高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数达标测试

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数达标测试，共26页。
重难点考点 n次方根与分数指数幂
考点一 n次方根、n次根式
1．a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2．a的n次方根的表示
3.根式
式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
考点二 根式的性质
1.eq \r(n,0)＝0(n∈N*，且n>1)．
2．(eq \r(n,a))n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)．
3.eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数)．
4.eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
重难点考点 无理数指数幂及其运算性质
考点五 无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
考点六二实数指数幂的运算性质
1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
【题型归纳】
题型一：指数和指数幂的运算
1．下列各式中成立的一项是（ ）
A．B．C．D．
2．化简 (a>0)等于（ ）
A．6aB．－a
C．－9aD．9a2
3．（1）化简：；（2）计算：．
题型二：利用根式的性质化简或求值
4．化简的结果是（ ）
A．0B．C．0或D．
5．化简（ ）
A．B．C．2D．
6．求下列各式的值；
(1)；
(2)．
题型三：根式与分数指数幂的互化
7．化简的结果为（ ）
A．B．C．1D．
8．化简：
(1)；(2)；(3)．
9．化简（其中）＝（ ）
A．B．C．D．
题型三：运用指数幂运算公式化简求值
10．设a，b为正实数，，，则（ ）
A．1B．3C．9D．27
11．（1）求值：
（2）已知非零实数a满足，求的值.
12．计算下列各式：
（1）.
（2）.
（3）.
题型四：分数指数幂运算的综合应用
13．（1）计算：；
（2）已知，求的值．
14．（1）化简：（1）；
（2）先化简，再求值．已知，，求的值．
15．计算的值为（ ）
A．B．C．D．0
【双基达标】
一、单选题
16．下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
17．若正数，满足，，则（ ）
A．1B．3C．5D．7
18．下列等式中的字母都是正数，则错误的选项是（ ）
A．B．
C．D．
19．已知，则的值为（ ）
A．2B．－2C．D．
20．下列说法正确的个数是（ ）
①49的平方根为7；②；③；④．
A．1B．2C．3D．4
21．将化成有理数指数幂的形式___________
22．（1）计算；
（2）若，求的值．
23．（1）；
（2）化简：.
【高分突破】
一:单选题
24．若 ，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
25．若，则的结果是（ ）
A．B．C．D．
26．式子的计算结果为（ ）
A．B．C．D．
27．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
28．设，m，n是正整数，且，则下列各式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
29．下列计算正确的有（ ）
A．B．
C．D．已知，则
30．已知实数满足，下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
31．(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．C．)D．
32．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
33．以下化简结果正确的是（字母均为正数）（ ）
A．B．
C．D．
34．下列计算正确的有（ ）
A．（，）B．
C．D．已知，则
三、填空题
35．已知，则_________.
36．计算： _____．
37．已知，则__________.
38．如果，，那么的值是______.
39．________.
40．若满足关系+=+，则的值为_______________．
四、解答题
41．化简求值：
(1)；(2)．
42．（1）化简：(用分数指数幂表示)；
（2）计算：．
43．阅读材料，解决问题：
化简：．由于题目没有给出x的取值范围，所以要分类讨论，．
令，，令，得；
∴的零点值为3，的零点值为，在数轴上标出3和的点，数轴被分成三段，即，，；
当时，原式；当时，原式=5；当时，原式．
(1)求和的零点值；(2)化简：．(3)求方程：的整数解．
44．计算：
(1)；
(2)．
45．已知，且，求下列代数式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
（注：立方和公式）
46．计算下列各式：
(1)；
(2).
47．求下列各式的值（式中字母都是正数）：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
48．用分数指数幂的形式表示下列各式（式中字母都是正数）：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
eq \r(n,a)
a∈R
n为偶数
±eq \r(n,a)
[0，＋∞)
分数指数幂
正分数指数幂
规定：＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂
规定：＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义
【答案详解】
1．C
【分析】利用根式运算法则及根式与分数指数幂互化，选出正确答案.
【详解】，A错误；，B错误；
，C正确；
，D错误.
故选：C
2．C
【分析】根据指数运算法则进行运算.
