人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换5.5.2 简单的三角恒等变换同步训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换5.5.2 简单的三角恒等变换同步训练题，共36页。
考点一 半角公式
sin eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,2))，cs eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋cs α,2))，tan eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α).
考点二 辅助角公式
辅助角公式：
asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ).eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan θ＝\f(b,a)))
【题型归纳】
题型一：降幂公式的化简求值问题
1．（2021·浙江·高一期末）已知则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·江苏扬州·高一期中）已知
（1）求的值；
（2）已知，，，求的值．
3．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）已知，且满足，求：的值
题型二：辅助角公式的应用
4．（2022·浙江·杭州四中高一期末）已知函数.设，.
(1)求的最小正周期；
(2)求的值.
5．（2022·北京师大附中高一期末）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求在区间［0，］上的最值.
6．（2022·北京·高一期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间内有两个不同的零点，直接写出实数的取值范围.
题型三：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题
7．（2022·宁夏·银川二中高一期末）（1）已知，且，求；
（2）化简：.
8．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知函数，
(1)化简；
(2)若，，求的值．
9．（2022·江苏苏州·高一期末）已知函数.
(1)若函数的图象过点，且，求的值；
(2)若，且，求的值.
题型四：三角恒等式判断三角形的形状
10．（2022·北京二中高一阶段练习）在△中，，则△一定是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
11．（2022·辽宁·辽师大附中高一阶段练习）若在中，，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
12．（2022·河北邢台·高一阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为( )
A．正三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
题型五：三角恒等式变换中化简问题
13．（2022·北京·高一期末）已知函数，.
(1)求函数的最大值；
(2)若函数，求函数的单调递增区间.
14．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）设函数
(1)求的最小正周期及其图像的对称中心；
(2)若且，求的值.
15．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知.
(1)证明：；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)若，证明：函数在上有且仅有两个零点.
题型六：三角恒等式变换中证明问题
（2021·上海松江·高一期末）
（1）已知角终边上有一点的坐标是，其中，求的值．
（2）证明恒等式：．
17．（2021·上海·高一课时练习）证明下列三角恒等式.
（1）；（2）.
18．（2020·湖北武汉·高一期末）已知且.
（Ⅰ）求证：.（Ⅱ）求的最大值.
【双基达标】
一、单选题
19．（2022·江苏南通·高一期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
20．（2022·江苏南通·高一期末）函数图象的一条对称轴方程为（ ）
A．B．C．D．
21．（2022·全国·高一课时练习）函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
22．（2022·全国·高一单元测试）设，，，则有（ ）
A．B．C．D．
23．（2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
24．（2022·湖北黄石·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
25．（2022·陕西西安·高一期末）
（1）计算：；
（2）已知，求的值.
26．（2022·浙江·高一期中）已知函数
(1)求的最小正周期和单调增区间；
(2)当时，，求.
【高分突破】
一、单选题
27．（2022·全国·高一）函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
28．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）若，，则 （ ）
A．B．C．D．
29．（2022·全国·高一专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
30．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．在区间上单调
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称
31．（2022·四川成都·高一期末（理））算下列式子，结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
32．（2022·山东潍坊·高一期末）已知函数，若的图像在区间上有且只有2个最低点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
33．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
34．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为2B．的最小正周期为
C．的图像关于直线对称D．的图像关于点对称
35．（2022·江苏·兴化市楚水实验学校高一阶段练习）下列化简结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
36．（2022·山东淄博·高一期末）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．是周期函数
B．的图象关于原点对称
C．的值域为
D．的单调递减区间为，
37．（2022·辽宁大连·高一期末）下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
38．（2022·贵州黔东南·高一期末）关于函数，下列说法中错误的是（ ）
A．其表达式可写成
B．曲线关于点对称
C．在区间上单调递增
D．，使得恒成立
39．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．底与腰之比为黄金分割比（）的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形．例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，将五角星的五个顶点相连，记正五边形的边长为，正五边形的边长为，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．对任意的，
三、填空题
40．（2022·广东·深圳市华美外国语（国际）学校高一期中）若，则__.
