人教A版 (2019)5.7 三角函数的应用同步训练题

这是一份人教A版 (2019)5.7 三角函数的应用同步训练题，共37页。
考点一：三角函数的应用
1．三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．
2．用函数模型解决实际问题的一般步骤
收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验．
考点二： 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
【题型归纳】
题型一：三角函数在物理中的应用
1．（2022·全国·高一单元测试）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：，，.已知当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在秒时h的值为（ ）
A．-2B．2C．D．
2．（2022·北京·人大附中高一）如图，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国·高一专题练习）在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C．D．
题型二：三角函数在生活中的应用
4．（2022·河南驻马店·高一期末）如图所示半径为4m的水轮其圆心O距离水面2m．已知水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，水轮上的点P(起始点为A)到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系，则有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．（2022·陕西汉中·高一期末）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为，EG为测量标杆问的距离，记为，GC、EH分别记为，则该山体的高AB=（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高一课时练习）如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，则在转动一周的过程中，高度关于时间的函数解析式是（ ）
A．B．
C．D．
题型三：几何下的三角函数模型
7．（2021·江苏·高一专题练习）某艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘.将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角，处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：，，.根据测量得到的结果推算女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·浙江·高一期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设大正方形的面积为，小正方形的面积为，且，则（ ）
A．B．
C．2D．3
9．（2021·全国·高一专题练习）如图所示，扇形的半径为，圆心角为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
题型四：三角函数的应用
10．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.
(1)根据条件具体写出关于的函数表达式；
(2)在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？
11．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地（圆心角为）和（圆心角为），为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域，一块为平行四边形区域，已知圆的直径百米，且点在劣弧上（不含端点），点在上､点在上､点和在上､点在上，记.
(1)经设计，当达到最大值时，取得最佳观赏效果，求取何值时，最大，最大值是多少？
(2)设矩形和平行四边形面积和为，求的最大值及此时的值.
12．（2022·湖北·襄阳五中高一阶段练习）某中学在荣获省级多样化发展示范学校后，征得一块形状为扇形的土地用于建设新的田径场，如图，已知扇形圆心角，半径米，关于轴对称.欲在该地截出内接矩形建田径场，并保证矩形的一边平行于扇形弦，设，记.
(1)写出、两点的坐标，并以为自变量，写出关于的函数关系式；
(2)当为何值时，矩形田径场的面积最大？并求出最大面积.
【双基达标】
单选题
13．（2022·全国·高一）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·北京·高一期末）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径米，总高约米，匀速旋转一周时间为分钟，配有个球形全透视度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（ ）
A．米B．米C．米D．米
15．（2022·全国·高一单元测试）筒车是一种以水流作动力，取水灌田的工具，是中国古代人民伟大的发明之一.如图，已知某个半径为6m的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转2圈，筒车轴心O距水面3m，设筒车上某个盛水筒P，以P刚浮出水面时开始计算时间，则盛水筒P出水后第一次到达最高点的时间（单位：s）为（ ）
A．7B．8C．9D．10
16．（2022·山东山东·高一期中）将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示，已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（ ）
A．15.4cmB．16.4cmC．17.4cmD．18.4cm
17．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）如图所示，一条河宽AC为1km，两岸各有一座城市A和B，A与B的直线距离是4km，今需铺设一条电缆连接城市A和B，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假设两岸是平行直线（没有弯曲），设∠CAD=θ，铺设电缆总施工费用为y元.
(1)求y关于θ的函数关系式.
(2)应该铺设地下电缆BD多长时方可使总施工费用y达到最小.
