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高中数学湘教版（2019）必修 第一册3.1 函数同步训练题
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这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册3.1 函数同步训练题，共10页。试卷主要包含了 [2024·重庆调研]， [2024·襄阳模拟]，故选B等内容，欢迎下载使用。
1. 下列函数中，在区间0,+∞上单调递增的是（ ）.
A. y=x2−xB. y=x3C. y=x−1D. y=x−x
2. [2024·西安联考]已知函数fx是实数集R上的减函数，则不等式f2−x>fx−2的解集为（ ）.
A. −∞,2B. −∞,−2C. 2,+∞D. −2,+∞
3. 若0A. 最小值3B. 最大值3C. 最小值9D. 最大值9
4. [2024·海口模拟]函数fx=x2−4x+3的单调递减区间是（ ）.
A. −∞,−2B. −∞,−2和[0,2)C. −2,2D. −2,0和2,+∞
5. [2024·宁波测试]已知fx是定义在[0,1]上的函数，则“函数fx在[0,1]上单调递增”是“函数fx在[0,1]上的最大值为f1”的（ ）.
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. [2024·白沙调研]设函数fx=−ax−1,x<0,ax−3a,x≥0(a>0且a≠1)是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）.
A. [23,1)B. (23,1)C. (0，23]D. (0，23)
7. [2024·黄冈模考]已知函数fx=x2−2,x≥0,x+3,x<0,若fa=fa+3，则gx=ax2+x的单调递增区间为（ ）.
A. (18,+∞)B. (−∞ ,18)C. (12,+∞)D. (−∞ ,12)
8. [2024·长春摸底]已知函数fx满足2fx+f−x=3x2+2x+6，则（ ）.
A. fx的最小值为2B. ∀x∈R,2x2+4x+3fx<2
C. fx的最大值为2D. ∀x∈R,2x2+4x+5fx<2
综合提升练
9. [2024·重庆调研]（多选题）已知函数fx=ax+2x+2a∈R，则下列说法正确的是（ ）.
A. fx的定义域为−∞,−2∪−2,+∞
B. fx在[−1,0]上的值域为[2−a,1]
C. 若fx在−∞,−2上单调递减，则a<1
D. 若a>1，则fx在定义域上单调递增
10. [2024·襄阳模拟]（多选题）记函数fx与gx的定义域的交集为I.若存在x0∈I，使得对任意x∈I，不等式[fx−gx]x−x0≥0恒成立，则称fx,gx构成“M函数对”.下列所给的两个函数能构成“M函数对”的是（ ）.
A. fx=ln x，gx=1xB. fx=ex，gx=ex
C. fx=x3，gx=x2D. fx=x+1x，gx=3x
11. [2024·洛阳摸底]已知函数fx=−3x+3,x<0, −x2+3,x≥0,则不等式fa>f3a−4的解集为_________.
12. （双空题）（改编）已知函数fx=1x−2x，则f12> f1（填“> ”或“< ”）；若函数gx=x+5x−a+3在1,+∞上是减函数，则实数a的取值范围是
应用情境练
13. [2024·北京模拟]（双空题）设函数fx=x,x≥a, −x2+2x,x14. 已知函数fx的定义域为D，若存在[a,b]⊆D，使得函数fx在[a,b]上是单调函数，且fx在[a,b]上的值域为[2a,2b]，则称区间[a,b]为y=fx的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的是_________（填所有符合题意的序号）
①fx=x2x≥0；②fx=3xx∈R；
③fx=4xx2+1x≥0；④fx=xx∈R.
创新拓展练
15. [2024·云南模拟]（双空题）已知函数fx=x2+4x+1axa>0.当a=2时，fx在x∈[1,+∞)上单调递_________；当x∈(0,1]时，fx是减函数,当x∈[1,+∞)时，fx是增函数，则a的值为_________
16. [2024·辽宁模拟]布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数fx，存在一个点x0，使得fx0=x0，那么我们称该函数为“不动点函数”，而称x0为该函数的一个“不动点”.现新定义：若x0满足fx0=−x0，则称x0为fx的“次不动点”.
