高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.2 函数的基本性质课后复习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.2 函数的基本性质课后复习题，共35页。
重难点：奇偶性的概念
考点一：函数奇偶性的几何特征
一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．
知识点二 函数奇偶性的定义
1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
知识点三 奇(偶)函数的定义域特征
奇(偶)函数的定义域关于原点对称．
重难点：奇偶性的应用
考点四：用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
考点五：奇偶性与单调性
若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
【题型归纳】
题型一：函数奇偶函数的判断
1．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（ ）
A．奇函数的图象关于原点对称，且
B．偶函数的图象关于y轴对称，且
C．存在既是奇函数又是偶函数的函数
D．奇､偶函数的定义域可以不关于原点对称
2．（2022·全国·高一课时练习）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
3．（2022·全国·高一单元测试）判断下列函数的奇偶性．
(1)；(2)；
(3)；(4)．
题型二：利用奇偶性求函数的解析式
4．（2022·江苏·高一单元测试）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高一课时练习）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·江苏·高一单元测试）已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求时，函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
题型三：抽象函数的奇偶性问题
7．（2022·浙江丽水·高一期末）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·四川雅安·高一期末）若和都是定义在上的奇函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
9．（2021·陕西·西工大附中分校高一期中）若定义在上的函数满足：对于任意的、，恒有，则函数为（ ）
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．无法判断奇偶性
题型四：奇偶性函数的应用
10．（2022·全国·高一单元测试）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·全国·高一单元测试）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022·全国·高一单元测试）设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
题型五：函数的奇偶性与单调性解综合问题
13．（2022·黑龙江·肇州县第二中学高一阶段练习）已知是奇函数，且.
(1)求实数的值．
(2)判断函数在上的单调性，并加以证明．
(3)求的最大值．
14．（2022·江苏·高一单元测试）已知函数.
(1)若，判断的奇偶性并加以证明.
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
15．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知函数．
(1)若，判断的奇偶性并加以证明．
(2)当时，先用定义法证明函数f（x）在[1，）上单调递增，再求函数在[1，）上的最小值．
(3)若对任意恒成立，求实数a的取值范围．
【双基达标】
一、单选题
16．（2022·全国·高一课时练习）若函数f（x）＝xln（x）为偶函数，则a的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．1或﹣1
17．（2022·全国·高一课时练习）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．若，．则函数的最小值为
B．若，，则函数的单调递增区间
C．若，，则函数是单调函数
D．若，，则函数是奇函数
18．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数 的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
19．（2022·全国·高一专题练习）定义在上的偶函数满足：对任意的有则（ ）
A．B．
C．D．
20．（2022·全国·高一单元测试）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
21．（2022·全国·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性：
（1）；（2）；
（3）；（4）.
22．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数，
(1)若在上是奇函数，求的值；
(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；
(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）
【高分突破】
23．（2022·全国·高一课时练习）已知是R上的奇函数，且，当，，且时，，则当时，不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
24．（2022·全国·高一课时练习）已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
25．（2022·全国·高一单元测试）已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
26．（2022·全国·高一单元测试）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
27．（2022·全国·高一课时练习）已知定义在R上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
28．（2022·全国·高一课时练习）已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为上的奇函数B．为上的奇函数
C．为上的偶函数D．为上的偶函数
29．（2022·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
30．（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数的定义域为，是奇函数，则使得成立的充分条件是（ ）
A．在上单调B．为偶函数
C．为偶函数D．
31．（2022·江苏·高一单元测试）下列说法不正确的是（ ）
A．函数在定义域内是减函数
B．若是奇函数，则一定有
C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是
D．若的定义域为，则的定义域为
32．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，均为定义在上的奇函数，且，，则（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是偶函数D．是偶函数
33．（2022·全国·高一专题练习）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为奇函数
C．在区间上有最大值
D．的解集为
34．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，下列判断正确的是（ ）
A．是偶函数
B．若，则当时，取得最小值
C．当时，的值域是
D．当时，在上单调递增
35．（2022·全国·高一单元测试）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．，，使得
三、填空题
36．（2022·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为R，且为奇函数，其图象关于直线对称．当时，，则____.
