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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式精品课堂检测
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§2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
学习目标
1.了解基本不等式的证明过程.
2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.
知识点 基本不等式
1.基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立.
其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.
2.变形：ab≤()2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立.
a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立.
思考1 不等式≥ab和≥中等号成立的条件相同吗？
答案为：相同.都是当且仅当a＝b时等号成立.
思考2 “当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？
答案为：a＝b⇔＝ab；a＝b>0⇔＝.
1.若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2.( )
2.若a>0，b>0，则ab≤()2.( )
3.对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立.( )
4.若a≠0，则a＋≥2＝2.( )
一、对基本不等式的理解
例1 (多选)下面四个推导过程正确的有( )
A.若a，b为正实数，则＋≥2＝2
B.若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4
C.若x，y∈R，xy<0，则＋＝﹣≤﹣2＝﹣2
D.若a<0，b<0，则≤ab
反思感悟 对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面
(1)不等式成立的条件是a，b都是正数.
(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b.
跟踪训练1 下列不等式的推导过程正确的是________.
①若x>1，则x＋≥2＝2；
②若x<0，则x＋＝﹣≤﹣2＝﹣4；
③若a，b∈R，则＋≥2＝2.
二、利用基本不等式比较大小
例2 (1)如果0
(2)设a，b为非零实数，给出下列不等式：
①≥ab；②≥()2；③≥；④＋≥2.
其中恒成立的是________.(填序号)
反思感悟 运用基本不等式比较大小的注意点
(1)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形.
(2)应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
跟踪训练2 比较大小：________2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)
三、利用基本不等式证明不等式
例3 已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1.
求证：(﹣1)(﹣1)(﹣1)≥8.
延伸探究
例3的条件不变，求证：＋＋≥9.
反思感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.
跟踪训练3 已知a>0，b>0，且a＋b＝＋，求证：a＋b≥2.
1.不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A.a＝±1 B.a＝1 C.a＝﹣1 D.a＝0
2.已知0
3.若0
4.如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么( )
A.ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
B.ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
C.ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
D.ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
5.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________.
①≥；②a﹣b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2﹣b2≥2ab.
1.知识清单：
(1)基本不等式.
(2)利用基本不等式比较大小.
(3)利用基本不等式证明不等式.
2.方法归纳：配凑法.
3.常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件导致错误.
1.(多选)下列条件可使＋≥2成立的有( )
A.ab>0 B.ab<0 C.a>0，b>0 D.a<0，b<0
2.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s
3.a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )
A.a2＋b2≥2|ab| B.a2＋b2＝2|ab|
C.a2＋b2≤2|ab| D.a2＋b2>2|ab|
4.下列不等式中正确的是( )
A.a＋≥4 B.a2＋b2≥4ab C.≥ D.x2＋≥2
5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a
6.已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________.
7.已知a>b>c，则与的大小关系是________________.
8.设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a；②≥4；③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a.
其中恒成立的是________.(填序号)
9.已知a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.
10.已知x，y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
11.若0
12.下列不等式一定成立的是( )
A.x＋≥2 B.≥
C.≥2 D.2﹣3x﹣≥2
13.已知a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是( )
A.a＋b＋≥2 B.(a＋b)(＋)≥4
C.≥2 D.>
14.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________.(填序号)
15.已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是____________________________.
16.已知a，b都是正数，求证：≤≤≤.
第2课时 基本不等式的应用
学习目标
1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
知识点 用基本不等式求最值
用基本不等式≥求最值应注意：
(1)x，y是正数.
(2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
(3)讨论等号成立的条件是否满足.
思考1 利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？
答案为：利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等.
思考2 x＋的最小值是2吗？
答案为：只有当x>0时，才有x＋≥2＝2，即x＋的最小值是2；
当x<0时，x＋没有最小值，此时x＋＝﹣≤﹣2＝﹣2，
即当x<0时，x＋的最大值是﹣2.
1.不等式(x﹣2y)＋≥2成立的前提条件为________.
2.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________.
3.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是________.
4.已知0
一、利用基本不等式求最值
例1 (1)若x<0，求＋3x的最大值；
(2)若x>2，求＋x的最小值；
(3)已知x>0，y>0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值.
延伸探究
1.若把例1(3)的条件“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值.
2.若把例1(3)的条件“＋＝1”改为“x＋8y＝xy”，其他条件不变，求x＋2y的最小值.
反思感悟 基本不等式求最值的两种常用方法
(1)拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值.利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件.
(2)常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
跟踪训练1 (1)当x>0时，求＋4x的最小值；
(2)当x>1时，求2x＋的最小值.
二、基本不等式的实际应用
例2 11月3日 20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克.
(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数；
(2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？
反思感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
(2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.
