人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式综合训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式综合训练题，共36页。

题型一：基本不等式求积的最大值
1．（2022·河南开封·高一期末）已知，都是正数，则下列命题为真命题的是（ ）
A．如果积等于定值，那么当时，和有最大值
B．如果和等于定值，那么当时，积有最小值
C．如果积等于定值，那么当时，和有最小值
D．如果和等于定值，那么当时，积有最大值
2．（2022·江苏·高一）当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）若则的最大值是（ ）
A．4B．1C．D．不存在
题型二：基本不等式求和的最小值
4．（2022·新疆喀什·高一期末）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值0B．有最小值为0
C．有最大值为－4D．有最小值为－4
5．（2022·江西·高一期中）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．B．2C．9D．4
6．（2022·黑龙江·鹤岗一中高一期中）在△ABC中，点M是上一点，且，P为上一点，向量，则的最小值为（ ）
A．16B．12C．8D．4
题型三：二次的商式的最值
7．（2021·河北邢台·高一阶段练习）若，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．（2020·安徽·芜湖一中高一阶段练习）已知，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值3D．最小值3
9．（2021·江苏·常州市第一中学高一期末）若，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
题型四：基本不等式1的妙用
10．（2022·山西·太原五中高一阶段练习）若一组数据2，4，6，8的中位数、方差分别为，，且，则的最小值为（ ）
A．10B．C．D．20
11．（2022·安徽·高一期中）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）已知都是正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．3
题型五：条件等式求最值
13．（2022·湖北十堰·高一期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．9B．16C．49D．81
14．（2021·江苏·高一专题练习）已知实数满足，且，则的值最小时，实数（ ）
A．B．
C．D．1
15．（2021·江苏·高一专题练习）已知，则的最小值是（ ）
A．14B．C．8D．
题型六：基本不等式的恒成立问题
16．（2022·河南·虞城县高级中学高一期末）若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
17．（2021·江苏·高一专题练习）若正实数满足，且不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
18．（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）已知正实数a，b满足，若不等式对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型七：对勾函数求最值
19．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）下列说法正确的为（ ）
A．
B．函数的最小值为4
C．若则最大值为1
D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8
20．（2021·海南·儋州川绵中学高一阶段练习）下列关于基本不等式的说法正确的是（ ）
A．若，则的最大值为
B．函数的最小值为2
C．已知，则的最小值为
D．若正数满足，则的最小值是3
21．（2021·河南·高一期中）下列函数中，最小值是的是（ ）
A．B．
C．D．
题型八：基本不等式的实际应用
22．（2022·河南郑州·高一期中）在△ABC中，D为边AC上的一点，且，P为边BD上的一点，且满足（、），则下列结论正确的（ ）
A．m＋n＝1
B．mn的最大值为
C．上的最小值为7
D．的最小值为
23．（2022·浙江省乐清中学高一开学考试）已知实数，则的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
24．（2022·广东·珠海市斗门区第一中学高一期中）如下图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ）
A．2B．0C．1D．2
【专题突破】
一、单选题
25．（2021·江苏·高一专题练习）若，则“”是 “”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
26．（2022·江苏·高一）若，且，则下列不等式中，恒成立的是
A．B．C．D．
27．（2021·天津市军粮城中学高一阶段练习）若函数在处取最小值，则等于（ ）
A．3B．C．D．4
28．（2021·全国·高一课时练习）若实数满足，则的最小值为
A．B．2C．D．4
29．（2021·安徽合肥·高一期末）已知 ，且，则的最小值为
A．B．C．D．
30．（2022·江西·新余市第一中学高一期末）已知，则的最小值为（ ）.
A．9B．C．5D．
31．（2021·全国·高一专题练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．11D．
32．（2021·河北·石家庄市第二十七中学高一期中）若直线过点，则的最小值等于
A．2B．3C．4D．5
33．（2021·浙江·高一期中）若实数，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
34．（2021·全国·高一专题练习）已知实数，且，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
35．（2021·全国·高一单元测试）已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
36．（2022·甘肃·张掖市第二中学高一期末）已知两个正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．8D．3
二、多选题
37．（2021·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高一期中）若正实数a，b满足则下列说法正确的是（ ）
A．ab有最大值 B．有最大值
C．有最小值2D．有最大值
38．（2021·江苏·高一专题练习）设，且，那么（ ）
A．有最小值B．有最大值
C．ab有最大值.D．ab有最小值.
