐标原点对称D．直线对称
9．已知对数函数的图象经过点，则幂函数的图象是
A．B．
C．D．
10．写出一个同时满足下列性质的幂函数 ．
①偶函数；
②在上递增．
11．函数是幂函数，且为偶函数，则实数的值是 ．
12．幂函数在区间上单调递增，则（3）
A．27B．9C．D．
13．函数的图象经过点，，则（9）的值为
A．B．3C．D．81
14．已知幂函数的图象关于轴对称．
（1）求的解析式；
（2）求函数在，上的值域．
15．已知函数．
（1）为何值时此函数为幂函数？
（2）为何值时此函数为正比例函数？
（3）为何值时此函数为反比例函数．
16．已知幂函数的图象经过点．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若函数满足条件，试求实数的取值范围．
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减
增
增
在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减
专题3.5 幂函数
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
思考 如何判断一个函数是幂函数？
知识点二 五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝ ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．
2．五个幂函数的性质
知识点三 一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
3．当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．
4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
幂函数的概念
幂函数的判断及应用
(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．
(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式．
现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：形如为常数）的函数叫做幂函数，
①、⑥是幂函数，故①⑥满足条件；
而②、⑦是指数函数，故②⑦不满足条件；
显然，③、④；⑤不是幂函数，故③④⑤不满足条件；
故其中幂函数的个数为2，
故选：．
在函数①，②，③，④，⑤，⑥中，是幂函数的是
A．①②④⑤B．①⑤⑥C．①②⑥D．①②④⑤⑥
【解答】解：根据幂函数的定义，在函数①，②，③，④，⑤，⑥中，
是幂函数的有①⑤⑥，
故选：．
已知幂函数的图象经过点，则
A．B．0C．1D．2
【解答】解：幂函数的图象经过点，，，
故选：．
幂函数的图像过点，且，则实数的值为
A．4或B．C．D．或2
【解答】解：幂函数的图像过点，，，即．
，则实数，
故选：．
已知幂函数的图象经过点，则
A．B．1C．D．2
【解答】解：幂函数的图象经过点，
，解得，，
．
故选：．
幂函数的图象及应用
(1)幂函数图象的画法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．
(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．
幂函数及直线，，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），则幂函数的图象经过的“卦限”是
A．①，⑦B．④，⑧C．③，⑦D．①，⑤
【解答】解：取得，，故在第⑤卦限；
再取得，，故在第①卦限，
故选：．
如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是
A．B．C．D．
【解答】解：由于①对应的幂函数图象是上凸型的，故有幂指数，
故选：．
幂函数的图象过点，则幂函数的图象是
A．B．
C．D．
【解答】解：设幂函数的解析式为，
幂函数的图象过点，
，
解得
，其定义域为，，且是增函数，
当时，其图象在直线的上方．对照选项．
故选：．
函数，和的图象如图所示，有下列四个说法：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
④如果时，那么．
其中正确的是
A．①④B．①C．①②D．①③④
【解答】解：易知函数，和的图象交点坐标为，
函数与的图象还有一个交点，
当三个函数的图象依，，次序呈上下关系时，，故①正确，
当三个函数的图象依，，次序呈上下关系时，或，故②错误，
由于三个函数的图象没有出现，，次序的上下关系，故③错误，
当三个函数的图象依，，次序呈上下关系时，，故④正确，
所以正确的有①④，
故选：．
已知幂函数在内是单调递减函数，则实数 ．
【解答】解：由题意得，，解得．
故答案为：．
已知幂函数是上的增函数，则的值为 3 ．
【解答】解：函数是幂函数，则，
即，
解得或；
当时，不是上的增函数，不满足题意；
当时，是上的增函数，满足题意．
则的值为3
故答案为：3
幂函数在区间上单调递增，则（3）
A．27B．9C．D．
【解答】解：幂函数在区间上单调递增，
，
解得，
，
（3）．
故选：．
若幂函数在上单调递减，则
A．或2B．2C．D．
【解答】解：幂函数在上单调递减，
，解得，
故选：．
比较幂值的大小
比较幂值大小的方法
(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．
(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．
若，则，，，的大小关系是
A．B．C．D．
【解答】解：，函数是上的增函数，
，，
故选：．