跟踪训练2 某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
三、基本不等式的综合应用
例3 已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a的值为________.
反思感悟 求参数的值或取值范围的一般方法
(1)分离参数，转化为求代数式的最值问题.
(2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围.
跟踪训练3 已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于( )
A.10 B.9 C.8 D.7
基本不等式在实际问题中的应用
典例 如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.
(1)设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试将y表示成x的表达式.
(2)怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？
[素养提升] 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程，其一般步骤是：建模→解模→回归验证.
1.下列等式中最小值为4的是( )
A.y＝x＋ B.y＝2t＋ C.y＝4t＋(t>0) D.y＝t＋
2.设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是( )
A.400 B.100 C.40 D.20
3.设x>0，则3﹣3x﹣的最大值是( )
A.3 B.3﹣2 C.﹣1 D.3﹣2
4.如果a>0，那么a＋＋2的最小值是________.
5.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝﹣x2＋18x﹣25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元.
1.知识清单：
(1)利用基本不等式求最值.
(2)基本不等式的实际应用.
(3)基本不等式的综合应用.
2.方法归纳：配凑法、常值代换法.
3.常见误区：忽略应用基本不等式求最值的条件(一正、二定、三相等).
1.已知x>0，则＋x的最小值为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
2.已知x>﹣2，则x＋的最小值为( )
A.﹣ B.﹣1 C.2 D.0
3.若正实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为( )
A.1 B.2 C.2 D.4
4.(多选)设y＝x＋﹣2，则( )
A.当x>0时，y有最小值0
B.当x>0时，y有最大值0
C.当x<0时，y有最大值﹣4
D.当x<0时，y有最小值﹣4
5.已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A.16 B.25 C.9 D.36
6.已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是________.
7.若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为________.
8.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元.
9.(1)已知x<3，求＋x的最大值；
(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值.
10.某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S最大，则x，y的值分别为多少？
11.设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界.若a，b为正实数，且a＋b＝1，则﹣﹣的上确界为( )
A.﹣ B. C. D.﹣4
12.(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有( )
A.(1,4) B.(6,8) C.(7,12) D.
13.已知x>﹣1，则的最小值为________.
14.若对∀x>﹣1，不等式x＋﹣1≥a恒成立，则实数a的取值范围是________.
15.若不等式ax2＋≥(a>0)恒成立，则实数a的取值范围是________.
16.某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3﹣(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).那么该厂家2020年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？
§2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
学习目标
1.了解基本不等式的证明过程.
2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.
知识点 基本不等式
1.基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立.
其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.
2.变形：ab≤()2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立.
a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立.
思考1 不等式≥ab和≥中等号成立的条件相同吗？
答案为：相同.都是当且仅当a＝b时等号成立.
思考2 “当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？
答案为：a＝b⇔＝ab；a＝b>0⇔＝.
1.若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2.( )
2.若a>0，b>0，则ab≤()2.( )
3.对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立.( )
4.若a≠0，则a＋≥2＝2.( )
一、对基本不等式的理解
例1 (多选)下面四个推导过程正确的有( )
A.若a，b为正实数，则＋≥2＝2
B.若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4
C.若x，y∈R，xy<0，则＋＝﹣≤﹣2＝﹣2
D.若a<0，b<0，则≤ab
反思感悟 对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面
(1)不等式成立的条件是a，b都是正数.
(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b.
跟踪训练1 下列不等式的推导过程正确的是________.
①若x>1，则x＋≥2＝2；
②若x<0，则x＋＝﹣≤﹣2＝﹣4；
③若a，b∈R，则＋≥2＝2.
二、利用基本不等式比较大小
例2 (1)如果0
(2)设a，b为非零实数，给出下列不等式：
①≥ab；②≥()2；③≥；④＋≥2.
其中恒成立的是________.(填序号)
反思感悟 运用基本不等式比较大小的注意点
(1)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形.
(2)应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
跟踪训练2 比较大小：________2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)
三、利用基本不等式证明不等式
例3 已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1.
求证：(﹣1)(﹣1)(﹣1)≥8.
延伸探究
例3的条件不变，求证：＋＋≥9.
反思感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.
跟踪训练3 已知a>0，b>0，且a＋b＝＋，求证：a＋b≥2.
1.不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A.a＝±1 B.a＝1 C.a＝﹣1 D.a＝0
2.已知0
3.若0
4.如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么( )
A.ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
B.ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
C.ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
D.ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
5.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________.
①≥；②a﹣b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2﹣b2≥2ab.
1.知识清单：
(1)基本不等式.
(2)利用基本不等式比较大小.
(3)利用基本不等式证明不等式.
2.方法归纳：配凑法.
3.常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件导致错误.