39．（2021·江苏·高一专题练习）（多选）已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
40．（2022·河北·武安市第一中学高一期末）设正实数a，b满足，则（ ）
A．有最小值4B．有最大值
C．有最大值D．有最小值
41．（2021·江苏·高一专题练习）若x＞1，y＞2，且满足xy﹣2x＝y，则的值可以为（ ）
A．B．3C．4D．
42．（2021·江苏·楚州中学高一期中）设正实数满足，则下列说法正确的是
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最小值为2D．的最小值为2
43．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一期末）设，，给出下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
44．（2021·吉林·东北师大附中高一阶段练习）给出下面四个推断，其中正确的为（ ）.
A．若，则B．若，则；
C．若，，则D．若，，则
45．（2021·江苏·高一专题练习）下列关于基本不等式的说法正确的是（ ）
A．若，则的最大值为
B．函数的最小值为2
C．已知，，，则的最小值为
D．若正数x，y满足，则的最小值是3
三、填空题
46．（2021·江苏·高一专题练习）已知，且，则的最小值为_________．
47．（2021·江苏·高一专题练习）设，则的最小值为______.
48．（2022·江苏·高一）若，则的最小值为____________．
49．（2022·全国·高一）设,则的最大值为 ________．
50．（2021·广东北江实验学校高一阶段练习）设，，若，则的最小值为__________．
51．（2020·重庆·西南大学附中高一期末）已知为正实数，则的最小值为_________.
四、解答题
52．（2021·广东·江门市广雅中学高一阶段练习）已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值；
已知，，，求xy的最大值，并求取到最大值时x、y的值．
53．（2022·江苏·高一）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ac；（Ⅱ）.
54．（2022·江苏·高一）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y.
（Ⅰ）将y表示为x的函数；
（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
55．（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）（1）已知，求的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值．
56．（2022·江苏·高一单元测试）（1）已知，则取得最大值时的值为？
（2）已知，则的最大值为？
（3）函数 的最小值为？
57．（2021·全国·高一专题练习）解答下列各题．
（1）若，求的最小值．
（2）若正数，满足，求的最小值．
（3）若正数，满足，求的取值范围．
参考答案：
1．D
【详解】
由题意知，，
A：，则，当且仅当时取到等号，
所以有最小值，故A错误；
B：，则，当且仅当时取到等号，
所以有最大值，故B错误；
C：，则，当且仅当时取到等号，
所以有最小值，故C错误；
D：，则，有，当且仅当时取到等号，
所以有最大值，故D正确；
故选：D
2．B
【解析】
【分析】
利用基本不等式直接求解.
【详解】
，，又
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为
故选：B
3．A
【详解】
解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号；
故选：A
4．B
【解析】
【分析】
由均值不等式可得，分析即得解
【详解】
由题意，，由均值不等式
，当且仅当，即时等号成立
故，有最小值0
故选：B
5．A
【解析】
【分析】
利用基本不等式可求解.
【详解】
由题意可得．因为，，所以，则，
当且仅当，时，等号成立．
故选：A
6．B
【解析】
【分析】
由三点共线及平面向量基本定理得的关系，然后结合基本不等式得最小值．
【详解】
因为，所以，
又三点共线，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立．所以的最小值为．
故选：B
7．B
【解析】
【分析】
将所求的代数式整理为，再利用基本不等式即可求解.
【详解】
因为，所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：B.
8．D
【解析】
先将解析式化为，根据基本不等式，即可求出最值.
【详解】
因为，
，
当且仅当，即时，等号成立，
即有最小值3.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查由基本不等式求函数的最值，属于基础题型.
9．D
【解析】
【分析】
构造基本不等式即可得结果.
【详解】
∵，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题.