41．（2022·西藏拉萨·高一期末）已知函数，则下列结论中正确的是___________．
①函数的最小正周期为 ②时，取得最大值
③在上单调递增 ④的对称中心坐标是
42．（2022·全国·高一）若是第三象限角，且，则___________.
43．（2022·全国·高一）化简：___________.
44．（2022·全国·高一）若函数在上的值域为，则的取值范围为__．
45．（2022·全国·高一）已知函数图象的一条对称轴为，，且函数在上单调，则的最小值为______.
四、解答题
46．（2022·江苏南通·高一期末）已知，
(1)求和的值
(2)若，，求的大小．
47．（2022·浙江·永嘉中学高一）已知函数，且为奇函数.
(1)求的解析式；
(2)若方程在上有四个不同的实数解，求的值.
48．（2022·全国·高一）已知函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值，以及此时的取值.
49．（2022·全国·高一）化简：
(1)；
(2).
50．（2022·全国·高一）已知
(1)求的值域；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围．
51．（2022·云南红河·高一期末）已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)若方程的解为，求的值．
【答案详解】
1．B
【解析】先根据已知求出，再化简代入得解.
【详解】由得，
故.
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角恒等变换求值常用的方法有：“三看三变”，“三看”指的是看角、看名、看式，“三变”指的是变角、变名、变式.要根据已知条件，灵活选择方法求解.
2．（1）；（2）．
【分析】（1）由已知求得，再由倍角公式、同角三角函数基本关系式化弦为切求解的值；
（2）求解一元二次方程可得，由两角和的正切求，结合角的范围可得的值．
【详解】解：（1）由已知得，所以，
；
（2）由，可得或，
，，
则，
因为，，
则，则，所以．
3．
【分析】根据二倍角公式，结合题意，可求得的值，根据降幂公式，两角和的正弦公式，化简整理，根据齐次式的计算方法，即可得答案.
【详解】因为，整理可得，
解得或．
因为，所以．
则
．
4．(1)；
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式对进行化简，即可得到答案；
（2）利用得到，结合的范围求出，由即可求得答案
（1）
，
所以的最小正周期为；
（2）
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以
5．(1)（kZ）
(2)最大值为1，最小值为-.
【分析】（1）由三角函数降幂公式与二倍角公式，根据辅助角公式，化简函数为单角三角函数，根据正弦函数的单调性，可得答案；
（2）利用整体思想，根据正弦函数的图象性质，可得答案.
【详解】（1）=.
因为y＝sinx的单调递增区间为（kZ），
令（kZ），得（kZ）.
所以的单调递增区间为（kZ）.
（2）因为x∈［0，］，所以2x＋.
当2x＋=，即x＝时，最大值为1，
当2x＋=，即x＝时，最小值为-.
6．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用二倍角公式以及辅助角公式化简，用周期的计算公式即可求解；（2）整体代入正弦函数的单调递增区间中，求解不等式即可；（3）画出图象，根据图象交点个数即可求解.
（1）由得，故最小正周期为,
（2）由，解得，故的单调递增区间为
（3）令，则，故问题转化为在区间内有两个不同的根，令，且，则问题等价于在有两个根，由的图象可知：当时，有两个根.故
7．（1）；
（2）.
【分析】（1）判断角的范围，利用同角的三角函数关系求得 ，,将化为,即可利用两角差的正弦公式求得答案;
（2）利用诱导公式以及三角恒等变换公式，即可化简求值.
【详解】（1），,
又 ， ,
，,

;
（2）
.
8．(1)
(2)
【分析】（1）结合三角恒等变换的知识化简的解析式.
（2）利用平方的方法求得正确答案.
【详解】（1），，
，
，所以，

.
（2），，
两边平方得，
.
9．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换整理化简，根据题意代入整理得，结合角的范围求解；
（2）根据题意代入整理，以为整体运算求解，注意根据角的范围判断三角函数值的符号．
【详解】（1）因为.
