数学必修 第一册第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.3 对数函数课堂检测

这是一份数学必修 第一册第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.3 对数函数课堂检测，共10页。试卷主要包含了 设a=lg58,b=21， [2024·邯郸模拟]等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A={x|lg2x<1},B={x|x>1}，则A∪B=（ ）.
A. 1,2B. 0,2C. 0,+∞D. R
2. [2024·四川模拟]已知lg2a>lg2b，则下列不等式一定成立的是（ ）.
A. 1a>1bB. 12a<12bC. lg2a−b>0D. 2a−b<1
3.在同一直角坐标系中,函数y=1ax,y=lgax+12(a>0,且a≠1)的图象可能是( ).
A B
C D
4. 函数fx=lnx+2+ln4−x的单调递减区间是（ ）.
A. [1,+∞)B. 1,4C. (−∞,1]D. −2,1
5. （改编）已知函数fx=lgax−b(a>0且a≠1)的大致图象如图所示，则以下说法正确的是（ ）.
A. a+b<0B. ab<−1C. 00
6. 设a=lg58,b=21.3,c=0.71.3，则a,b,c的大小关系为（ ）.
A. c7. [2024·毕节模拟]已知lga14<1,13a<1,a12<1，则实数a的取值范围为（ ）.
A. (13,1)B. (0,14)∪1,+∞C. (14,1)D. (0,14)
8. [2024·湖北联考]已知函数fx=lg33x−1+3−12x，若fa−1≥f2a+1成立，则实数a的取值范围为（ ）.
A. (−∞,−2]B. −∞,−2]∪[0,+∞
C. [−2,43]D. (−∞,−2]∪[43,+∞)
综合提升练
9. [2024·邯郸模拟]（多选题）已知函数fx=lg2x+6+lg24−x，则（ ）.
A. fx的定义域为−6,4
B. fx有最大值
C. 不等式fx<4的解集为−∞,−4∪2,+∞
D. fx在[0,4]上单调递增
10. （多选题）已知函数fx=lgax+1a>1，则下列说法正确的是（ ）.
A. 函数fx的图象过定点0,0
B. 函数fx在0,+∞上单调递减
C. 函数fx在(−12,1)上的最小值为0
D. 若对任意的x∈[1,2],fx>1恒成立，则实数a的取值范围为1,2
11. 已知函数fx=1+lg22−x,x<1, 2x−1,x≥1,则ff−2=_______.
12. 已知a=lg119，b=lg1311，c=lg1513，则a,b,c的大小关系是_______
应用情境练
13. 某公司工人甲生产第x件产品所需的时间fx（单位：h）满足fx=4−lgax,00且a≠1，若甲生产第2件产品的时间为3 h，生产第λ 件产品的时间为2 h，则f3=_______
14. 已知大气压强p（单位：帕）随高度ℎ（单位：米）的变化满足关系式ln p0−ln p=kℎ,p0表示海平面的大气压强.
（1）设在海拔4000米处的大气压强为p'，求在海拔8000米处的大气压强.（结果用p0和p'表示）
（2）我国的陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如表所示：
若用平均海拔的范围直接代表海拔的范围，设在第二级阶梯某处的压强为p2，在第三级阶梯某处的压强为p3,k=10−4，证明：p2创新拓展练
15. [2024·南通统考]已知函数y=fx的图象既关于点1,1中心对称，又关于直线x+y=0对称.当x∈0,1时，fx=lg2x+1，则flg210的值_______
16. 若存在实数m,n,使得ℎx=mfx+ngx，则称函数ℎx为fx,gx的“Tm,n函数”.
（1）若ℎx=ex为fx，gx的“T2,1函数”，其中fx为奇函数，gx为偶函数，求函数fx，gx的解析式.
（2）设函数fx=lnex+1，gx=x，是否存在实数m,n,使得ℎx为fx，gx的“Tm,n函数”，且同时满足：（ⅰ）ℎx是偶函数；（ⅱ）ℎx的值域为[ln 2,+∞)?若存在，请求出m,n的值；若不存在，请说明理由.
湘教版高中数学必修第一册-对数函数的图象与性质1-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. 已知集合A={x|lg2x<1},B={x|x>1}，则A∪B=（ C ）.
A. 1,2B. 0,2C. 0,+∞D. R
[解析]由lg2x<1 得00}.故选C.
2. [2024·四川模拟]已知lg2a>lg2b，则下列不等式一定成立的是（ B ）.
A. 1a>1bB. 12a<12bC. lg2a−b>0D. 2a−b<1
[解析]由lg2a>lg2b 得，a>b>0，所以1a<1b，A错误；
因为y=12x 为减函数，所以12a<12b，B正确；
a−b>0，但a−b 不一定大于1，所以lg2a−b 不一定大于0，C错误；
2a−b>20=1，D错误.故选B.
3.在同一直角坐标系中,函数y=1ax,y=lgax+12(a>0,且a≠1)的图象可能是( D).
A B
C D
[解析] 易知a与1a必有一个大于1,一个大于0且小于1,则f(x)=1ax与g(x)=lgax+12在各自定义域内单调性相反,可排除B;由g12=0可排除A,C.故选D.