（1）判断函数fx=x2−2是否是“不动点函数”.若是，求出其“不动点”；若不是，请说明理由.
（2）已知函数gx=12x+1，若a是gx的“次不动点”，求实数a的值.
（3）若函数ℎx=lg124x−b⋅2x在[0,1]上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，求实数b的取值范围.
正弦函数、余弦函数的单调性与最值【解析版】
基础巩固练
1. 下列函数中，在区间0,+∞上单调递增的是（ B ）.
A. y=x2−xB. y=x3C. y=x−1D. y=x−x
[解析]对于A，函数图象的对称轴为直线x=12，则函数在(0,12)上单调递减，在(12,+∞)上单调递增，故A 错误；
对于B，y=x3在定义域R 上单调递增，故B 正确；
对于C，y=x−1=1x，函数在0,+∞ 上单调递减，故C 错误；
对于D，当x>0 时，y=0是常数函数，故D 错误.故选B.
2. [2024·西安联考]已知函数fx是实数集R上的减函数，则不等式f2−x>fx−2的解集为（ C ）.
A. −∞,2B. −∞,−2C. 2,+∞D. −2,+∞
[解析]因为函数fx 是实数集R 上的减函数，且f2−x>fx−2,所以2−x2.故选C.
3. 若0A. 最小值3B. 最大值3C. 最小值9D. 最大值9
[解析]y=x6−x=6x−x2=−x−32+9，其图象的对称轴为直线x=3，开口向下.
因为04. [2024·海口模拟]函数fx=x2−4x+3的单调递减区间是（ B ）.
A. −∞,−2B. −∞,−2和[0,2)C. −2,2D. −2,0和2,+∞
[解析]fx=x2−4∣x∣+3=x2−4x+3,x≥0x2+4x+3,x<0 ，则由二次函数的性质知，
当x≥0 时，y=x2−4x+3=x−22−1的单调递减区间为[0,2)；
当x<0 时，y=x2+4x+3=x+22−1的单调递减区间为−∞,−2.
故fx 的单调递减区间是−∞,−2 和[0,2).故选B.
5. [2024·宁波测试]已知fx是定义在[0,1]上的函数，则“函数fx在[0,1]上单调递增”是“函数fx在[0,1]上的最大值为f1”的（ A ）.
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
[解析]若函数fx 在[0,1] 上单调递增，则fx 在[0,1] 上的最大值为f1.
若fx 在[0,1] 上的最大值为f1，则令fx=x−132，
因为fx=x−132 在[0,13]上单调递减，在[13,1]上单调递增，且f06. [2024·白沙调研]设函数fx=−ax−1,x<0,ax−3a,x≥0(a>0且a≠1)是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ A ）.
A. [23,1)B. (23,1)C. (0，23]D. (0，23)
[解析]∵ 函数fx=−ax−1,x<0ax−3a,x≥0,(a>0且a≠1) 是R 上的减函数，∴07. [2024·黄冈模考]已知函数fx=x2−2,x≥0,x+3,x<0,若fa=fa+3，则gx=ax2+x的单调递增区间为（ D ）.
A. (18,+∞)B. (−∞ ,18)C. (12,+∞)D. (−∞ ,12)
[解析]依题意得a+3=a+32−2a<0≤a+3,解得a=−1，故gx=−x2+x，可知gx 在(−∞ ,12)上单调递增.故选D.
8. [2024·长春摸底]已知函数fx满足2fx+f−x=3x2+2x+6，则（ B ）.
A. fx的最小值为2B. ∀x∈R,2x2+4x+3fx<2
C. fx的最大值为2D. ∀x∈R,2x2+4x+5fx<2
[解析]∵2fx+f−x=3x2+2x+6，∴2f−x+fx=3x2−2x+6，∴fx=x2+2x+2，∴fx=x+12+1≥1，∴fx的最小值为1，无最大值，故A，C错误.
2x2+4x+3x2+2x+2=2−1x2+2x+2，∵x2+2x+2=x+12+1≥1，∴1≤2−1x2+2x+2<2，∴∀x∈R,2x2+4x+3fx<2，故B 正确.