10．D
【解析】
【分析】
求出，再利用基本不等式求解.
【详解】
解：由题意得
所以.
所以，
(当且仅当时取等号)
故选：D.
11．B
【解析】
【分析】
整理可得，根据基本不等式“1”的活用，计算即可得答案.
【详解】
由可得，
所以，
因为，所以
所以
当且仅当即取等号，
故选：B
12．C
【解析】
【分析】
利用基本不等式中“1”的妙用，令，即可求解.
【详解】
由题意知，，，
则
，
当且仅当时，取最小值.
故选：C．
13．D
【解析】
【分析】
由基本不等式结合一元二次不等式的解法得出最小值.
【详解】
由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．
故选：D
14．A
【解析】
【分析】
利用换元法,设，即，故，然后利用基本不等式求最值即可．
【详解】
设，解得 ，
所以 ，即，
设，
则，即，
当且仅当，即时取等号，
即，
则的值最小时，实数，
故选:．
15．A
【解析】
【分析】
根据给定条件，用含x的式子表示，再运用基本不等式求解作答.
【详解】
因为，则，
于是得，
当且仅当，即时取“=”，
所以当时，取最小值14.
故选：A
16．D
【解析】
【分析】
分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.
【详解】
由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.
所以，即实数a的最小值为.
故选：D.
17．B
【解析】
【分析】
原不等式恒成立可化为恒成立，由基本不等式结合不等式的解法可得，故只需恒成立，解关于a的不等式可得．
【详解】
正实数x，y满足，可得，
不等式恒成立，
即恒成立，
变形可得恒成立，
即恒成立，
，，，当且仅当时等号成立，
，即，
解不等式可得，或舍
可得，要使恒成立，只需恒成立，
化简可得，即，解得或，
故实数a的取值范围是
故选：B．
18．D
【解析】
【分析】
利用基本不等式求出的最小值16，分离参数即可.
【详解】
因为，，，
所以，当且仅当，即，时取等号．
由题意，得，即对任意的实数x恒成立，又，所以，即．
故选：D．
19．C
【解析】
【分析】
利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.
【详解】
对于选项,只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则不正确；
对于选项,，令，
即在上单调递增，则最小值为,
则不正确；
对于选项,，则正确；
对于选项,当时，，当且仅当
时，即，等号成立，则不正确.
故选：.
20．A
【解析】
【分析】
根据基本不等式求出最值即可判断.
【详解】
对A，若，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故A正确；
对B，因为，所以，
所以，
当且仅当，即等号成立，故函数最小值为3，故B错误；
对C，因为，
所以，
当且仅当，即等号成立，故的最小值为2，故C错误；
对D，由可得，因为，可得，
则，当且仅当，即等号成立，
所以的最小值是4，故D错误.
故选：A.
21．B
【解析】
【分析】
应用特殊值及基本不等式判断各选项的最小值是否为即可.
【详解】
A：当取负数，显然函数值小于，不符合；
B：由基本不等式得：(当且仅当时取等号)，符合；
C：当时，，不符合；
D：同A，当取负数，显然函数值小于，不符合；
故选：B.
22．D
【解析】
【分析】
由于P为边BD上的一点，则可得，再由，可得，再结合，可求出的关系，然后根据基本不等式逐个分析判断即可
【详解】
因为P为边BD上的一点，所以，
因为，
所以，
因为，
所以，得，所以A错误，
对于B，因为、，，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为，所以B错误，
对于C，因为、，，
所以，当且仅当时，取等号，所以的最小值为，所以C错误，
对于D， ，所以，所以当时，的最小值为，所以D正确，
故选：D
23．C
【解析】
【分析】
，化简后再利用基本不等式可求得其最小值
【详解】
因为，所以，
所以
，当且仅当，即时取等号，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是2，
故选：C
24．D
【解析】
【分析】
，再根据是的中点，可得，再由三点共线， 为定值，从而可由基本不等式求出结果
【详解】
因为是的中点，所以，
所以，
因为三点共线，且
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，
所以的最小值是，
故选：D
25．A
【解析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】
当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【点睛】
易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
26．D
【解析】
【详解】
试题分析：，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确．
考点：不等式的性质
27．A
【解析】
【分析】
将函数的解析式配凑为，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的值，可得出的值.