所以.
因为函数的图象过点，
所以.
因为，所以，所以，解得.
（2）因为，所以.
因为，所以.
所以，
又，所以.
因为，所以，所以.
10．A
【分析】利用两角和与差的余弦公式即可求解.
【详解】由已知得,
,
,
，
，
∵, ∴,
即，
故选：.
11．C
【分析】利用诱导公式及二倍角公式得到，再由两角和差的余弦公式得到，即可得解；
【详解】解：因为，
即
所以，
即，即，
所以，
所以，即，
因为，所以，
所以，即，所以为等腰三角形；
故选：C
12．C
【分析】利用三角恒等变换化简已知条件可得B，故可判断三角形形状.
【详解】由知，，
∴＝，
，，
，
∴，
∵在△ABC中，，
∴，
∵，∴，
即△ABC为直角三角形．
故选：C．
13．(1)
(2)
【分析】（1）有二倍角的余弦公式化简，，由二次函数的性质求数的最大值；
（2）由三角恒等变换化简，令，即可求出函数的单调递增区间.
（1）
设.
于是，.
当时，.
（2）
令，
则.
因此，函数的单调递增区间为.
14．(1)，对称中心为
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）依题意可得，再由的取值范围，求出的范围，即可求出，最后根据及两角和的余弦公式计算可得.
【详解】（1）解：因为
，
即，
所以的最小正周期为．
令，解得，，
所以函数的对称中心为．
（2）解：因为，即，
所以，
因为，所以，所以，
所以
15．(1)证明见解析
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简即可得到结果；
（2）采用整体对应的方式进行求解即可；
（3）将问题转化为与的图象在上的交点个数问题，作出图象，采用数形结合的方式可得结论.
(1)
.
(2)
当时，，
当或，即或时，单调递减；
当，即时，单调递增；
综上所述：在和上单调递减；在上单调递增.
(3)
在的零点个数等价于与的图象在上的交点个数；
，，，，
大致图象如下图所示，
当时，由图象可知：与有有且仅有两个不同的交点，
函数在上有且仅有两个零点.
16．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据角终边上的点坐标求、，进而求即可；
（2）利用二倍角正余弦公式、同角的弦切关系，即可证恒等式.
【详解】（1）当时，点到原点的距离为，
由三角比的定义得：，，
∴；
（2）证明：．
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）分别从左边，右边化简，即可证明；
（2）左边，右边分别化弦即可求证.
【详解】（1）左边；
右边左边，
原等式成立.
（2）左边，右边，
∴左边＝右边，原等式成立.
18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据两角和的余弦公式将展开，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式即可化简得到；
（Ⅱ）根据，
再根据基本不等式即可求出最大值．
【详解】（Ⅰ）由得，
，
所以，即．
（Ⅱ）因为
而，，所以的最大值为．
【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，以及基本不等式的应用，意在考查学生的数学运算能力，转化能力，以及逻辑推理能力，属于中档题．
19．A
【分析】结合二倍角公式、诱导公式，由即可转化求值
【详解】．
故选：A
20．C
【分析】由和差公式化简函数，由整体法令，即可求解.
【详解】，
令，即，
故函数图象的一条对称轴方程为．
故选：C
21．B
【分析】将解析式用正余弦的和差角公式展开化简，即可得到结果.
【详解】因为



所以，
故选: B.
22．C
【分析】利用辅助角公式化简，利用倍角公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小.
【详解】，
，
.
因为函数在上是增函数，所以.
故选：C.
23．D
【分析】利用倍角公式，即得.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
24．A
【分析】将化为，利用诱导公式以及二倍角的余弦公式，化简求值，可得答案.
【详解】因为，
所以,
故选：A.
25．（1）；（2）.
【分析】（1）根据诱导公式，辅助角公式以及二倍角公式即可解出；
（2）根据诱导公式，商数关系即可解出．
【详解】（1）.
（2），，
则.