2x2+4x+5x2+2x+2=2+1x2+2x+2，∵x2+2x+2=x+12+1≥1，∴2<2+1x2+2x+2≤3，∴∀x∈R,2x2+4x+5fx>2，故D 错误.故选B.
综合提升练
9. [2024·重庆调研]（多选题）已知函数fx=ax+2x+2a∈R，则下列说法正确的是（ AC ）.
A. fx的定义域为−∞,−2∪−2,+∞
B. fx在[−1,0]上的值域为[2−a,1]
C. 若fx在−∞,−2上单调递减，则a<1
D. 若a>1，则fx在定义域上单调递增
[解析]对于A，由x+2≠0，得x≠−2，则fx 的定义域为−∞,−2∪−2,+∞，故A 正确.
对于B，fx=ax+2x+2=a+2−2ax+2，由x∈[−1,0]，可得x+2∈[1,2]，则1x+2∈[12,1].
当a=1 时，fx=1，则fx 在[−1,0] 上的值域为{1}；
当a<1 时，2−2ax+2∈[1−a,2−2a]，a+2−2ax+2∈[1,2−a]，即fx 在[−1,0] 上的值域为[1,2−a]；
当a>1 时，2−2ax+2∈[2−2a,1−a]，a+2−2ax+2∈[2−a,1]，即fx 在[−1,0] 上的值域为[2−a,1].
故当a=1 时，fx在[−1,0] 上的值域为{1}；
当a<1 时，fx在[−1,0] 上的值域为[1,2−a]；
当a>1 时，fx在[−1,0] 上的值域为[2−a,1].故B 错误.
对于C，fx=ax+2x+2=a+2−2ax+2，若fx 在−∞,−2 上单调递减，则2−2a>0，解得a<1，故C 正确.
对于D，fx=ax+2x+2=a+2−2ax+2，则当a>1 时，fx在−∞,−2 和−2,+∞ 上单调递增，故D 错误.故选AC.
10. [2024·襄阳模拟]（多选题）记函数fx与gx的定义域的交集为I.若存在x0∈I，使得对任意x∈I，不等式[fx−gx]x−x0≥0恒成立，则称fx,gx构成“M函数对”.下列所给的两个函数能构成“M函数对”的是（ AC ）.
A. fx=ln x，gx=1xB. fx=ex，gx=ex
C. fx=x3，gx=x2D. fx=x+1x，gx=3x
[解析]由题意得，存在x0∈I,∀x∈I,当x>x0 时，fx≥gx,当x对于A，fx=ln x在0,+∞ 上单调递增，gx=1x在0,+∞ 上单调递减，所以fx=ln x 与gx=1x 在0,+∞ 上有交点，符合题意；
对于B，满足fx≥gx，不符合题意；
对于C，因为在−∞,1 上，fxgx，所以存在x0=1 符合题意.
对于D，Fx=fx−gx存在两个变号的零点，不符合题意.故选AC.
11. [2024·洛阳摸底]已知函数fx=−3x+3,x<0, −x2+3,x≥0,则不等式fa>f3a−4的解集为2,+∞ .
[解析]根据题目所给的函数解析式，可知函数fx 在−∞,+∞ 上单调递减，由fa>f3a−4,得a<3a−4，解得a>2.
12. （双空题）（改编）已知函数fx=1x−2x，则f12> f1（填“> ”或“< ”）；若函数gx=x+5x−a+3在1,+∞上是减函数，则实数a的取值范围是(−2,4] .
[解析]因为fx=1x−2x 在0,+∞ 上单调递减，
所以f12>f1.
因为函数gx=x+5x−a+3 的定义域为−∞,a−3∪a−3,+∞，
又gx=x−a+3+a+2x−a+3=1+a+2x−a+3，且函数gx=x+5x−a+3 在1,+∞ 上是减函数，所以y=a+2x−a+3 在1,+∞ 上是减函数，所以a+2>0, a−3≤1, 解得−2应用情境练
13. [2024·北京模拟]（双空题）设函数fx=x,x≥a, −x2+2x,x[解析]当a=2 时，fx=x,x≥2−x2+2x,x<2，函数fx 的图象如图1所示，
由图象可得函数fx 的单调递增区间为(−∞,1] 和[2,+∞).