37．（2022·江苏·高一单元测试）若为奇函数，则__________．
38．（2022·全国·高一专题练习）奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为__________.
39．（2022·全国·高一单元测试）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意，，且，有，则的最小值为______．
40．（2022·全国·高一单元测试）设函数的定义域为R，则下列命题：
①若是偶函数，则的图像关于轴对称；
②若是偶函数，则的图像关于直线对称；
③若，则函数的图像关于直线对称；
④与的图像关于直线对称．
其中正确命题的序号为________．
四、解答题
41．（2022·重庆·巫山县官渡中学高一阶段练习）已知函数．
(1)证明函数为奇函数；
(2)若，求函数的最大值和最小值．
42．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式：.
43．（2022·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)若函数为偶函数，求实数的值；
(2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；
(3)求函数在区间上的最小值．
44．（2022·全国·高一课时练习）已知函数在区间上的最小值为．
（1）求函数的解析式．
（2）定义在上的函数为偶函数，且当时，．若，求实数的取值范围．
45．（2022·湖南·湘阴县教育科学研究室高一期末） 已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围．
46．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是奇函数，且.
(1)求实数的值；
(2)用函数单调性的定义证明：在上单调递增；
(3)当时，解关于的不等式：.
【答案详解】
1．C
【分析】根据奇偶性的定义判断．
【详解】奇函数的图象关于原点对称，但不一定在x=0时有意义，比如，A错误；
偶函数的图象关于y轴对称，但不一定等于0，如，B错误；
函数y=0既是奇函数又是偶函数，C正确；
奇､偶数的定义域均是关于原点对称的区间，D错误.
故选：C.
2．C
【分析】由奇函数和偶函数的定义依次判断即可.
【详解】A选项：设，，则为偶函数，A错误；
B选项：设，则，与关系不定，即不确定的奇偶性，B错误；
C选项：设，则，则为奇函数，C正确；
D选项：设，则，则为偶函数，D错误．
故选：C.
3．(1)奇函数
(2)既不是奇函数也不是偶函数
(3)既是奇函数又是偶函数
(4)偶函数
【分析】由奇偶性的定义对各个题一一判断即可得出答案.
（1）
的定义域是，关于原点对称，
又，所以是奇函数．
（2）
因为的定义域为，不关于原点对称，
所以既不是奇函数也不是偶函数．
（3）
因为的定义域为，所以，
则既是奇函数又是偶函数．
（4）
方法一（定义法） 因为函数的定义域为R，所以函数的定义域关于原点对称．
①当x＞1时，，所以；
②当时，；
③当时，，所以．
综上，可知函数为偶函数．
方法二（图象法） 作出函数的图象，如图所示，易知函数为偶函数．
4．D
【分析】根据奇函数及得出，把转化为，根据所给解析式可求结果.
【详解】因为函数是奇函数，所以，
因为，所以，
当时，；
因为当时，，所以
所以.
故选：D.
5．A
【分析】根据奇函数性质即可解决此类问题.
【详解】∵函数是奇函数，∴，
∵时，，
设时，则，∴，∴，
即时，.
故选：A.
6．(1)；
(2).
【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解；
（2）作函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于的不等式组求解.
（1）
设，则，所以
又为奇函数，所以，
所以当时，.
（2）
作函数的图像如图所示，
要使在上单调递增，结合的图象知，所以，
所以的取值范围是.
7．D
【分析】根据函数的奇偶性推得，然后采用赋值法可得到，进而求得，说明D正确，再举一例，求值可说明A,B,C错误.
【详解】因为函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，
所以 ，
即，
故令 ，则，
所以，
令，则，故D正确；
取函数，则，
故满足是定义域为的偶函数，且为奇函数，
而， ，
说明A,B,C错误，
故选：D.