4. 函数fx=lnx+2+ln4−x的单调递减区间是（ B ）.
A. [1,+∞)B. 1,4C. (−∞,1]D. −2,1
[解析]易得函数fx=lnx+2+ln4−x 的定义域为−2,4.
fx=ln x+24−x=ln −x−12+9，由复合函数的单调性可知，函数fx=lnx+2+ln4−x 的单调递减区间是1,4.故选B.
5. （改编）已知函数fx=lgax−b(a>0且a≠1)的大致图象如图所示，则以下说法正确的是（ C ）.
A. a+b<0B. ab<−1C. 00
[解析]由图象可知fx 在定义域内单调递增，所以a>1，令fx=lgax−b=0，即x=b+1，所以函数fx 的零点为b+1，结合函数图象可知00，所以A 错误；
−a1，所以−a<−1，因此ab<−1 不一定成立，所以B 错误；
因为a−1因为0故选C.
6. 设a=lg58,b=21.3,c=0.71.3，则a,b,c的大小关系为（ D ）.
A. c[解析]因为y=lg5xx>0 是增函数，
所以1=lg55又函数y=x1.3 在0,+∞ 上单调递增，所以21.3>2>1>0.71.3，即b>2>1>c.故选D.
7. [2024·毕节模拟]已知lga14<1,13a<1,a12<1，则实数a的取值范围为（ D ）.
A. (13,1)B. (0,14)∪1,+∞C. (14,1)D. (0,14)
[解析]由13a<1=130，且指数函数y=13x 在R 上单调递减，得a>0.
由a12<1=112，且幂函数y=x12 在[0,+∞) 上单调递增，得0≤a<1.
由lga14<1=lgaa，且对数函数y=lgax08. [2024·湖北联考]已知函数fx=lg33x−1+3−12x，若fa−1≥f2a+1成立，则实数a的取值范围为（ C ）.
A. (−∞,−2]B. −∞,−2]∪[0,+∞
C. [−2,43]D. (−∞,−2]∪[43,+∞)
[解析]令gx=lg33x+1−12x=lg33x2+3−x2,则gx 为偶函数，由定义法得gx 在[0,+∞) 上单调递增，所以fx=lg33x−1+3−12x=1+lg33x−2+1−12x=lg33x−2+1−12x−2=gx−2，所以fx 的图象关于直线x=2 对称，且在[2,+∞) 上单调递增,所以fa−1≥f2a+1⇔a−1−2≥2a+1−2，两边平方并化简得a+23a−4≤0，解得−2≤a≤43.故选C.
综合提升练
9. [2024·邯郸模拟]（多选题）已知函数fx=lg2x+6+lg24−x，则（ AB ）.
A. fx的定义域为−6,4
B. fx有最大值
C. 不等式fx<4的解集为−∞,−4∪2,+∞
D. fx在[0,4]上单调递增
[解析]由题意可得x+6>0,4−x>0,,解得−6fx=lg2−x2−2x+24，因为y=−x2−2x+24 在−6,−1 上单调递增，在−1,4 上单调递减，y=lg2x在0,+∞ 上单调递增，所以fx 在−6,−1 上单调递增，在−1,4 上单调递减，所以fxmax=f−1=2lg25，故B 正确，D错误；
因为fx 在−6,−1 上单调递增，在−1,4 上单调递减，且f−4=f2=4，所以不等式fx<4 的解集为−6,−4∪2,4，故C 错误.故选AB.
10. （多选题）已知函数fx=lgax+1a>1，则下列说法正确的是（ ACD ）.
A. 函数fx的图象过定点0,0
B. 函数fx在0,+∞上单调递减
C. 函数fx在(−12,1)上的最小值为0
D. 若对任意的x∈[1,2],fx>1恒成立，则实数a的取值范围为1,2
[解析]因为函数y=lgaxa>0,a≠1 的图象过定点1,0，
所以y=lgax+1a>1 的图象过定点0,0，故函数fx=lgax+1a>1 的图象过定点0,0.故A 正确.
当x>0 时，x+1>1，函数fx=lgax+1=lgax+1a>1 单调递增，所以函数fx 在0,+∞ 上单调递增.故B 错误.
由复合函数的单调性可知，函数fx=lgax+1a>1 在−1,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，所以函数fx 在(−12,0)上单调递减，在0,1 上单调递增，最小值f0=0，故函数fx 在(−12,1)上的最小值为0.故C 正确.
当x∈[1,2] 时，函数fx 单调递增，fx>1恒成立，
必有fxmin=f1=lga2=lga2>1，解得a<2，所以111. 已知函数fx=1+lg22−x,x<1, 2x−1,x≥1,则ff−2=4.
[解析]因为fx=1+lg22−x,x<12x−1,x≥1,
所以f−2=1+lg24=3，ff−2=f3=23−1=4.
12. 已知a=lg119，b=lg1311，c=lg1513，则a,b,c的大小关系是a[解析]因为a−b=lg119−lg1311=lg 9lg 11−lg 11lg 13=lg 9⋅lg 13−lg 112lg 11⋅lg 13.