若∃x∈R且x≠0，使得f1+x=f1−x 成立，即fx 的图象上存在两点关于直线x=1 对称，如图2所示，则a＞1，即实数a的取值范围为（1,+∞）.
14. 已知函数fx的定义域为D，若存在[a,b]⊆D，使得函数fx在[a,b]上是单调函数，且fx在[a,b]上的值域为[2a,2b]，则称区间[a,b]为y=fx的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的是①③.（填所有符合题意的序号）
①fx=x2x≥0；②fx=3xx∈R；
③fx=4xx2+1x≥0；④fx=xx∈R.
[解析]①函数fx=x2x≥0 为增函数，若函数fx=x2x≥0 存在“倍值区间”[a,b]，则fa=a2=2a,fb=b2=2b,,解得a=0, b=2, 所以函数fx=x2x≥0 存在“倍值区间”[0,2]，故①存在“倍值区间”.
②函数fx=3xx∈R 为增函数，若函数fx=3xx∈R 存在“倍值区间”[a,b]，则fa=3a=2a, fb=3b=2b.
作出ℎx=3x 与Hx=2x 的图象如图所示，
由图可知，两函数图象无交点，即3x=2x 无解，故②不存在“倍值区间”.
③当x=0 时，fx=0；当x>0 时，fx=4x+1x，因为对勾函数y=x+1x 在0,1 上单调递减，所以函数fx 在0,1 上单调递增.
若函数fx=4x1+x2 在[0,1] 上存在“倍值区间”[a,b]，则fa=4a1+a2=2a, fb=4b1+b2=2b, 解得a=0, b=1,
所以函数fx=4x1+x2 存在“倍值区间”[0,1]，故③存在“倍值区间”.
④因为函数fx=∣x∣=x,x≥0, −x,x<0, 所以fx 在[0,+∞) 上单调递增，在(−∞,0] 上单调递减.
若fx 在[0,+∞) 上存在“倍值区间”[a,b]，
则fa=a=2a, fb=b=2b, 解得a=b=0，与区间[a,b] 矛盾，故舍去；
若fx 在(−∞,0] 上存在“倍值区间”[a,b]，
则fa=−a=2b, fb=−b=2a, 解得a=b=0，与区间[a,b] 矛盾，故舍去.
故④不存在“倍值区间”.
创新拓展练
15. [2024·云南模拟]（双空题）已知函数fx=x2+4x+1axa>0.当a=2时，fx在x∈[1,+∞)上单调递增；当x∈(0,1]时，fx是减函数,当x∈[1,+∞)时，fx是增函数，则a的值为1.
[解析]当a=2 时，函数fx=x+12x+4，
设1≤x1因为x1−x2<0，0<12x1x2<12，1−12x1x2>0，
所以fx1由当x∈(0,1] 时，fx是减函数知，设00 恒成立，而a>0，则ax1x2−1<0 恒成立，显然ax1x2由当x∈[1,+∞) 时，fx是增函数知，设1≤x10 恒成立，显然ax1x2>ax12≥a，因此a≥1.故a=1.
16. [2024·辽宁模拟]布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数fx，存在一个点x0，使得fx0=x0，那么我们称该函数为“不动点函数”，而称x0为该函数的一个“不动点”.现新定义：若x0满足fx0=−x0，则称x0为fx的“次不动点”.
（1）判断函数fx=x2−2是否是“不动点函数”.若是，求出其“不动点”；若不是，请说明理由.
（2）已知函数gx=12x+1，若a是gx的“次不动点”，求实数a的值.
（3）若函数ℎx=lg124x−b⋅2x在[0,1]上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，求实数b的取值范围.
[解析]（1）依题意，设x0为fx的“不动点”，则fx0=x0，即x02−2=x0，解得x0=2或x0=−1，
所以fx=x2−2是“不动点函数”，不动点是2和−1.