【详解】
故选：C
3．（1）；（2）
【分析】（1）分数指数幂的运算法则进行计算；（2）分数指数幂与根式运算法则进行计算.
【详解】（1）原式．
（2）原式．
4．C
【分析】根据指数幂的运算化简，然后根据的大小关系讨论即可.
【详解】．
当时，原式；
当是，原式．
故选:C．
5．D
【分析】利用配方法将被开方数配凑成完全平方形式即可求解.
【详解】解：，
故选：D．
6．(1)
(2)
【分析】分析：（1）利用 进行化简，求得答案；
（2）先将式子和化成完全平方式，再化简，即得答案.
（1）
= ．
（2）
原式=
因为，所以，
当，即时，
当，即时，,
所以.
7．C
【分析】先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质计算即可.
【详解】
故选：C
8．(1)
(2)
(3)
【分析】利用指数幂的运算性质进行计算可得.
（1）
,
（2）
,
（3）
方法一（从外向里化简） ．
方法二（从里向外化简） ．
9．B
【分析】根据幂的运算法则计算．
【详解】．
故选：B．
10．C
【分析】根据，，得到，求得a即可.
【详解】解：因为，
所以，
即，
∴，，
∴，
故选：C．
11．（1）；（2）
【分析】（1）利用指数和指数幂的运算性质直接化简即可；
（2）根据化得 ，对式子进行等价变形为，然后代入求值即可.
【详解】（1）解:原式 .
（2），，，即.
原式.
12．（1）；（2）100；（3）.
【分析】（1）利用指数的运算性质即可求解.
（2）利用指数的运算性质即可求解.
（3）利用指数的运算性质即可求解.
【详解】（1）原式.
（2）原式
.
（3）原式
.
【点睛】本题考查了指数的运算性质，需熟记指数的运算性质，属于基础题.
13．（1）1；（2）65.
【分析】根据指数运算法则，对（1）（2）进行计算即可.
【详解】（1）
．
（2）因为，所以，
所以，
所以．
14．（1）；（2）．
【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则进行计算；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再代入求值.
【详解】（1）；
（2）
，
因为，，
所以.
15．A
【分析】利用指数幂的运算性质化简即可求解.
【详解】
故选：.
16．D
【分析】根据指数幂的性质计算可得.
【详解】解：对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：D
17．C
【分析】根据根式的性质求出，，即可得解.
【详解】解：因为正数，满足，，
所以，，
所以；
故选：C
18．D
【分析】根据指数幂的运算性质，可得答案.
【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.
故选：D.
19．D
【分析】利用完全平方公式进行计算.
【详解】，
所以.
故选：D
20．A
【分析】根据根式的运算，逐一判断即可.
【详解】49的平方根是，故①错误；
，故②正确；
，故③错误；
，故④错误．
故选:A．
21．##
【分析】根据指数运算法则，化简即可.
【详解】.
故答案为：.
22．（1）；（2）.
【分析】（1）由指数幂的运算性质及根式与有理数指数幂关系化简求值；
（2）利用转化求值即可.
【详解】（1）；
（2）.
23．（1）0；（2）.
【分析】（1）根据根式的化简计算，可得答案；
（2）根据指数幂的运算法则，化简计算，可得答案；
【详解】（1）原式=
；
（2）原式=
.
故答案为：0；.
24．B
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】取，满足，而无意义，即不能推出；
若，则必有，即成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
25．A
【分析】将两边同时平方，化简即可得出结果.
【详解】，
而，
故选：.
26．D
【分析】由指数运算法则直接计算可得结果.
【详解】.
故选：D.
27．B
【分析】根据分数指数幂的运算性质对各选项逐一计算即可求解.
【详解】解：对A：，故选项A错误；
对B：，故选项B正确；
对C：，不能化简为，故选项C错误；
对D：因为，所以，故选项D错误.
故选：B.
28．ABD
【分析】利用指数幂的运算性质即可得出
【详解】对于A，∵，m，n是正整数，且，∴，故正确；
对于B，显然，故正确；
对于C，，故不正确；
对于D，当n取偶数，；当n取奇数，，综上，，故正确，
故选：ABD
29．CD
【分析】利用指数幂运算、根式与有理数指数幂互化，对各选项化简求值.