18．（2022·全国·高一）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系．
(1)求的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
【高分突破】
一、单选题
19．（2022·辽宁·大连八中高一）单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为，那么单摆来回摆动的振幅（厘米）和一次所需的时间（秒）为（ ）
A．3，4B．，4C．3，2D．，2
20．（2022·湖北·宜城市第一中学高一期中）如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分转圈，筒车的轴心距离水面的高度为，设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若从盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为，则其中A，，，的值分别为（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
21．（2022·江西·上饶中学高一阶段练习）铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（ ）
A．B．C．D．
22．（2022·全国·高一）时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到20时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内5~17时的气温T（单位：）与时间t（单位：）近似满足关系式，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历（ ）
A．1.4B．2.4C．3.2D．5.6
23．（2022·广东·执信中学高一阶段练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？”设，现有下述四个结论，其中错误的结论为（ ）
A．水深为尺B．芦苇长为尺
C．D．
24．（2022·全国·高一）已知P是半径为的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置开始，按逆时针方向做圆周运动，角速度为．如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系，若，则点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
25．（2022·广东清远·高一期中）如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距水面2m，已知水轮每分钟转5圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足关系式，则有（ ）
A．B．C．D．
26．（2022·全国·高一）如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．点Q距离水平地面的高度与时间的函数为
B．点Q距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为
C．经过10分钟点Q距离地面35米
D．摩天轮从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟
27．（2022·湖北武汉·高一期末）一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每30秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点P第一次到达最高点需要10秒
B．当水轮转动35秒时，点P距离水面2米
C．当水轮转动25秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为
28．（2022·辽宁沈阳·高一期中）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，函数单调递增
C．当时，点的纵坐标越来越小
D．当时，
29．（2022·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高一阶段练习）衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（ ）
A．点P第一次达到最高点，需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C．在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米
D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为
30．（2022·浙江杭州·高一期末）如图，摩天轮的半径为m，其中心点距离地面的高度为m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（ ）
A．转动后点距离地面
B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的
C．第和第点距离地面的高度相同
D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为
三、填空题
31．（2022·福建福州·高一期末）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃.
32．（2022·全国·高一单元测试）一半径为4m的水车，水车圆心距离水面2m，已知水车每分钟转动（按逆时针方向）3圈，当水车上点从水中浮现时开始计时，即从图中点开始计算时间，当秒时，点离水面的高度是______m.
33．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高一期中）如图，将矩形纸片ABCD的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的边AD上，记为G，若，则折痕l的长度为__________cm.
34．（2022·全国·高一课时练习）潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流．早先的人们为了表示生潮的时刻，把发生在早晨的最高的潮叫潮，发生在晚上的最高的潮叫汐，这是潮汐名称的由来．下表中给出了某市码头某一天水深与时间的关系（夜间零点开始计时）．
用函数模型来近似以地描述这些数据，则函数________．
35．（2022·全国·高一）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖的位置为，若初始位置为，当秒针针尖从（注：此时）正常开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系式为__________.
四、解答题
36．（2022·全国·高一）一半径为的水轮（如图所示），水轮圆心O离水面，已知水轮逆时针转动，每转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间.
(1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度表示为时间的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？
37．（2022·全国·高一课时练习）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．
(1)求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式；
(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，求当H取得最大值时t的值．
38．（2022·辽宁丹东·高一期末）如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足，其中，，.
(1)求，，，；
(2)求这一天时的最大温差近似值.
参考数据：，.
39．（2022·全国·高一课时练习）某港口的水深(单位：)是时间(，单位：)的函数，下面是该港口的水深数据：
一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的．
(1)若有以下几个函数模型：，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请说明理由，并求出该拟合模型的函数解析式；
(2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？
40．（2022·全国·高一专题练习）如图，已知扇形的半径为，中心角为，四边形是扇形的内接矩形，为上一动点，问：点在怎样的位置时，矩形的面积最大？并求出这个最大值．
41．（2022·湖南·长郡中学高一期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值.