（2）因为a是函数gx=12x+1的“次不动点”，依题意有ga=−a，即12a+1=−a，显然a≤0，解得a=−23.
（3）设m,n分别是函数ℎx=lg124x−b⋅2x 在[0,1] 上的“不动点”和“次不动点”，且m,n唯一，
由ℎm=m 得lg124m−b⋅2m=m，即4m−b⋅2m=12m，整理得b=2m−14m，
令φm=2m−14m，显然函数φm 在[0,1] 上单调递增，则φmmin=φ0=0，φmmax=φ1=74，所以0≤b≤74.
由ℎn=−n 得lg124n−b⋅2n=−n，即4n−b⋅2n=2n，整理得b=2n−1，
令un=2n−1，显然函数un 在[0,1] 上单调递增，则unmin=u0=0，unmax=u1=1，所以0≤b≤1.
综上所述,实数b 的取值范围为[0,1].
1. 下列函数中，在区间0,+∞上单调递增的是（ ）.
A. y=x2−xB. y=x3C. y=x−1D. y=x−x
2. [2024·西安联考]已知函数fx是实数集R上的减函数，则不等式f2−x>fx−2的解集为（ ）.
A. −∞,2B. −∞,−2C. 2,+∞D. −2,+∞
3. 若0
4. [2024·海口模拟]函数fx=x2−4x+3的单调递减区间是（ ）.
A. −∞,−2B. −∞,−2和[0,2)C. −2,2D. −2,0和2,+∞
5. [2024·宁波测试]已知fx是定义在[0,1]上的函数，则“函数fx在[0,1]上单调递增”是“函数fx在[0,1]上的最大值为f1”的（ ）.
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. [2024·白沙调研]设函数fx=−ax−1,x<0,ax−3a,x≥0(a>0且a≠1)是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）.
A. [23,1)B. (23,1)C. (0，23]D. (0，23)
7. [2024·黄冈模考]已知函数fx=x2−2,x≥0,x+3,x<0,若fa=fa+3，则gx=ax2+x的单调递增区间为（ ）.
A. (18,+∞)B. (−∞ ,18)C. (12,+∞)D. (−∞ ,12)
8. [2024·长春摸底]已知函数fx满足2fx+f−x=3x2+2x+6，则（ ）.
A. fx的最小值为2B. ∀x∈R,2x2+4x+3fx<2
C. fx的最大值为2D. ∀x∈R,2x2+4x+5fx<2
综合提升练
9. [2024·重庆调研]（多选题）已知函数fx=ax+2x+2a∈R，则下列说法正确的是（ ）.
A. fx的定义域为−∞,−2∪−2,+∞
B. fx在[−1,0]上的值域为[2−a,1]
C. 若fx在−∞,−2上单调递减，则a<1
D. 若a>1，则fx在定义域上单调递增
10. [2024·襄阳模拟]（多选题）记函数fx与gx的定义域的交集为I.若存在x0∈I，使得对任意x∈I，不等式[fx−gx]x−x0≥0恒成立，则称fx,gx构成“M函数对”.下列所给的两个函数能构成“M函数对”的是（ ）.
A. fx=ln x，gx=1xB. fx=ex，gx=ex
C. fx=x3，gx=x2D. fx=x+1x，gx=3x
11. [2024·洛阳摸底]已知函数fx=−3x+3,x<0, −x2+3,x≥0,则不等式fa>f3a−4的解集为_________.
12. （双空题）（改编）已知函数fx=1x−2x，则f12> f1（填“> ”或“< ”）；若函数gx=x+5x−a+3在1,+∞上是减函数，则实数a的取值范围是
应用情境练
13. [2024·北京模拟]（双空题）设函数fx=x,x≥a, −x2+2x,x
①fx=x2x≥0；②fx=3xx∈R；
③fx=4xx2+1x≥0；④fx=xx∈R.