8．A
【分析】根据题意可知是周期为的周期函数，以及，，由此即可求出结果.
【详解】因为和都是定义在上的奇函数，
所以，，
所以，所以，
所以是周期为的周期函数，
所以
因为是定义在上的奇函数，
所以，
又是定义在上的奇函数，所以，所以，即，
所以.
故选：A.
9．A
【分析】分析可得，令可求得，令，结合函数奇偶性的定义可得出结论.
【详解】因为，，
所以，，则，
函数的定义域为，令，可得，所以，，
令，则，所以，，
故函数为奇函数.
故选：A.
10．D
【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．
【详解】因为对任意的，有，
所以当时，，
所以在上是减函数，
又是偶函数，所以，，
因为，所以，
即．
故选：D．
11．D
【分析】推导出函数是周期函数，且周期为，以及函数在区间上为增函数，利用函数的周期性和单调性可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知，故函数是周期函数，且周期为，
则，，，
因为奇函数在区间上是增函数，则该函数在区间上也为增函数，
故函数在区间上为增函数，所以，即.
故选：D.
12．B
【分析】利用函数的奇偶性及单调性可得，进而即得.
【详解】因为为定义在上的偶函数，在上为增函数，
由可得，
∴，
解得.
故选：B.
13．(1)，；
(2)在上为减函数，证明见解析；
(3)．
【分析】（1）由函数奇偶性的定义即可求解；
（2）利用单调性的定义即可证明；
（3）根据奇偶性与单调性即可求解.
（1）
是奇函数，．
，，，
又，
解得：.
所以.
（2）
在上为减函数，
证明如下：由（1）知，
令，则的单调性和的单调性相反，
设，
则，
，，，
，即，
在上为增函数，
则在上为减函数；
（3）
由（1）（2）结合计算可知：
在上递减，在上递增，
在上递增，在上递减．
又当时，，且，
．
14．(1)为奇函数，证明过程见解析；
(2)
【分析】（1）分与两种情况，先求定义域，再利用函数奇偶性的定义判断；
（2）参变分离，整理为恒成立问题，求出的最大值，从而求出实数的取值范围.
（1）
，
当时，，定义域为R，此时，
所以为奇函数，
当时，定义域为，且，
所以为奇函数，
综上：为奇函数.
（2）
,
即，在上恒成立，
整理为在上恒成立，
令，
当时，，
所以，
故实数的取值范围为.
15．(1)奇函数；证明见解析
(2)证明见解析；最小值为
(3)
【分析】（1）证得，即可得到为奇函数.
（2）将代入，由定义法证明在[1，）上的单调性即可，再由单调性即可求得最小值.
（3）首先参变分离，然后将题目转化为大于函数在上的最大值即可.
（1）
因为，
定义域为关于原点对称，
且，
所以为奇函数.
（2）
当时，，
且，有．
所以，函数在上单调递增，
函数在上的最小值为．
（3）
若对任意恒成立，
则，
所以，问题转化为大于函数在上的最大值．
且函数在上单调递减，
所以最大值为，
故实数的取值范围是
16．B
【分析】由f（x）＝xln（x）为偶函数，则设g（x）＝ln（x）是奇函数，由g（0）＝0，可求出答案.
【详解】解：∵函数f（x）＝xln（x）为偶函数，x∈R，
∴设g（x）＝ln（x）是奇函数，
则g（0）＝0，
即ln0，则1，则a＝1．
故选：B．
17．D
【分析】A选项，举出反例；B选项，单调区间不能用；C选项，函数在，上分别单调递增，但在定义域上不单调；D选项，根据奇函数定义可得到是奇函数.
【详解】对于A，若，，则当时，，故A中说法错误；
对于B，的单调递增区间应为，，故B中说法错误；
对于C，的定义域为，
当，时，在，上分别单调递增，
但在定义域上不单调，故C中说法错误；
对于D，的定义域为，关于原点对称，
且，
故是奇函数，故D中说法正确，
故选：D．
18．B
【分析】利用函数的奇偶性和函数值的正负即可判断.