时刻（t）
0
2
4
6
8
10
12
水深（y）单位：米
5.0
4.8
4.7
4.6
4.4
4.3
4.2
时刻（t）
14
16
18
20
22
24
水深（y）单位：米
4.3
4.4
4.6
4.7
4.8
5.0
0
3
6
9
12
15
18
21
24
10
13
9.9
7
10
13
9.9
7
10
【答案详解】
1．D
【分析】根据当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动可求得，进而求得h的解析式，再代入求解即可
【详解】因为当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，故，即，又，故，故，故当时，
故选：D
2．A
【分析】结合“距离”以及初始位置求得正确选项.
【详解】由于表示距离，为非负数，所以BC选项错误.
点的初始位置为，在第四象限，
所以A选项符合，D选项不符合.
故选：A
3．D
【解析】设，根据振幅确定，根据周期确定，根据确定，即可得出结果.
【详解】设位移关于时间的函数为，
根据题中条件，可得，周期，故，
由题意可知当时，取得最大值，故，则，
所以.
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的应用，考查由三角函数的性质求参数，属于基础题型.
4．C
【分析】确定A的值，根据函数的周期可计算，利用点代入解析式中结合函数的单调性质可求得，即可确定答案.
【详解】由题意可知，最高点到水面距离为5，故A=5，
由水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，
则周期 ,则，
由题意知,代入解析式中，，
由于，故或，
根据图象可知A处于函数的单调减区间上，故，
所以，，，
故选：C
5．A
【分析】根据所给数据，利用解直角三角形先求出BM，即可得解.
【详解】连接FD，并延长交AB于M点，如图，
因为在中，
所以；又因为在中，
所以，所以，
所以，即，
故选：A．
6．B
【分析】根据题意，设，进而结合题意求解即可.
【详解】解：根据题意设，，
因为某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，
所以，该摩天轮最低点距离地面高度为，
所以，解得，
因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要，
所以，，解得，
因为时，，故，即，解得.
所以，
故选：B
7．B
【分析】取，设,可得，从而得出结论.
【详解】解：取，设
则
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为
则
故选：B
8．B
【解析】设大正方形的边长为，则由已知条件可得小正方形的边长为，设为，在在中，由勾股定理得， ，可求得，所以
【详解】解：设大正方形的边长为，
因为，所以，得，
所以小正方形的边长为，
所以，
设为，则，
在中，由勾股定理得，
所以，
解得或（舍去），
所以
故选：B
9．A
【解析】如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据建立的模型利用三角函数的性质求最值.
【详解】
如图，记，在中，，，
在中，，
所以，
设矩形的面积为，
由，所以当，即时，取最大值，为,
故选：A.
10．(1)；
(2)10分钟．
【分析】（1）由中心点到地面距离得值，由摩天轮半径得值，由周期求得，再由初始值求得得表达式；
（2）解不等式后可得．
【详解】（1）中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即，，，
最低点到地面距离为10 m，
所以，，又，则，
所以所求表达式为；
（2），，
取一个周期内，有，，．
所以在摩天轮转动一圈内，点有10分钟的时间距离地面超过85m．
11．(1)时，最大值为百米
(2)百米，
【分析】对于小问1，分别用变量来表达，，代入，得关于的函数，进行三角恒等变换整理成型函数求最大值；
对于小问2，分别用变量来表达矩形和平行四边形面积相加，得关于的函数，进行三角恒等变换整理成型函数求最大值.
（1）
在矩形OEFG中，，，所以.
因为MN∥PQ，，所以，
在△OQP中，，，由正弦定理可知：
，即，
得.
所以
因为，所以，当，时，最大值为百米.
（2）
设平行四边形MNPQ边MN上的高为h，所以有，
所以平行四边形MNPQ的面积为，
在矩形OEFG中，，所以矩形OEFG的面积为，
所以
.
其中，，，因为，所以，
当，时，百米2，
此时.
12．(1)，，
，，，
(2)当时，最大面积为平方米
【分析】（1）由题意得到，从而得到点坐标，且两点的纵坐标相同，求出直线的解析式，从而确定点的横坐标，得到点的坐标，从而得到关于的函数关系式；
（2）在第一问的基础上，利用三角恒等变换得到，结合，求出最值.