因为lg 9⋅lg 13综上所述，a应用情境练
13. 某公司工人甲生产第x件产品所需的时间fx（单位：h）满足fx=4−lgax,00且a≠1，若甲生产第2件产品的时间为3 h，生产第λ 件产品的时间为2 h，则f3=4−lg23 .
[解析]由甲生产第λ 件产品的时间为2 h，得fλ=10λ+1=2，解得λ=4，则fx=4−lgax,0由甲生产第2件产品的时间为3 h，得f2=4−lga2=3，解得a=2，
则fx=4−lg2x,014. 已知大气压强p（单位：帕）随高度ℎ（单位：米）的变化满足关系式ln p0−ln p=kℎ,p0表示海平面的大气压强.
（1）设在海拔4000米处的大气压强为p'，求在海拔8000米处的大气压强.（结果用p0和p'表示）
（2）我国的陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如表所示：
若用平均海拔的范围直接代表海拔的范围，设在第二级阶梯某处的压强为p2，在第三级阶梯某处的压强为p3,k=10−4，证明：p2[解析]（1）设在海拔8000米处的大气压强为p″，
则ln p0−ln p'=4000k, ln p0−ln p''=8000k, 所以2lnp0p'=lnp0p″，解得p″=p'2p0.
（2）设在第二级阶梯某处的海拔为ℎ2，在第三级阶梯某处的海拔为ℎ3，则ln p0−ln p2=10−4ℎ2, ln p0−ln p3=10−4ℎ3, 两式相减可得lnp3p2=10−4ℎ2−ℎ3，
因为ℎ2∈(1000,2000],ℎ3∈[200,1000]，所以ℎ2−ℎ3∈(0,1800]，
则0创新拓展练
15. [2024·南通统考]已知函数y=fx的图象既关于点1,1中心对称，又关于直线x+y=0对称.当x∈0,1时，fx=lg2x+1，则flg210的值为175 .
[解析]用C 表示函数y=fx 的图象，对任意的x0∈0,1，令y0=lg21+x0，则Px0,y0∈C，且y0∈0,1.
因为函数y=fx 的图象关于点1,1 中心对称，
所以P02−x0,2−y0∈C，即2−y0=f2−x0，且2−x0∈1,2.
因为函数y=fx 的图象关于直线x+y=0 对称，
所以点P02−x0,2−y0 关于直线x+y=0 对称的点P1y0−2,x0−2∈C，即x0−2=fy0−2，且y0−2∈−2,−1.
又P1y0−2,x0−2∈C 关于点1,1 的对称点为P24−y0,4−x0，
所以P24−y0,4−x0∈C，即4−x0=f4−y0,且4−y0∈3,4，
由lg210∈3,4，令lg210=4−y0，可得y0=4−lg210=lg285，
所以x0=35，
所以flg210=f4−lg285=f4−lg21+35=4−35=175.
16. 若存在实数m,n,使得ℎx=mfx+ngx，则称函数ℎx为fx,gx的“Tm,n函数”.
（1）若ℎx=ex为fx，gx的“T2,1函数”，其中fx为奇函数，gx为偶函数，求函数fx，gx的解析式.
（2）设函数fx=lnex+1，gx=x，是否存在实数m,n,使得ℎx为fx，gx的“Tm,n函数”，且同时满足：（ⅰ）ℎx是偶函数；（ⅱ）ℎx的值域为[ln 2,+∞)?若存在，请求出m,n的值；若不存在，请说明理由.
[解析]（1）因为ℎx=ex 为fx，gx的“T2,1函数”，
所以2fx+gx=ex, ①
所以2f−x+g−x=e−x，
因为fx 为奇函数，gx为偶函数，
所以f−x=−fx，g−x=gx，
所以−2fx+gx=e−x, ②
联立①②，解得fx=14ex−e−x,gx=12ex+e−x.
（2）存在.
假设存在实数m,n，使得ℎx 为fx，gx的“Tm,n函数”，
则ℎx=mfx+ngx=mlnex+1+nx.
（ⅰ）因为ℎx 是偶函数，所以ℎ−x=ℎx，
即mlne−x+1−nx=mlnex+1+nx，
即mln ex+1e−x+1+2nx=0，
由ln ex+1e−x+1=ln exex+1ex+1=ln ex=x，可得2n+mx=0，
因为2n+mx=0 对任意的x∈R 成立，所以m=−2n.
（ⅱ）由（ⅰ）得ℎx=mlnex+1+nx=−2nlnex+1+nx
=nln exex+12=nln 1ex+1ex+2.
因为ex+1ex+2≥2ex⋅1ex+2=4，当且仅当ex=1ex，即x=0 时，取等号，
所以ln 1ex+1ex+2≤ln 14=−2ln 2，因为ℎx 的值域为[ln 2,+∞)，所以n<0,且−2nln 2=ln 2，解得n=−12，又因为m=−2n，所以m=1.综上所述，存在m=1,n=−12满足要求.
平均海拔/米
第一级阶梯
H≥4000
第二级阶梯
1000第三级阶梯
H≤500
平均海拔/米
第一级阶梯
H≥4000
第二级阶梯
1000第三级阶梯
H≤500