【详解】因为，所以，为奇函数，所以C错误；
当时，，所以A，D错误，B正确.
故选：B.
19．A
【分析】由题意可知在递减，结合偶函数，即可得到结果.
【详解】因为满足，对任意的有，
所以在上单调递减
且为偶函数，则
由可得，即
故选:A
20．A
【分析】根据函数解析式和奇偶性可确定的单调性，结合可得自变量的大小关系，由此可解不等式求得结果.
【详解】当时，，在上单调递增；
又是定义在上的偶函数，在上单调递减；
，由得：，则，解得：，
的解集为.
故选：A.
21．（1）奇函数
（2）既不是奇函数也不是偶函数
（3）既是奇函数又是偶函数
（4）奇函数
【分析】根据函数奇偶性的概念，逐问判断即可.
【详解】（1）由，得，且，
所以的定义域为，关于原点对称，
所以.
又，所以是奇函数.
（2）因为的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数.
（3）对于函数，，其定义域为，关于原点对称.
因为对定义域内的每一个，都有，所以，，
所以既是奇函数又是偶函数.
（4）函数的定义域为，定义域关于原点对称.
①当时，，
所以，，所以；
②当时，，所以；
③当时，，所以.
综上，可知函数为奇函数.
22．B
【分析】根据区间单调性、对称性及奇函数性质，判断目标区间的单调性、函数值符号，进而求不等式的解集.
【详解】由题意，在上单调递增，又是R上的奇函数，
∴，且在上单调递增，
∴当时，，当时，．
∵，
∴的图象关于直线x＝1对称，
∴，且在上单调递减，
∴在上单调递减，且．
∴当时，不等式的解集为.
故选：B
23．(1)0
(2)最大值8，最小值0
(3)
【分析】(1)根据奇函数的性质求的值；
(2)化简函数解析式，结合二次函数性质求其最值；
(3)化简函数解析式，结合函数图象确定的取值范围.
（1）
因为在上是奇函数，
所以恒成立，即恒成立.
所以恒成立，
所以.
（2）
当时，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的值得范围为，其中时，，
函数在上单调递增，
所以函数在上的值域为，其中当时，；
所以当时，，当时，.
（3）
因为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在上单调递增，
当时，
当时，令，可得
因为当，时，函数既有最大值又有最小值，
所以.
24．B
【分析】根据题意，可知函数的对称性，并明确其对称轴，根据二次函数的图象性质，可得答案.
【详解】由，得函数图象的对称轴是直线，
又二次函数图象开口向上，若在区间上单调递减，
则，解得．
故选：B.
25．C
【分析】构造函数，利用函数的奇偶性、单调性解不等式.
【详解】令，因为函数是定义在R上的偶函数，
所以，即是定义在R上奇函数．
又，，且，都有成立，
所以在上单调递减，又是定义在R上奇函数，所以在R上单调递减，
所以，即，
所以，解得．故A，B，D错误.
故选：C．
26．D
【分析】求定义域，确定奇偶性后排除两个选项，再由单调性排除一个，得正确结论．
【详解】的定义域是，关于原点对称，，所以是偶函数，排除B，C；当时，，易知在上是增函数，排除A．
故选：D．
27．C
【分析】先由奇函数得到上单调递减且，再由单调性解不等式即可求得的取值范围.
【详解】由题意知，在上单调递减且；由可得或，
则或，解得或.
故选：C.
28．D
【分析】利用函数的奇偶性定义逐项判断可得答案.
【详解】因为为上的奇函数，为上的偶函数，
所以，，
对于A， ，设，则，故错误；
对于B， ，设，则，故错误；
对于C， ，，设，，故错误；
对于D，， 设， ，所以为偶函数，故正确.
故选：D.
29．D
【分析】根据题意可得在区间上单调递减，构造，可得为偶函数且在上递增，在上递减，且，即可求解.