【详解】（1）由题意得：米，，
所以，，
因为轴，
所以两点的纵坐标相同，
其中直线，
将代入，解得：，
故，，
∴
，；
（2）
，
因为，所以，
∴当，即时，平方米.
13．A
【分析】由振幅可得的值，由周期可得的值，由初相位可得的值，即可得出声波曲线的解析式，进而可得主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式.
【详解】解：因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，则，
周期为，则，初相位为，，
所以噪声的声波曲线的解析式为，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为．
故选：A.
14．C
【分析】角速度为，游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为
，进而甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和，再利用三角函数值域的研究方法求解即可
【详解】因为角速度为，
所以游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为
，
由题意可得甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和
，
因为，
所以，
所以，，
所以，
所以，即他们所在的高度之和的最大值约为，
故选：C
15．D
【分析】过O做OQ垂直水面，为最高点，分析可得盛水筒从P点运动到点时，需要旋转，即为个周期，由题意，求得周期，即可得答案.
【详解】过O做OQ垂直水面，为最高点，如图所示
由题意得，
所以，则，
所以，所以盛水筒P出水后第一次到达最高点要旋转，即为个周期，
又筒车每分钟匀速旋转2圈，可得周期为30秒，
所以盛水筒P出水后第一次到达最高点用时秒，
故选：D
16．C
【分析】利用题中的函数图象，分析出函数的周期，由周期公式得到的关系式即可求解.
【详解】由，得.
由函数的图象可知函数的周期为，
所以，即.
故选：C.
17．(1)，其中
(2)
【分析】（1）结合三角函数分别表示出，即可求解y关于θ的函数关系式；
（2）由（1）得令，结合辅助角公式求出，进而得解.
【详解】（1）由题可知，，其中
（2）由（1）可得
因为，所以，设，则，即，因为，所以，解得，，此时，，满足，故当时，总施工费用y达到最小，
所以
18．(1) ，;(2) 8小时.
【分析】(1)根据三角函数的图像即可求的表达式；
(2)根据正弦函数的图像与性质解,结合即可求解.
【详解】解：(1)因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，
所以，，，
所以，解得．
所以，．
(2)由(1)得，，
所以，
所以，
解得，
因为，
所以，．
所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时．
19．A
【分析】根据求解.
【详解】解：因为距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为，
所以单摆来回摆动的振幅为3和一次所需的时间为，
故选：A
20．D
【分析】根据，可构造方程组求得；根据最小正周期可求得；根据时，可求得.
【详解】由题意知：，，
，解得：；
筒车每分钟转圈，函数的最小正周期，；
当时，，即，又，；
综上所述：，，，.
故选：D.
21．B
【分析】设为内切圆的圆心，为内切圆的半径，根据正多边形的性质，可得，再根据锐角三角函数计算可得；
【详解】解：如图，
设为内切圆的圆心，为内切圆的半径．正十边形的每个外角为，内角为，所以，所以，，
，得，解得．
故选：B．
22．B
【分析】由函数关系式分别计算出花开放和闭合的时间，即可求出答案.
【详解】设时开始开放，时开始闭合，则又，解得，，
由得，.
故选：B.
23．B
【分析】设尺，则尺，根据几何关系，由勾股定理即可求出x，由此可逐项求解.
【详解】设尺，则尺，
尺，，，AC=13尺.
，由，解得（负根舍去）．
，故ACD正确，错误的结论为B．
故选：B.
24．D
【分析】设点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为，求出的值，时，射线可视角的终边，结合三角函数的定义可得出函数解析式.
【详解】设点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为，
由题意可得，，
时，射线可视角的终边，则.
故选：D.
25．BCD
【分析】由点离水面的距离最大值得出，再由周期得出.
【详解】由题意可知，可得，该函数的周期为，∴.