创新拓展练
15. [2024·云南模拟]（双空题）已知函数fx=x2+4x+1axa>0.当a=2时，fx在x∈[1,+∞)上单调递_________；当x∈(0,1]时，fx是减函数,当x∈[1,+∞)时，fx是增函数，则a的值为_________
16. [2024·辽宁模拟]布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数fx，存在一个点x0，使得fx0=x0，那么我们称该函数为“不动点函数”，而称x0为该函数的一个“不动点”.现新定义：若x0满足fx0=−x0，则称x0为fx的“次不动点”.
（1）判断函数fx=x2−2是否是“不动点函数”.若是，求出其“不动点”；若不是，请说明理由.
（2）已知函数gx=12x+1，若a是gx的“次不动点”，求实数a的值.
（3）若函数ℎx=lg124x−b⋅2x在[0,1]上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，求实数b的取值范围.
正弦函数、余弦函数的单调性与最值【解析版】
基础巩固练
1. 下列函数中，在区间0,+∞上单调递增的是（ B ）.
A. y=x2−xB. y=x3C. y=x−1D. y=x−x
[解析]对于A，函数图象的对称轴为直线x=12，则函数在(0,12)上单调递减，在(12,+∞)上单调递增，故A 错误；
对于B，y=x3在定义域R 上单调递增，故B 正确；
对于C，y=x−1=1x，函数在0,+∞ 上单调递减，故C 错误；
对于D，当x>0 时，y=0是常数函数，故D 错误.故选B.
2. [2024·西安联考]已知函数fx是实数集R上的减函数，则不等式f2−x>fx−2的解集为（ C ）.
A. −∞,2B. −∞,−2C. 2,+∞D. −2,+∞
[解析]因为函数fx 是实数集R 上的减函数，且f2−x>fx−2,所以2−x
3. 若0
[解析]y=x6−x=6x−x2=−x−32+9，其图象的对称轴为直线x=3，开口向下.
因为0
A. −∞,−2B. −∞,−2和[0,2)C. −2,2D. −2,0和2,+∞
[解析]fx=x2−4∣x∣+3=x2−4x+3,x≥0x2+4x+3,x<0 ，则由二次函数的性质知，
当x≥0 时，y=x2−4x+3=x−22−1的单调递减区间为[0,2)；
当x<0 时，y=x2+4x+3=x+22−1的单调递减区间为−∞,−2.
故fx 的单调递减区间是−∞,−2 和[0,2).故选B.
5. [2024·宁波测试]已知fx是定义在[0,1]上的函数，则“函数fx在[0,1]上单调递增”是“函数fx在[0,1]上的最大值为f1”的（ A ）.
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
[解析]若函数fx 在[0,1] 上单调递增，则fx 在[0,1] 上的最大值为f1.
若fx 在[0,1] 上的最大值为f1，则令fx=x−132，
因为fx=x−132 在[0,13]上单调递减，在[13,1]上单调递增，且f0
A. [23,1)B. (23,1)C. (0，23]D. (0，23)
[解析]∵ 函数fx=−ax−1,x<0ax−3a,x≥0,(a>0且a≠1) 是R 上的减函数，∴0
A. (18,+∞)B. (−∞ ,18)C. (12,+∞)D. (−∞ ,12)
[解析]依题意得a+3=a+32−2a<0≤a+3,解得a=−1，故gx=−x2+x，可知gx 在(−∞ ,12)上单调递增.故选D.
8. [2024·长春摸底]已知函数fx满足2fx+f−x=3x2+2x+6，则（ B ）.
A. fx的最小值为2B. ∀x∈R,2x2+4x+3fx<2
C. fx的最大值为2D. ∀x∈R,2x2+4x+5fx<2
[解析]∵2fx+f−x=3x2+2x+6，∴2f−x+fx=3x2−2x+6，∴fx=x2+2x+2，∴fx=x+12+1≥1，∴fx的最小值为1，无最大值，故A，C错误.
2x2+4x+3x2+2x+2=2−1x2+2x+2，∵x2+2x+2=x+12+1≥1，∴1≤2−1x2+2x+2<2，∴∀x∈R,2x2+4x+3fx<2，故B 正确.