已知，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：，，，
，，，
函数在上是增函数，
．
故选：．
若，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解答】解：构造函数，因为函数，为单调递减函数．
且，
所以，即，
所以．
故选：．
三个数，，之间的大小关系是
A．B．C．D．
【解答】解：幂函数在上为增函数，
，即，
，
，
故选：．
幂函数综合问题
已知幂函数的图象关于轴对称．
（1）求的解析式；
（2）求函数在，上的值域．
【解答】解：（1）因为是幂函数，所以，
解得或．
又的图象关于轴对称，所以，
故．
（2）由（1）可知，．
因为，，所以，，所以．
故在，上的值域为．
已知幂函数的图象关于轴对称，集合．
（1）求的值；
（2）当时，的值域为集合，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由幂函数，
可知，解得或，
当时，的图象不关于轴对称，舍去，
当时，的图象关于轴对称，满足条件，
因此，．
（2）当，时，的值域为，则集合，
由题意知，得，解得，
所以的取值范围为，．
已知幂函数的图象经过点．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若函数满足条件，试求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）幂函数的图象经过点，
，，
．
（Ⅱ）函数为偶函数，在上单调递增，且满足，
不等式可化为，
，
两边平方得，
解得，
即实数的取值范围为．
1．若函数为幂函数，则实数
A．2B．C．或2D．3
【解答】解：函数为幂函数，，求得或2，
故选：．
2．现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：形如为常数）的函数叫做幂函数，
①、⑥是幂函数，故①⑥满足条件；
而②、⑦是指数函数，故②⑦不满足条件；
显然，③、④；⑤不是幂函数，故③④⑤不满足条件；
故其中幂函数的个数为2，
故选：．
3．若函数是幂函数，则实数的值是
A．1或B．C．2D．或2
【解答】解：幂函数的系数为1，
，
解得或．
故选：．
4．设和是两个不同的幂函数，则它们图像交点的个数为
A．1或2或0B．1或2或3C．1或2或3或4D．0或1或2或3
【解答】解：取，，由可得或或，
故和是有3个交点，
取，，由可得或，
故和是有2个交点，
取，，由可得，
故和是有1个交点，
任意幂函数的图像必过点，即和至少有1个交点，
任意两个幂函数的图像不可能有4个交点，故和交点个数为1或2或3，
故选：．
5．已知幂函数的图象过点，则的值为
A．27B．C．D．
【解答】解：设幂函数的解析式为，，
因为的图象过点，
所以，解得，
所以，
所以．
故选：．
6．如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象．已知分别取，1，，2四个值，则与曲线，，，相应的依次为
A．2，1，，B．2，，1，C．，1，2，D．，1，2，
【解答】解：根据幂函数在第一象限内的图象，已知分别取，1，，2四个值，
在图象中，做出直线，根据直线和曲线交点的纵坐标的大小，
可得曲线，，，相应的依次为：2，1，，，
故选：．
7．已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于
A．B．C．2D．
【解答】解：函数是幂函数，
，解得，
；
令，解得，
函数的图象经过定点，
，解得．
故选：．
8．函数的图象关于
A．轴对称B．直线对称C．坐标原点对称D．直线对称
【解答】解：函数的定义域是实数集合，关于原点对称，
，
是偶函数，
函数图象关于原点轴对称，
故选：．
9．已知对数函数的图象经过点，则幂函数的图象是
A．B．
C．D．
【解答】解：对数函数的图象经过点，
，，故幂函数，它的图象如图所示，
故选：．
10．写出一个同时满足下列性质的幂函数 ．
①偶函数；
②在上递增．
【解答】解：根据幂函数是偶函数，且在上递增，可以写出．
故答案为：．
11．函数是幂函数，且为偶函数，则实数的值是 ．
【解答】解：由函数是幂函数，
得，即，
解得或；
又为偶函数，即为偶数，
所以实数的值是3．
故答案为：3．
12．幂函数在区间上单调递增，则（3）
A．27B．9C．D．
【解答】解：幂函数在区间上单调递增，
，
解得，
，
（3）．
故选：．
13．函数的图象经过点，，则（9）的值为
A．B．3C．D．81
【解答】解：函数的图象经过点，，，，
则（9），
故选：．
14．已知幂函数的图象关于轴对称．
（1）求的解析式；
（2）求函数在，上的值域．
【解答】解：（1）因为是幂函数，所以，
解得或．
又的图象关于轴对称，所以，
故．
（2）由（1）可知，．
因为，，所以，，所以．
故在，上的值域为．
15．已知函数．
（1）为何值时此函数为幂函数？
（2）为何值时此函数为正比例函数？
（3）为何值时此函数为反比例函数．
【解答】解：（1）由于函数，
故当，即，或时，函数为幂函数．
（2）当，即时，此函数为正比例函数．
（3）当，即时，此函数为反比例函数．
16．已知幂函数的图象经过点．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若函数满足条件，试求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）幂函数的图象经过点，
，，
．
（Ⅱ）函数为偶函数，在上单调递增，且满足，
不等式可化为，
，
两边平方得，
解得，
即实数的取值范围为．
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减
增
增
在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减