【详解】A：，错误；
B：，错误；
C：，正确；
D：，正确.
故选：CD
30．AC
【分析】根据指数幂的运算依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：，故选项A正确；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
,,故选项D错误．
故选：AC．
31．BD
【分析】根据根式与分数指数幂的互化公式确定正确选项.
【详解】A选项，由于，所以，A选项错误.
B选项，正确，B选项正确.
C选项，，C选项错误.
D选项，，D选项正确.
故选：BD
32．BD
【分析】根据根式的定义与分数指数幂的定义、运算法则判断．
【详解】，故A错；
，故B正确；
与不同，故C错；
，故D正确.
故选：BD.
33．BD
【分析】根据指数运算公式直接计算即可.
【详解】A选项：，A选项错误；
B选项：，B选项正确；
C选项：，C选项错误；
D选项：，D选项正确；
故选：BD.
34．AC
【分析】利用指数幂和根式的运算进行化简，即可判断.
【详解】解：由于，，则，故A正确；
，故B不正确；
，故C正确；
已知，则，所以，故D不正确.
故选：AC.
35．194
【分析】将平方可得，再将该式平方可得答案.
【详解】由得，即，
故，所以，则，
即，
故答案为：194.
36．110
【分析】由指数的运算性质求解
【详解】原式，
故答案为：110
37．
【分析】由题知，再根据立方和公式分解因式求解即可.
【详解】解：因为，所以，即
所以，
故答案为：
38．
【分析】根据平方差公式即可求解.
【详解】由知：为非负数，
∵，
∴
故答案为：
39．
【分析】利用分母有理化化简即得解.
【详解】解：原式
=.
故答案为：.
40．21
【分析】根据已知分析出x＋y＝19，得到＋＝0，再利用非负数的性质求解.
【详解】解：由题意得：，
则，∴x＋y＝19，
∴＋＝0，
则3x＋5y−2−m＝0①，2x＋3y−m＝0②，
①−②得：x＋2y−2＝0，∵x＝19－y，∴y＝−17，∴x＝36，
∴，∴m＝21．
故答案为：21．
41．(1)
(2)
【分析】（1）将根式化为分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得；
（2）根据幂的运算法则计算可得.
（1）
解：；
（2）
解：


．
42．（1），（2）
【分析】根据指数幂的运算性质进行计算即可．
【详解】（1）；
（2）.
43．(1)，
(2)答案见解析
(3)，，，，，，
【分析】（1）令，，求出的值即可．
（2）利用零点分段法分类讨论，分别计算可得．
（3）利用零点分段法分类讨论，分别计算可得．
（1）
解：可令和，
解得和，∴，分别为和的零点值．
（2）
解：
当时，
，
原式
当时，
，
原式
当时，
，，
原式
（3）
解：当时，
∴，
∴方程左边；
当时，∴，
∴方程左边；
当时，∴，，
∴方程左边，
∴，
∴整数解为：，，，，，，．
44．(1)
(2)
【分析】（1）将带分数化为假分数，将负指数幂化为正指数幂，再根据幂的运算法则计算可得；
（2）将根式化为分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得.
（1）
解：
=
．
（2）
解：
．
【点睛】指数幂运算的基本原则：①化负指数为正指数；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数；④化带分数为假分数；⑤底数是负数的先确定符号．
45．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求得，结合平方差公式求得正确答案.
（2）结合指数运算求得正确答案.
（3）结合指数运算以及立方和公式求得正确答案.
（1）
因为，且，所以.
.
（2）
.
（3）
.
46．(1)
(2)
【分析】（1）利用分数指数幂进行计算；
（2）利用已知条件进行化简.
（1）
原式
（2）
因为，故原式
47．(1)；
(2)；
(3)；
(4)
(5)
【分析】（1）（2）（5）利用幂的运算性质直接求解；（3）先把根式化为幂的结构，再利用幂的运算性质求解；（4）先把负指数幂化为分式，通分约分即可.
(1)
.
(2)
.
(3)
.
(4)
(5)
48．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】利用分数指数幂的定义将根式化为分数指数幂
(1)
(2)
(3)
(4)
由于，即，故
(5)
(6)