【详解】
当时，，则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，因此，，故选A.
【点睛】
本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.
28．C
【解析】
【详解】
，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.
考点：基本不等式
【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
29．C
【解析】
【分析】
运用乘1法，可得由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]•（）﹣1，化简整理再由基本不等式即可得到最小值．
【详解】
由x+y＝（x+1）+y﹣1
＝[（x+1）+y]•1﹣1
＝[（x+1）+y]•2（）﹣1
＝2（21
≥3+47．
当且仅当x，y＝4取得最小值7．
故选C．
【点睛】
本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．
30．B
【解析】
【分析】
首先将所给的不等式进行恒等变形，然后结合均值不等式即可求得其最小值，注意等号成立的条件.
【详解】
.
，且，
，
当且仅当，即时，取得最小值2.
的最小值为.
故选B.
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值的方法，代数式的变形技巧，属于中等题.
31．A
【解析】
【分析】
利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解．
【详解】
，，又，且，
，
当且仅当，解得，时等号成立，
故的最小值为9．
故选：A．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
32．C
【解析】
【详解】
试题分析：∵直线（，）过点，∴．则，当且仅当时取等号．故答案为C．
考点：基本不等式.
33．D
【解析】
【分析】
由条件变形，再结合基本不等式求最小值.
【详解】
由条件可知，，
所以
，
当，即，结合条件 ，
可知时，等号成立，所以的最小值为.
故选：D
34．B
【解析】
【分析】
构造，利用均值不等式即得解
【详解】
，
当且仅当，即，时等号成立
故选：B
【点睛】
本题考查了均值不等式在最值问题中的应用 ，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
35．B
【解析】
【分析】
把要求的式子变形为，再利用基本不等式求得它的最小值．
【详解】
已知，，，
则，
当且仅当 时，即当，且，等号成立，
故的最小值为，
故选：．
【点睛】
本题考查基本不等式的运用，考查常数代换法，注意最值取得的条件，考查运算能力，属于中档题．
36．A
【解析】
【分析】
根据题中条件，得到，展开后根据基本不等式，即可得出结果.
【详解】
因为正实数满足，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
37．AB
【解析】
对A,根据基本不等式求的最大值；
对B,对平方再利用基本不等式求最大值；
对C,根据再展开求解最小值；
对D,对平方再根据基本不等式求最值.
【详解】
对A,,当且仅当时取等号.故A正确.
对B, ,故,当且仅当时取等号.故B正确.
对C, .当且仅当时取等号.所以有最小值4.故C错误.
对D, ,即,故有最小值.故D错误.
故选：AB
【点睛】
本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中档题.
38．AD
【解析】
【分析】
直接利用基本不等式分别求出和ab的范围，对照四个选项进行判断.
【详解】
，，
，当时取等号，
，解得，
，
有最小值；
，当时取等号，
，
，
，解得，即，
有最小值．
故选：AD
39．AD
【解析】
【分析】
A选项，利用基本不等式和可得出该不等式的正误；B选项，将不等式左边展开，然后利用基本不等式可验证该选项中的不等式是否成立；C选项，利用基本不等式以及可验证该选项中的不等式是否成立；D选项，取特殊值验证该选项中的不等式是否成立.
【详解】
对于A，，当且仅当时等号同时成立；对于B，，当且仅当时取等号；
对于C，，当且仅当时取等号；
对于D，当，时，，，，
所以.
故选AD.
【点睛】
本题考查利用基本不等式验证不等式是否成立，再利用基本不等式时要注意条件“一正、二定、三相等”的成立，考查推理能力，属于中等题.
40．ACD
【解析】
【分析】
根据基本不等式结合不等式的性质判断．
【详解】
因为且，
所以，当且仅当时等号成立，即的最大值为，
，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D正确．
故选：ACD．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
41．CD
【解析】
【分析】
由条件化简得，则，根据不等式的最小值，判断满足的选项即可.