【详解】解：由题可知，在区间上单调递减，
又为奇函数，则，且，故，
设，则，故为偶函数，
又在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，所以的解集为，
即的解集为.
故选：D.
30．BD
【分析】利用奇函数的定义，求出关于点对称，得到，利用充分条件的定义结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及恒等式，运用赋值法对四个选项逐一分析判断即可.
【详解】函数的定义域为，是奇函数，则，
所以，故函数关于中心对称，所以，
对于A，在上单调，由不能确定，故错误；
对于B，为偶函数，又，所以，故正确；
对于C，为偶函数，则，可知函数关于轴对称，不能确定，故错误；
对于D，因为关于成中心对称，所以，令则，因为，令，则，解得，令则，解得，
令，则，综上可得，
所以是使得成立的充分条件.
故选：BD
31．ABC
【分析】A选项，单调区间不能用号连接，即在定义域不是单调递减函数，A错误；
B选项，可举出反例；
C选项，分段函数单调递增，则在每段上函数均单调递增，且在端点处，左边函数值小于等于右边函数的值；
D选项，利用抽象函数求定义域的方法进行求解.
【详解】函数在和上都是减函数，但在定义域上不是减函数，故A不正确；
当是奇函数时，可能无意义，比如，故B不正确；
因为是增函数，所以，解得，故C不正确；
因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故D正确.
故选：ABC.
32．ABC
【分析】根据题意，函数，均为定义在上的奇函数，利用奇偶函数的定义，可以依次判断ABC正确，可以证明D是奇函数，故D错误.
【详解】因为函数，均为定义在上的奇函数，所以，，
对于A选项，设，则，所以为奇函数，故A正确；
对于B选项，设，则，所以为奇函数，故B正确；
对于C选项，设，则，
所以为偶函数，故C正确；
对于D选项，设，则，所以是奇函数，故D错误.
故选：ABC.
33．ABD
【分析】令可判断A选项；令，可得，得到可判断B选项；任取，x2∈R，且，则，，
根据单调性的定义得到函数在R上的单调性，可判断C选项；由可得，结合函数在R上的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，在中，令，可得，解得，A选项正确；
对于B选项，由于函数的定义域为R，在中，令，可得，所以，则函数为奇函数，B选项正确；
对于C选项，任取，x2∈R，且，则，，
所以，所以，则函数在R上为减函数，所以在区间上有最小值，C选项错误；
对于D选项，由可得，又函数在R上为减函数，则，整理得，解得，D选项正确.
故选：ABD．
34．ACD
【分析】由奇偶性定义判断A，由基本不等式判断BC，按分类讨论判断D．
【详解】，则定义域为，且，即，故函数为偶函数，故A正确；
当时，，当且仅当时取到等号，故的值域是，故B不正确，C正确．
当时，，当时，，在上单调递增；当时，时，，设，则，，
，，单调递增；当，时，，
首先在上单调递增，又由得（负值舍去），因此时，，
所以 是增函数，综上所述，当时，在上单调递增，故D正确．
故选：ACD．
35．BCD
【分析】根据函数的单调性和奇偶性依次判断选项即可.
【详解】对选项A，由条件①得是偶函数，由条件②得在上单调递增，
所以，故A错误；
对选项B，若，则，得，故B正确；
对选项C，若，则或，
因为，所以或，故C正确；
对选项D，因为定义在上的偶函数的图象是连续不断的，
且在上单调递增，
所以，所以只需即可，故D正确．
故选：BCD．
36．4
【分析】先由对称性和奇偶性求得函数的周期，再利用函数的周期结合函数在上的解析式求值即可.
【详解】∵的图象关于直线对称，∴，又为奇函数，∴，故，
则，∴函数的周期，又∵，∴.
故答案为：4.
37．
【分析】由奇函数的性质可得出，求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可.
【详解】因为函数的定义域为，且函数为奇函数，则，解得，
此时，则，
即函数为奇函数，合乎题意.
因此，.
故答案为：.
38．或
【分析】利用奇函数的性质将不等式转化为，进而得到或，再利用函数的单调性即可求解.
