湘教版（2019）3.1 函数课后复习题

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这是一份湘教版（2019）3.1 函数课后复习题，共8页。试卷主要包含了已知幂函数f的部分对应值如表等内容，欢迎下载使用。

A．是增函数 B．不是单调函数
C．是减函数D．不能确定
2．(2024·济南质检)若f(x)是幂函数，且满足eq \f(f4,f2)＝3，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝( )
A．3B．－3
C．eq \f(1,3)D．－eq \f(1,3)
解析：C 设f(x)＝xα，则eq \f(4α,2α)＝2α＝3，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))α＝eq \f(1,3)．
3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则( )
A．bab
C．b>a＋c，c2a＋c，c2>ab
4．已知函数f(x)＝－10sin2x－10sin x－eq \f(1,2)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，m))的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))，则实数m的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))
5．不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≤eq \r(x)的解集是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，＋∞))
6．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．”根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )
A．在x轴上截得的线段的长度是2
B．与y轴交于点(0,3)
C．顶点是(－2，－2)
D．过点(3,0)
7．(多选)已知函数y＝xα(α∈R)的图象过点(3,27)，下列说法正确的是( )
A．函数y＝xα的图象过原点
B．函数y＝xα是奇函数
C．函数y＝xα是单调减函数
D．函数y＝xα的值域为R
8．已知函数f(x)＝4＋lga(2x－3)(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，且点P在函数g(x)＝xα的图象上，则α＝________．
9．已知幂函数f(x)的部分对应值如表：
则不等式f(|x|)≤2的解集是________．
10．已知幂函数f(x)＝xeq \a\vs4\al(－m2＋2m＋3)(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝eq \r(fx)＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
11．已知函数f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)．若对任意的x∈[－1,0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是( )
A．(－∞，2]B．[4，＋∞)
C．[2，＋∞)D．(－∞，4]
12．(多选)若a＋b>0，函数f(x)＝(x－a)(x＋b)－1的零点为x1，x2(x1A．x1a
C．x1＋x2＝a－bD．x1＋x2＝b－a
13．请先阅读下列材料，然后回答问题．
对于问题“已知函数f(x)＝eq \f(1,3＋2x－x2)，问函数f(x)是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由”，一个同学给出了如下解答：令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4，当x＝1时，u有最大值，umax＝4，显然u没有最小值．故当x＝1时，f(x)有最小值eq \f(1,4)，没有最大值．
(1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；
(2)试研究函数y＝eq \f(2,x2＋x＋2)的最值情况．
14．定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a15．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1．
(1)求a，b的值；
(2)若存在x∈[3,4]，使g(x)<2m2－tm＋7对任意的t∈[0,5]都成立，求m的取值范围；
(3)设f(x)＝eq \f(gx,x)，若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，求实数k的取值范围．
湘教版高中数学必修第一册-4.1.3幂函数-专项训练【解析版】
1．已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则在(－∞，0)上此函数( )
A．是增函数 B．不是单调函数
C．是减函数D．不能确定
解析：A 因为函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，所以函数图象关于y轴对称，即eq \f(m,m－1)＝0，解得m＝0．所以f(x)＝－x2＋3为开口向下的抛物线，所以在(－∞，0)上此函数单调递增．故选A．
2．(2024·济南质检)若f(x)是幂函数，且满足eq \f(f4,f2)＝3，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝( )
A．3B．－3
C．eq \f(1,3)D．－eq \f(1,3)
解析：C 设f(x)＝xα，则eq \f(4α,2α)＝2α＝3，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))α＝eq \f(1,3)．
3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则( )
A．bab
C．b>a＋c，c2a＋c，c2>ab
解析：D 由题图知，a>0，b>0，c<0，f(1)＝a＋b＋c＝0，f(－1)＝a－b＋c<0，所以c＝－(a＋b)，b>a＋c，所以c2－ab＝[－(a＋b)]2－ab＝a2＋b2＋ab>0，即c2>ab．故选D．
4．已知函数f(x)＝－10sin2x－10sin x－eq \f(1,2)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，m))的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))，则实数m的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))
解析：B 由题得f(x)＝－10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2x＋sin x＋\f(1,4)))＋2，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，m))，令t＝sin x，则f(x)＝g(t)＝－10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2＋2，令g(t)＝－eq \f(1,2)，得t＝－1或t＝0，由g(t)的图象，可知当－eq \f(1,2)≤t≤0时，f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))，所以－eq \f(π,6)≤m≤0．故选B．
5．不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≤eq \r(x)的解集是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，＋∞))
解析：B 在同一坐标系中作出函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x与y＝eq \r(x)的图象，如图所示：
当eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＝eq \r(x)时，解得x＝eq \f(1,2)，由图象知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≤eq \r(x)的解集是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))故选B．
6．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．”根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )
A．在x轴上截得的线段的长度是2
B．与y轴交于点(0,3)
C．顶点是(－2，－2)
D．过点(3,0)
解析：ABD 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝0，,－\f(b,2a)＝2，))解得b＝－4a，c＝3a，所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选A、B、D．
