数学人教A版 (2019)4.2 等差数列优秀当堂检测题

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第1课时 等差数列的概念及通项公式
学习目标
1.理解等差数列、等差中项的概念.
2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.
3.掌握等差数列的判断与证明方法．
知识点一 等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零．
思考 你能根据等差数列的概念写出它的数学表达式吗？
答案 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)．
知识点二 等差中项的概念
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b.
思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a，b.
答案 插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)eq \f(a＋b,2).
知识点三 等差数列的通项公式
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.
思考 由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？
答案 只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．
知识点四 从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
1．数列4,4,4，…是等差数列．( √ )
2．数列{an}的通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,n＋1，n≥2，))则{an}是等差数列．( × )
3．若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )
4．若三个数a，b，c满足a＋c＝2b，则a，b，c一定是等差数列．( √ )
一、等差数列的通项公式及其应用
例1 在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.
反思感悟 等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数．
跟踪训练1 在等差数列{an}中，求解下列各题：
(1)已知公差d＝－eq \f(1,3)，a7＝8，则a1＝ .
(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝ .
(3)已知{an}的前3项依次为2,6,10，则a15＝ .
二、等差数列的判定与证明
例2 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2).
(1)数列{eq \f(1,an)}是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
延伸探究
将本例中的条件“a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)”换为“a1＝4，an＝4－eq \f(4,an－1)(n>1)，记bn＝eq \f(1,an－2)”．
(1)试证明数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
反思感悟 判断等差数列的方法
(1)定义法
an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列．
(3)通项公式法
数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列．
跟踪训练2 已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝eq \f(1,an－1).
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
三、等差中项及应用
例3 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．
(2)已知eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)成等差数列．求证：eq \f(b＋c,a)，eq \f(a＋c,b)，eq \f(a＋b,c)也成等差数列．
反思感悟 若a，A，b成等差数列，则A＝eq \f(a＋b,2)；反之，由A＝eq \f(a＋b,2)也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项⇔A＝eq \f(a＋b,2).
跟踪训练3 (1)若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
(2)已知a，b，c成等差数列，证明：a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)也成等差数列．
等差数列的实际应用
典例 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
[素养提升]
(1)解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．
合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．
(2)能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现．
1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N*)，则它的公差d为( )
A．2 B．3 C．－2 D．－3
2．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为( )
A．26 B．29 C．39 D．52
3．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1a4a5 B．a3a6a4＋a5 D．a3a6＝a4a5
14．已知数列{an}满足a1＝1，若点（eq \f(an,n)，eq \f(an＋1,n＋1)）在直线x－y＋1＝0上，则an＝ .
15．已知数列{an}满足aeq \\al(2,n＋1)＝aeq \\al(2,n)＋4，且a1＝1，an>0，则an＝ .
16．若数列{bn}对于n∈N*，都有bn＋2－bn＝d(d为常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．例如cn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4n－1，n为奇数，,4n＋9，n为偶数，))则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足：a1＝a，对于n∈N*，都有an＋an＋1＝2n.
(1)求证：数列{an}为准等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
第2课时 等差数列的性质
学习目标
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.
2.能运用等差数列的性质简化计算．
知识点一 等差数列通项公式的变形及推广
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝eq \f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．
其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．
②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.
③可用来由等差数列任两项求公差．
知识点二 等差数列的性质
1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap.
3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．
4．等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；
d0 B．d0 D．a1d0 B．a2＋a101