【详解】因为为奇函数，且在上是增函数，，
所以，且在上也是增函数，
因为，
即或，∴或，即或，所所以不等式的解集为或.
故答案为：或.
39．
【分析】首先利用函数是奇函数，不等式变形为，判断函数的单调性，再根据函数的最大值求函数的最小值.
【详解】∵是定义在上的奇函数，
∴对任意，，，且，等价于，
∴在上单调递增．
∵，∴．
故答案为：
40．②④
【分析】利用函数的奇偶性、对称性和平移变换分析各命题即可.
【详解】若是偶函数，则，
所以的图象关于对称，①错误，②正确；
，令即，所以是偶函数，
图象关于轴对称，③错误；
是将的图象向右平移2个单位而得，
是将的图象沿轴对称后再向右平移2个单位而得，
因此与的图象关于对称，④正确.
故答案为：②④
41．(1)证明见解析
(2)最小值；最大值
【分析】（1）先判断函数定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性的定义进行判断；
（2）先利用定义法判断函数的单调性，进而求出区间上的最值.
（1）
证明：的定义域为，关于原点对称，
，
所以在定义域上为奇函数；
（2）
（2）在上任取，且，
则
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴在上单调递增，
∴最小值为，最大值为
42．(1)；
(2)函数在上单调递增，证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式；
（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；
（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
（1）
解：因为函数是定义在上的奇函数，则，
即，可得，则，
所以，，则，因此，.
（2）
证明：函数在上是增函数，证明如下：
任取、且，则
，
因为，则，，故，即.
因此，函数在上是增函数.
（3）
解：因为函数是上的奇函数且为增函数，
由得，
由已知可得，解得.
因此，不等式的解集为.
43．(1)－1
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义求解；
（2）由二次函数的对称轴与区间的关系求解；
（3）根据对称轴与区间的关系分类讨论求得最小值．
（1）
因为定义在上的函数为偶函数，
所以，都有成立，即，都有成立，解得．
（2）
因为函数图象的对称轴为，
所以要使函数在上具有单调性，
则，或，即或，
则的取值范围为．
（3）
①若函数在上单调递减，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
②若函数在上单调递增，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
③若函数在上不单调，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
综上所述，函数在区间上的最小值为.
44．（1）；（2）
【分析】（1）将二次函数配方，按对称轴在定义域内和不在定义域内两种情况，分别求出函数的最小值，可得函数的解析式；
（2）由已知得出的解析式，利用函数的单调性和偶函数，列不等式解出实数的取值范围．
【详解】（1）因为，
所以当时，，此时；
当时，，此时函数在区间上单调递减，
所以．综上，
（2）因为时，，所以当时，，易知函数在上单调递减，因为定义在上的函数为偶函数，且，所以，解得或，所以实数t的取值范围为．
45．(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质可求得b的值，验证符合题意，即可得答案;
（2）求得，确定其为增函数，且，从而将恒成立，转化为在上恒成立，构造函数，求得其最值，即可得答案.
（1）
∵函数的定义域为，且为奇函数，
∴，解得,
经验证：为奇函数，符合题意，
故；
（2）
∵，∴在上单调递增，且．
∵，则，
又函数在上单调递增，则在上恒成立，
∴在上恒成立，设，
令，则，函数在上递减，在上递增，
当时， ，当时， ，
故，则 ，
∴实数的取值范围为．
46．(1)，，
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）由题意可得，求出，再由可求出，
（2）任取，且，然后求，化简变形可得结论，
（3）由（2）可知在上单调递增，所以原不等式可化为，解不等式可得结果
（1）
因为函数是奇函数，
所以，即，
，
所以，解得，
所以，
因为，
所以，解得，
（2）
证明：由（1）可知
任取，且，则
，
因为，且，
所以，，
所以，即，
所以在上单调递增；
（3）
当时，，
由（2）可知在上单调递增，
因为，
所以，即，解得（舍去），或，
所以不等式的解集为