故选：BCD.
26．CD
【分析】由题可知，摩天轮转一圈用30分钟，则OQ在分钟转过的角为，即可得OQ为终边的角，进而判断A选项；对称中心的横坐标满足，即可判断B选项；将代入点Q距离水平地面的高度与时间的函数中，即可判断C选项；令，求解即可判断D选项.
【详解】由题意知，OQ在分钟转过的角为，
所以以OQ为终边的角为，
所以点Q距离水平地面的高度与时间的关系为，故A错误；
由，得，所以不是对称中心，故B错误；
经过10分钟，，故C正确；
由，得，得，解得，共20分钟，故D正确.
故选：CD
27．AC
【分析】设点P距离水面的高度h（米）和时间t（秒）的函数解析式为,根据题意，求出的值，对照四个选项一一验证.
【详解】设点P距离水面的高度h（米）和时间t（秒）的函数解析式为
，
由题意得：解得：
∴.
故D错误；
对于A.令h=6，即，即
解得：t=10，故A对；
对于B令t =35，代入，解得：h=4，故B错误；
对于C. 令t =25，代入，解得：h= -2，故C对.
故选：AC
28．CD
【分析】利用周期求出点所在角的终边对应的角，根据三角函数的定义可得，然后根据三角函数的性质逐个分析判断即可
【详解】因为，所以，
因为旋转一周用时6秒，所以角速度，
所以，
所以根据三角函数的定义可得，
所以，所以A错误，
对于B，当时，，则函数在此区间上不单调，所以B错误，
对于C，当时，，所以函数在上单调递减，所以点的纵坐标越来越小，所以C正确，
对于D，当时， ，所以，因为，所以，所以D正确，
故选：CD
29．ABD
【分析】先根据题意求出点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式，再从解析式出发求解ABC选项.
【详解】如图所示，过点O作OC⊥水面于点C，作OA平行于水面交圆于点A，过点P作PB⊥OA于点B，则因为水轮每60秒按逆时针转动一圈，故转动的角速度为（），且点P从水中浮现时（图中）开始计时，t（秒）后，可知，又水轮半径为4米，水轮中心O距离水面2米，即m，m，所以，所以，因为m，所以，故，D选项正确；
点P第一次达到最高点，此时，令，解得：（s），A正确；
令，解得：，，当时，（s），B选项正确；
，令，解得：，故有30s的时间点P距水面超过2米，C选项错误；
故答案为：ABD
30．ACD
【分析】设转动过程中，点P离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断.
【详解】设转动过程中，点P离地面距离的函数为，
由题意得：，
，则 ，
所以 ，
A. 转到后，点距离地面的高度为，故正确；
B.若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故错误；
C.因为 ，
，
所以 ，即第和第点距离地面的高度相同，故正确；
D. 令，则 ，则，
解得 ，所以，
即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故正确；
故选：ACD
31．20.5##
【分析】根据题意列出方程组，求出，A，求出年中12个月的平均气温与月份的关系，将x＝10代入求出10月份的平均气温值．
【详解】据题意得 ，
解得 ，
所以
令 得 .
故答案为：20.5
32．4
【分析】根据匀速圆周运动的数学模型进行求解.
【详解】因为=4，圆心到水面的距离为2，
所以到x轴的距离为2，
所以x轴与所成角为 ，
由题知水车转动的角速度为
因为水车的半径为4，设P点到水面的距离为y，
根据匀速圆周运动的数学模型有：

当t=10秒时，y=4，所以点离水面的高度是4m.
故答案为：4.
33．##12.8
【分析】用表示出然后利用表示出折痕l，再将代入可得解.
【详解】由已知及对称性知又,
所以由
得
故答案为：
34．
【分析】由题知所生潮的高的最大值为，最小值为，周期为，进而得，，再待定系数法求解即可.