1.(多选)下列条件可使＋≥2成立的有( )
A.ab>0 B.ab<0 C.a>0，b>0 D.a<0，b<0
2.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s
3.a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )
A.a2＋b2≥2|ab| B.a2＋b2＝2|ab|
C.a2＋b2≤2|ab| D.a2＋b2>2|ab|
4.下列不等式中正确的是( )
A.a＋≥4 B.a2＋b2≥4ab C.≥ D.x2＋≥2
5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a
6.已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________.
7.已知a>b>c，则与的大小关系是________________.
8.设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a；②≥4；③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a.
其中恒成立的是________.(填序号)
9.已知a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.
10.已知x，y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
11.若0
12.下列不等式一定成立的是( )
A.x＋≥2 B.≥
C.≥2 D.2﹣3x﹣≥2
13.已知a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是( )
A.a＋b＋≥2 B.(a＋b)(＋)≥4
C.≥2 D.>
14.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________.(填序号)
15.已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是____________________________.
16.已知a，b都是正数，求证：≤≤≤.
第2课时 基本不等式的应用
学习目标
1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
知识点 用基本不等式求最值
用基本不等式≥求最值应注意：
(1)x，y是正数.
(2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
(3)讨论等号成立的条件是否满足.
思考1 利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？
答案为：利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等.
思考2 x＋的最小值是2吗？
答案为：只有当x>0时，才有x＋≥2＝2，即x＋的最小值是2；
当x<0时，x＋没有最小值，此时x＋＝﹣≤﹣2＝﹣2，
即当x<0时，x＋的最大值是﹣2.
1.不等式(x﹣2y)＋≥2成立的前提条件为________.
2.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________.
3.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是________.
4.已知0
一、利用基本不等式求最值
例1 (1)若x<0，求＋3x的最大值；
(2)若x>2，求＋x的最小值；
(3)已知x>0，y>0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值.
延伸探究
1.若把例1(3)的条件“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值.
2.若把例1(3)的条件“＋＝1”改为“x＋8y＝xy”，其他条件不变，求x＋2y的最小值.
反思感悟 基本不等式求最值的两种常用方法
(1)拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值.利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件.
(2)常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
跟踪训练1 (1)当x>0时，求＋4x的最小值；
(2)当x>1时，求2x＋的最小值.
二、基本不等式的实际应用
例2 11月3日 20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克.
(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数；
(2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？
反思感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
(2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.
跟踪训练2 某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
三、基本不等式的综合应用
例3 已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a的值为________.
反思感悟 求参数的值或取值范围的一般方法
(1)分离参数，转化为求代数式的最值问题.
(2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围.
跟踪训练3 已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于( )
A.10 B.9 C.8 D.7
基本不等式在实际问题中的应用
典例 如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.
(1)设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试将y表示成x的表达式.
(2)怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？
[素养提升] 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程，其一般步骤是：建模→解模→回归验证.
1.下列等式中最小值为4的是( )
A.y＝x＋ B.y＝2t＋ C.y＝4t＋(t>0) D.y＝t＋
2.设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是( )
A.400 B.100 C.40 D.20
3.设x>0，则3﹣3x﹣的最大值是( )
A.3 B.3﹣2 C.﹣1 D.3﹣2
4.如果a>0，那么a＋＋2的最小值是________.
5.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝﹣x2＋18x﹣25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元.
1.知识清单：
(1)利用基本不等式求最值.
(2)基本不等式的实际应用.
(3)基本不等式的综合应用.
2.方法归纳：配凑法、常值代换法.
3.常见误区：忽略应用基本不等式求最值的条件(一正、二定、三相等).
1.已知x>0，则＋x的最小值为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
2.已知x>﹣2，则x＋的最小值为( )
A.﹣ B.﹣1 C.2 D.0
3.若正实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为( )
A.1 B.2 C.2 D.4
4.(多选)设y＝x＋﹣2，则( )
A.当x>0时，y有最小值0
B.当x>0时，y有最大值0
C.当x<0时，y有最大值﹣4
D.当x<0时，y有最小值﹣4
5.已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A.16 B.25 C.9 D.36
6.已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是________.
7.若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为________.
8.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元.
9.(1)已知x<3，求＋x的最大值；
(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值.
10.某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S最大，则x，y的值分别为多少？
11.设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界.若a，b为正实数，且a＋b＝1，则﹣﹣的上确界为( )
A.﹣ B. C. D.﹣4
12.(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有( )
A.(1,4) B.(6,8) C.(7,12) D.
13.已知x>﹣1，则的最小值为________.
14.若对∀x>﹣1，不等式x＋﹣1≥a恒成立，则实数a的取值范围是________.
15.若不等式ax2＋≥(a>0)恒成立，则实数a的取值范围是________.
16.某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3﹣(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).那么该厂家2020年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？
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