7．(多选)已知函数y＝xα(α∈R)的图象过点(3,27)，下列说法正确的是( )
A．函数y＝xα的图象过原点
B．函数y＝xα是奇函数
C．函数y＝xα是单调减函数
D．函数y＝xα的值域为R
解析：ABD 因为函数y＝xα(α∈R)的图象过点(3,27)，所以27＝3α，即α＝3，所以f(x)＝x3，A项，因为f(0)＝0，所以函数y＝x3的图象过原点，因此本说法正确；B项，因为f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以函数y＝x3是奇函数，因此本说法正确；C项，因为y＝x3是实数集上的单调递增函数，所以本说法不正确；D项，因为y＝x3的值域是全体实数集，所以本说法正确．故选A、B、D．
8．已知函数f(x)＝4＋lga(2x－3)(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，且点P在函数g(x)＝xα的图象上，则α＝________．
解析：令2x－3＝1，得x＝2，此时f(2)＝4，∴函数f(x)＝4＋lga(2x－3)(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2,4)，即P(2,4)，又∵点P在函数g(x)＝xα的图象上，∴2α＝4，∴α＝2．
答案：2
9．已知幂函数f(x)的部分对应值如表：
则不等式f(|x|)≤2的解集是________．
解析：设幂函数为f(x)＝xα，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))α＝eq \f(\r(2),2)，∴α＝eq \f(1,2)，∴f(x)＝xeq \f(1,2)，不等式f(|x|)≤2等价于|x|eq \f(1,2)≤2，∴|x|≤4，∴－4≤x≤4．∴不等式f(|x|)≤2的解集是[－4,4]．
答案：[－4,4]
10．已知幂函数f(x)＝xeq \a\vs4\al(－m2＋2m＋3)(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝eq \r(fx)＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
解：(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，解得－1当m＝0或2时，f(x)＝x3，不是偶函数；
当m＝1时，f(x)＝x4，是偶函数．
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x4．
(2)由(1)知f(x)＝x4，则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋c－1．
由g(x)>2对任意的x∈R恒成立，得g(x)min>2(x∈R)．
∵g(x)min＝g(－1)＝c－1，∴c－1>2，解得c>3．
故实数c的取值范围是(3，＋∞)．
11．已知函数f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)．若对任意的x∈[－1,0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是( )
A．(－∞，2]B．[4，＋∞)
C．[2，＋∞)D．(－∞，4]
解析：B 因为f(x)＞0的解集为(－1,3)，故－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－1,3，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(c,2)＝－1×3，,\f(b,2)＝－1＋3，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝4，,c＝6，))令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m，由x∈[－1,0]可得g(x)min＝m，又g(x)≥4在[－1,0]上恒成立，故m≥4，故选B．
12．(多选)若a＋b>0，函数f(x)＝(x－a)(x＋b)－1的零点为x1，x2(x1A．x1a
C．x1＋x2＝a－bD．x1＋x2＝b－a
解析：BC 设g(x)＝(x－a)(x＋b)，则g(a)＝g(－b)＝0，f(x1)＝g(x1)－1＝0，g(x1)＝1，同理g(x2)＝1，所以x1＋x2＝a＋(－b)＝a－b，由a＋b>0得a>－b且a>0，又x1a，故选B、C．
13．请先阅读下列材料，然后回答问题．
对于问题“已知函数f(x)＝eq \f(1,3＋2x－x2)，问函数f(x)是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由”，一个同学给出了如下解答：令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4，当x＝1时，u有最大值，umax＝4，显然u没有最小值．故当x＝1时，f(x)有最小值eq \f(1,4)，没有最大值．
(1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；
(2)试研究函数y＝eq \f(2,x2＋x＋2)的最值情况．
解：(1)不正确．没有考虑到u还可以小于0．正确解答如下：令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4，易知u≠0，
当0当u<0时，eq \f(1,u)<0，即f(x)<0．
∴f(x)<0或f(x)≥eq \f(1,4)，即f(x)既无最大值，也无最小值．
(2)∵x2＋x＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(7,4)≥eq \f(7,4)，∴014．定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a解析：因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函数，设x0为均值点，所以eq \f(f1－f－1,1－－1)＝m＝f(x0)，即关于x0的方程－xeq \\al(2,0)＋mx0＋1＝m在(－1,1)内有实数根，解方程得x0＝1或x0＝m－1．所以必有－1答案：(0,2)
15．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1．
(1)求a，b的值；
(2)若存在x∈[3,4]，使g(x)<2m2－tm＋7对任意的t∈[0,5]都成立，求m的取值范围；
(3)设f(x)＝eq \f(gx,x)，若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，求实数k的取值范围．
解：(1)g(x)＝ax2－2ax＋1＋b＝a(x－1)2＋1＋b－a．
∵a>0，∴g(x)在[2,3]上单调递增，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g2＝1，,g3＝4))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋b＝1，,9a－6a＋1＋b＝4))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0.))
(2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1，
∵存在x∈[3,4]，使g(x)<2m2－tm＋7对任意的t∈[0,5]都成立，
∴g(x)min＝g(3)＝4<2m2－tm＋7对任意的t∈[0,5]都成立，
即－mt＋2m2＋3>0对任意的t∈[0,5]都成立，其中t看作自变量，m看作参数，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m2＋3>0，,－5m＋2m2＋3>0，))解得m∈(－∞，1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))．
(3)由(1)得f(x)＝eq \f(gx,x)＝eq \f(x2－2x＋1,x)＝x＋eq \f(1,x)－2，
∴f(2x)－k·2x＝2x＋eq \f(1,2x)－2－k·2x≥0，
令2x＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤t≤2))，
则不等式可化为k≤1＋eq \f(1,t2)－eq \f(2,t)，
∵不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，
∴k≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,t2)－\f(2,t)))max，又∵1＋eq \f(1,t2)－eq \f(2,t)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)－1))2，
eq \f(1,2)≤t≤2⇒eq \f(1,2)≤eq \f(1,t)≤2，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,t2)－\f(2,t)))max＝1，
k≤1，即实数k的取值范围是(－∞，1]．
x
1
eq \f(1,2)
f(x)
1
eq \f(\r(2),2)
x
1
eq \f(1,2)
f(x)
1
eq \f(\r(2),2)