【详解】
由xy﹣2x＝y，知，
则
当且仅当，时，等号成立，
从选项可知，CD满足条件，
故选：CD
42．ABD
【解析】
【分析】
利用基本不等式性质和“乘1法”逐项排除，注意等号成立的条件.
【详解】
选项，正实数满足
，
当且仅当时，等号成立，故正确；
选项，由且得，
当且仅当时，等号成立，则，故正确；
选项，由且得，
则，故错误；
选项，，故正确.
故选：.
【点睛】
本题注意考查基本不等式的性质、“乘1法”.
43．ACD
【解析】
【分析】
选项A，B可用作差法比较大小；选项C，D可用基本不等式求范围.
【详解】
由可得，故A正确；
由可得，故B错误；
由，当且仅当时取等号，故C正确；
由，
当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：ACD.
44．AD
【解析】
【分析】
A.利用基本不等式判断；B.取特殊值判断； C. 取特殊值判断； D.利用作差法比较判断.
【详解】
A.因为，则，当且仅当，即 时，等号成立，故正确；
B.当时，满足，而，故错误；
C. 当时，，故错误；
D.因为，，则，所以，故正确；
故选：AD
45．AC
【解析】
【分析】
根据均值不等式求最值，注意验证等号成立的条件.
【详解】
因为，所以，，
当且仅当即时，等号成立 ，故A正确；
函数，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；
因为，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
由可得，，当且仅当，即时等号成立，故D错误.
故选：AC
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
46．4
【解析】
【分析】
根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】
，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点睛】
本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
47．
【解析】
【分析】
把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】
，
当且仅当，即时成立，
故所求的最小值为．
【点睛】
使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
48．
【解析】
【分析】
两次利用基本不等式即可求出.
【详解】
，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
49．
【解析】
【详解】
由两边同时加上
得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”），
从而有（当且仅当,即时，“=”成立）
故填：.
考点：基本不等式.
【名师点睛】
本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式转化为（a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.
50．16
【解析】
把乘以得到，后用均值定理
【详解】
解：，且且
∴
当且仅当取等号，
又，即，时取等号，故所求最小值为16．
故答案为：16
【点睛】
考查均值定理的应用，基础题
51．
【解析】
【分析】
化简题目所求表达式，然后利用基本不的等式求得最小值.
【详解】
原式，令，则上式变为，当且仅当时等号成立，故最小值为.
【点睛】
本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
52．当时，y的最小值为7． ，时，xy的最大值为6．
【解析】
【分析】
直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．
直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．
【详解】
已知，
则：，
故：，
当且仅当：，
解得：，
即：当时，y的最小值为7．
已知，，，
则：，
解得：，
即：，
解得：，时，xy的最大值为6．
【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
53．（Ⅰ）证明见解析；（II）证明见解析.
【解析】
【详解】
（Ⅰ）由，，得：
，
由题设得，
即，
所以，即.
（Ⅱ）因为，，，
所以，
即，
所以.
本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.
【考点定位】
本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
54．（Ⅰ）y=225x+
（Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值
试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m
则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+
（2）
．当且仅当225x=时，等号成立．
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
考点：函数模型的选择与应用
55．（1）7；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题设知，利用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件；
（2）利用基本不等式“1”的代换即可求最小值，注意等号成立条件.
【详解】
（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为.
56．（1）；（2）1；（3）
【解析】
【分析】
（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；
（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；
（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.
【详解】
（1），
当且仅当，即时，取等号.
故所求的值为.
（2）因为，所以，
则.
当且仅当，即时，取等号.
故的最大值为1.
（3）
.
当且仅当，即时，取等号.
故函数的最小值为.
57．（1）8；（2）18；（3）．
【解析】
【分析】
（1），然后利用基本不等式即可求解；
（2），然后利用基本不等式即可求解；
（3），解不等式即可求解．
【详解】
解：（1）因为，则，
，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为8；
（2）正数，满足，
则，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为18；
（3）正数，满足，
当且仅当时取等号，
解可得，即，
所以的取值范围为．