2x2+4x+5x2+2x+2=2+1x2+2x+2，∵x2+2x+2=x+12+1≥1，∴2<2+1x2+2x+2≤3，∴∀x∈R,2x2+4x+5fx>2，故D 错误.故选B.
综合提升练
9. [2024·重庆调研]（多选题）已知函数fx=ax+2x+2a∈R，则下列说法正确的是（ AC ）.
A. fx的定义域为−∞,−2∪−2,+∞
B. fx在[−1,0]上的值域为[2−a,1]
C. 若fx在−∞,−2上单调递减，则a<1
D. 若a>1，则fx在定义域上单调递增
[解析]对于A，由x+2≠0，得x≠−2，则fx 的定义域为−∞,−2∪−2,+∞，故A 正确.
对于B，fx=ax+2x+2=a+2−2ax+2，由x∈[−1,0]，可得x+2∈[1,2]，则1x+2∈[12,1].
当a=1 时，fx=1，则fx 在[−1,0] 上的值域为{1}；
当a<1 时，2−2ax+2∈[1−a,2−2a]，a+2−2ax+2∈[1,2−a]，即fx 在[−1,0] 上的值域为[1,2−a]；
当a>1 时，2−2ax+2∈[2−2a,1−a]，a+2−2ax+2∈[2−a,1]，即fx 在[−1,0] 上的值域为[2−a,1].
故当a=1 时，fx在[−1,0] 上的值域为{1}；
当a<1 时，fx在[−1,0] 上的值域为[1,2−a]；
当a>1 时，fx在[−1,0] 上的值域为[2−a,1].故B 错误.
对于C，fx=ax+2x+2=a+2−2ax+2，若fx 在−∞,−2 上单调递减，则2−2a>0，解得a<1，故C 正确.
对于D，fx=ax+2x+2=a+2−2ax+2，则当a>1 时，fx在−∞,−2 和−2,+∞ 上单调递增，故D 错误.故选AC.
10. [2024·襄阳模拟]（多选题）记函数fx与gx的定义域的交集为I.若存在x0∈I，使得对任意x∈I，不等式[fx−gx]x−x0≥0恒成立，则称fx,gx构成“M函数对”.下列所给的两个函数能构成“M函数对”的是（ AC ）.
A. fx=ln x，gx=1xB. fx=ex，gx=ex
C. fx=x3，gx=x2D. fx=x+1x，gx=3x
[解析]由题意得，存在x0∈I,∀x∈I,当x>x0 时，fx≥gx,当x
对于B，满足fx≥gx，不符合题意；
对于C，因为在−∞,1 上，fx
对于D，Fx=fx−gx存在两个变号的零点，不符合题意.故选AC.
11. [2024·洛阳摸底]已知函数fx=−3x+3,x<0, −x2+3,x≥0,则不等式fa>f3a−4的解集为2,+∞ .
[解析]根据题目所给的函数解析式，可知函数fx 在−∞,+∞ 上单调递减，由fa>f3a−4,得a<3a−4，解得a>2.
12. （双空题）（改编）已知函数fx=1x−2x，则f12> f1（填“> ”或“< ”）；若函数gx=x+5x−a+3在1,+∞上是减函数，则实数a的取值范围是(−2,4] .
[解析]因为fx=1x−2x 在0,+∞ 上单调递减，
所以f12>f1.
因为函数gx=x+5x−a+3 的定义域为−∞,a−3∪a−3,+∞，
又gx=x−a+3+a+2x−a+3=1+a+2x−a+3，且函数gx=x+5x−a+3 在1,+∞ 上是减函数，所以y=a+2x−a+3 在1,+∞ 上是减函数，所以a+2>0, a−3≤1, 解得−2
13. [2024·北京模拟]（双空题）设函数fx=x,x≥a, −x2+2x,x
由图象可得函数fx 的单调递增区间为(−∞,1] 和[2,+∞).
若∃x∈R且x≠0，使得f1+x=f1−x 成立，即fx 的图象上存在两点关于直线x=1 对称，如图2所示，则a＞1，即实数a的取值范围为（1,+∞）.