【详解】解：由题知，所生潮的高的最大值为，最小值为，周期为
所以且，解得，，
故，
因为在零时，所生潮的高的最大值为，
所以，，解得，
所以.
故答案为：
35．
【分析】先设出函数关系式，由初始位置确定初相位，再由周期确定即可求解.
【详解】设点的纵坐标与时间的函数关系式为，由初始位置可得函数的初相位为，又函数周期是秒，且秒针按顺时针旋转，即，所以，即，所以.
故答案为：.
36．(1)
(2)
【分析】（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，进而设，再求解析式即可；
（2）令，解得，，进而当时，P第一次到达最高点，求得对应值即可.
【详解】（1）解：以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
设，则，，
∵，∴，
∴，
∵时，，∴，∴，
∵，∴，
∴.
（2）解：令，得，
∴，，∴，，
∴当时，P第一次到达最高点，
∴点P第一次到达最高点大约要.
37．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析式；
（2）由（1）中的解析式，结合正弦函数的性质计算可得；
（3）依题意可得，，从而得到高度差函数，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时的值，即可得解；
（1）
设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为
则，
∴，
依题意，∴，
当时，∴，
∴．
（2）
令，即，
∴，
∵，∴，
∴或，
解得或，
∴或时，1号座舱与地面的距离为17米．
（3）
依题意，
∴
令，解得，
所以当时，H取得最大值
38．(1)，，，
(2)
【分析】（1）由图象可确定的最值和最小正周期，由此可得；根据可求得；
（2）根据单调性可知，可作差得到结果.
(1)
由图象可知：，，最小正周期，
，，；
，，
，解得：，
又，.
(2)
由图象可知：在上单调递减，在上单调递增，
，，
，
即这一天时的最大温差近似值为.
39．(1)函数模型更好，函数解析式为
(2)当与时，船能够安全进港，停留的时间最多不能超过16h.
【分析】
(1)通过题目数据拟合函数图像，可判断函数模型更好，再由图像点坐标代入函数，求出函数解析式为
(2) 根据题意已知可求出水深范围，解三角函数不等式可得答案，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港.
（1）
函数模型更好地刻画y与t之间的对应关系.
根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图像.
从拟合曲线可知，函数在一个周期内由最大变到最小需9-3=6(h)，此为半个周期，
函数的最小正周期为12，因此.
又当时，；当时，
，
所求函数的表达式为
（2）
由于船的吃水深度为7m，船底与海底的距离不少于4.5m，故在船舶航行时，水深应大于或等于7+4.5=11.5(m).令,
可得

取 ，则 ；取，则；
取时，（不符合题意，舍去).
当与时，船能够安全进港，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港，在港内停留的时间最长为16h.
40．当为中点时，矩形的面积取到最大值
【分析】设，则,由表示出，进一步表示出矩形的面积为，利用三角函数的恒等变换化简其不等式，从而得出其最大值.
【详解】如图，在中，设，则
在中，，所以．
所以
设矩形的面积为，则


由于，所以当，即时，．
因此，当时，矩形的面积最大，最大面积为．
41．(1)
(2)
(3)最大值为米
【分析】对于小问1，根据离地面的最大值米、最小值米和周期为分钟，求出、、，再代入点解得.
对于小问2，令，解出即得答案.
对于小问3，根据题意，计算甲乙二人时间差，得到二人距离地面的高度表达式、，
写出两人距离地面的高度差为米，由时间的取值范围，化简求出最大值.
(1)
由题意，（其中）
摩天轮的最高点距离地面为米，最低点距离地面为米，
所以，得，
又函数周期为分钟，所以，
又，
所以，又，所以，
所以.
(2)
，
所以，整理，因为，所以，
所以,解得（分钟）.
(3)
经过分钟后甲距离地面的高度为，
乙与甲间隔的时间为分钟，
所以乙距离地面的高度为，
所以两人离地面的高度差
当或时，即或分钟时，取最大值为米.