26．(1)最小正周期为，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）先化简，再由周期公式可得周期，由可解得递增区间；
（2）由可得，进而得，则，即可求解
【详解】（1）因为
，
所以的最小正周期为，
由，
得；
所以单调递增区间为.
（2）因为，
所以，即，
又，则，
又，则，
那么，
从而
.
27．C
【分析】由降幂公式和诱导公式即可得到，再通过即可求解.
【详解】因为，所以．
故选：C
28．A
【分析】根据，利用二倍角的余弦公式求得，即可求得，化简，即可得答案.
【详解】因为，，故，
解得 ，则，
故，
故选：A
29．A
【分析】化简函数的解析式，求出变换后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可求得的最小值.
【详解】因为，
将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，
因为函数为偶函数，则，
解得，
，则当时，取最小值.
故选：A.
30．C
【分析】首先利用二倍角公式以及辅助角公式将函数，
然后利用性质解题.
【详解】对于选项A，的最小正周期，A选项错误；
对于选项B，由解得，B选项错误；
对于选项C，由解得，当时，，所以的图象关于直线对称，选项C正确；
对于选项D，由解得，当时，，所以，的图象关于点对称，D选项错误.
故选：C.
31．B
【分析】分别利用两角和和差，二倍角公式，化简三角函数，即可判断选项.
【详解】A.原式，故A错误；
B.，
所以，故B正确；
C. ，故C错误；
D. ，故D错误.
故选：B
32．C
【分析】利用辅助角公式化简为，根据的范围，可求出的范围，根据题意分析可得，计算可求出答案.
【详解】由题意，
因为，所以，
，解得：.
故选：C.
33．A
【分析】化简得出，等式两边平方可得出关于的方程，结合的取值范围可求得的值.
【详解】由可得，则，
因为，
等式两边平方可得，即，
，解得.
故选：A.
34．ABC
【分析】将解析式经过恒等变换后化为，再对其性质逐一判断即可.
【详解】因为，
所以的最大值为2，故A正确.
最小正周期是，故B正确.
将代入，可得，则其图像关于直线对称，故C正确.
当时，，所以的图像关于点对称．故D错误.
故选: ABC.
35．ACD
【分析】由正切倍角公式即可判断A选项；由诱导公式及正弦倍角公式即可判断B选项；由辅助角公式即可判断C选项；由正切和角公式即可判断D选项.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：ACD.
36．AC
【分析】利用函数周期的定义可判断A选项；利用函数的奇偶性可判断B选项；考查函数在上的值域，可判断C选项；求出函数的单调递减区间，可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为
，
故函数为周期函数，A对；
对于B选项，，
为偶函数，B错；
对于C选项，由A选项可知，函数是周期函数，且周期为，
不妨考虑函数在上的值域即可，
当时，则，
，
因为函数为偶函数，故函数在上的值域也为，
因此，函数的值域为，C对；
对于D选项，考虑函数在上单调递减区间，
当时，，且，
由可得，
由可得，由可得，
所以，函数在上的递减区间为，递增区间为、，
由于函数为偶函数，故函数在上的减区间为、、，
因此，函数的单调递减区间为、、，D错.
故选：AC.
37．AC
【分析】结合三角恒等变换对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，
，
所以
，A选项正确.
B选项，
，B选项错误.
C选项，，C选项正确.
D选项，
，D选项错误.
故选：AC
38．ABD
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，可判断选项A；当时，求出函数值，可判断选项B；利用区间范围以及整体代换，判断单调性，可得选项C正确；
利用最小正周期的定义结合函数解析式判断选项D．
【详解】 ，
，所以A不正确；
当时，有，所以B不正确；
当时，有，因为，所以C正确；
的最小正周期，若，使得恒成立，说明是f(x)的一个周期，而，与“f(x)最小正周期为”矛盾，因此D不正确．
故选：ABD
39．ACD
【分析】依题意，即，再根据所给定义及三角恒等变换公式一一计算可得；
【详解】解：依题意，即，
在中，由正弦定理可得，
所以，
因为，
所以，
所以，
即，，，故A正确；
又，，，、，
所以，即，
所以，即，
所以，故C正确，B错误；
因为，所以，则，
所以
，故D正确；
故选：ACD
40．
【分析】根据二倍角的正弦公式先化简，再利用同角三角函数间的基本关系求解即可.