14. 已知函数fx的定义域为D，若存在[a,b]⊆D，使得函数fx在[a,b]上是单调函数，且fx在[a,b]上的值域为[2a,2b]，则称区间[a,b]为y=fx的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的是①③.（填所有符合题意的序号）
①fx=x2x≥0；②fx=3xx∈R；
③fx=4xx2+1x≥0；④fx=xx∈R.
[解析]①函数fx=x2x≥0 为增函数，若函数fx=x2x≥0 存在“倍值区间”[a,b]，则fa=a2=2a,fb=b2=2b,,解得a=0, b=2, 所以函数fx=x2x≥0 存在“倍值区间”[0,2]，故①存在“倍值区间”.
②函数fx=3xx∈R 为增函数，若函数fx=3xx∈R 存在“倍值区间”[a,b]，则fa=3a=2a, fb=3b=2b.
作出ℎx=3x 与Hx=2x 的图象如图所示，
由图可知，两函数图象无交点，即3x=2x 无解，故②不存在“倍值区间”.
③当x=0 时，fx=0；当x>0 时，fx=4x+1x，因为对勾函数y=x+1x 在0,1 上单调递减，所以函数fx 在0,1 上单调递增.
若函数fx=4x1+x2 在[0,1] 上存在“倍值区间”[a,b]，则fa=4a1+a2=2a, fb=4b1+b2=2b, 解得a=0, b=1,
所以函数fx=4x1+x2 存在“倍值区间”[0,1]，故③存在“倍值区间”.
④因为函数fx=∣x∣=x,x≥0, −x,x<0, 所以fx 在[0,+∞) 上单调递增，在(−∞,0] 上单调递减.
若fx 在[0,+∞) 上存在“倍值区间”[a,b]，
则fa=a=2a, fb=b=2b, 解得a=b=0，与区间[a,b] 矛盾，故舍去；
若fx 在(−∞,0] 上存在“倍值区间”[a,b]，
则fa=−a=2b, fb=−b=2a, 解得a=b=0，与区间[a,b] 矛盾，故舍去.
故④不存在“倍值区间”.
创新拓展练
15. [2024·云南模拟]（双空题）已知函数fx=x2+4x+1axa>0.当a=2时，fx在x∈[1,+∞)上单调递增；当x∈(0,1]时，fx是减函数,当x∈[1,+∞)时，fx是增函数，则a的值为1.
[解析]当a=2 时，函数fx=x+12x+4，
设1≤x1
所以fx1
16. [2024·辽宁模拟]布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数fx，存在一个点x0，使得fx0=x0，那么我们称该函数为“不动点函数”，而称x0为该函数的一个“不动点”.现新定义：若x0满足fx0=−x0，则称x0为fx的“次不动点”.
（1）判断函数fx=x2−2是否是“不动点函数”.若是，求出其“不动点”；若不是，请说明理由.
（2）已知函数gx=12x+1，若a是gx的“次不动点”，求实数a的值.
（3）若函数ℎx=lg124x−b⋅2x在[0,1]上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，求实数b的取值范围.
[解析]（1）依题意，设x0为fx的“不动点”，则fx0=x0，即x02−2=x0，解得x0=2或x0=−1，
所以fx=x2−2是“不动点函数”，不动点是2和−1.
（2）因为a是函数gx=12x+1的“次不动点”，依题意有ga=−a，即12a+1=−a，显然a≤0，解得a=−23.
（3）设m,n分别是函数ℎx=lg124x−b⋅2x 在[0,1] 上的“不动点”和“次不动点”，且m,n唯一，
由ℎm=m 得lg124m−b⋅2m=m，即4m−b⋅2m=12m，整理得b=2m−14m，
令φm=2m−14m，显然函数φm 在[0,1] 上单调递增，则φmmin=φ0=0，φmmax=φ1=74，所以0≤b≤74.
由ℎn=−n 得lg124n−b⋅2n=−n，即4n−b⋅2n=2n，整理得b=2n−1，
令un=2n−1，显然函数un 在[0,1] 上单调递增，则unmin=u0=0，unmax=u1=1，所以0≤b≤1.
综上所述,实数b 的取值范围为[0,1].