【详解】解：若，
则
，
故答案为：.
【点评】本题考查二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，属于基础题.
41．①③
【分析】利用二倍角和辅助角公式化简可得，根据正弦型函数最小正周期、最值点、单调性和对称中心的求法依次判断各个选项即可.
【详解】；
对于①，的最小正周期，①正确；
对于②，当时，，此时不取最大值，②错误；
对于③，当时，，此时单调递增，③正确；
对于④，令，解得：，此时，
的对称中心为，④错误.
故答案为：①③.
42．
【分析】利用两角差的正弦公式化简已知条件，求得，利用同角三角函数的基本关系式求得，结合降幂公式求得.
【详解】，
由于是第三象限角，所以，
所以.
故答案为：
43．
【分析】由诱导公式与三角恒变换公式求解即可
【详解】∵，
∴，
∴.
又∵，且，
∴
.
∵，
∴，
∴.
∴.
故答案为：
44．
【分析】根据辅助角公式，可得，根据函数的值域及单调性，分析计算，即可得答案.
【详解】由题意得，
因为，所以，
令，解得；令，解得，
所以当时，函数值是，
当时，函数值是，
当时，函数值是；
因为函数在上单调递增，在上单调递减，且值域为，
所以的取值范围．
故答案为：
45．
【分析】由题可知当时，函数应该取到最值，结合辅助角公式可先求得，结合，两点关于对称中心对称，求出的通式，即可求解.
【详解】由题意，，其中，
因为对称轴，所以，
即，
解得，
所以，对称轴方程为，
又因为在上具有单调性，且，
设，，则线段的中点为函数的对称中心，
由，可得，
所以，
∴，
当时，取最小值，此时，，
∴
即，时取最小值.
故答案为：.
46．(1)，；
(2)
【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得，以及求值；
（2）条件等式由诱导公式可得，即可由和差公式求得，结合范围即可.
（1）
，
；
（2）
，
，
∵，∴.
47．(1)；
(2).
【分析】（1）根据降幂公式、奇函数的性质进行求解即可；
（2）根据正弦函数的性质，结合整体思想进行求解即可.
（1）


为奇函数的图像关于点对称
，
；
（2）
，
方程，即方程在上有四个不同的实数解，
则或，即或，
当，即时，
则，
，
当，即，
，
，
所以.
48．(1)
(2)当，最大值为；当，最小值为.
【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）由，得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
（1）
解：由函数，
令，解得，
所以函数的单调增区间为.
（2）
解：由（1）知
因为，可得，
当时，即，函数取得最大值，最大值为；
当时，即，函数取得最小值，最小值为.
49．(1)
(2)
【分析】（1）先求出的范围，再利用二倍角公式和同角三角函数间的关系化简计算即可，
（2）利用半角公式，诱导公式和二倍角公式化简即可.
（1）
因为，所以，
所以原式
.
（2）
因为，
所以.
又因为，且，
所以原式，
因为，所以，所以.
所以原式.
50．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）依题意可得对任意的恒成立，参变分离可得对任意的恒成立，再利用二倍角公式、同角三角函数基本关系及对勾函数的性质计算可得.
（1）
解：
．
即，所以.
（2）
解：由得对任意的恒成立，
因为，所以，
即对任意的恒成立，只需要，
又，
令，当时，，所以，
其中，即，则或（舍去），
，
又函数在上单调递减，
所以在上单调递减，
当时，，
所以．
51．(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换化简，由最小正周期的定义即可求出答案.
（2）方程的解即为与的交点的横坐标，由对称关系数形结合即可求出答案.
（1）

∴的最小正周期为.
（2）
，则， ，
则与的交点的横坐标为
如图：
不妨设
由对称关系得：解得,
解得 ，