数学人教A版 (2019)第四章 数列4.1 数列的概念精品同步训练题

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第1课时 数列的概念及通项公式
学习目标
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.
2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.
3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.
4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．
知识点一 数列及其有关概念
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
思考 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
答案 不是．顺序不一样．
知识点二 数列的分类
知识点三 函数与数列的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
知识点四 数列的单调性
知识点五 通项公式
1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
思考 既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？
答案 还可以用列表法、图象法．
1．1,1,1,1是一个数列．( √ )
2．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}．( × )
3．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．( × )
4．an与{an}表达不同的含义．( √ )
一、数列的有关概念和分类
例1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
(1)1,0.84,0.842,0.843，…；
(2)2,4,6,8,10，…；
(3)7,7,7,7，…；
(4)eq \f(1,3)，eq \f(1,9)，eq \f(1,27)，eq \f(1,81)，…；
(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；
(6)0，－1,2，－3,4，－5，….
解 (5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列．
反思感悟 (1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．
(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．
跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021； (2)0，eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，…，eq \f(n－1,n)，…；
(3)1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,2n－1)，…； (4)－eq \f(1,1×2)，eq \f(1,2×3)，－eq \f(1,3×4)，eq \f(1,4×5)，…；
(5)1,0，－1，…，sin eq \f(nπ,2)，…； (6)9,9,9,9,9,9.
解 (1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列．
二、由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－1，eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)，eq \f(1,4)； (2)eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8； (3)0,1,0,1； (4)9,99,999,9 999.
解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，
所以它的一个通项公式为an＝eq \f(－1n,n)，n∈N*.
(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：eq \f(1,2)，eq \f(4,2)，eq \f(9,2)，eq \f(16,2)，…，
所以它的一个通项公式为an＝eq \f(n2,2)，n∈N*.
(3)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，n为奇数，,1，n为偶数，))由第(1)题也可以写成an＝eq \f(1＋－1n,2)(n∈N*)或an＝eq \f(1＋cs nπ,2)(n∈N*)．
(4)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.
反思感悟 根据数列的前几项求通项公式的解题思路
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等．
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．
(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号．
(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(5,8)，eq \f(13,16)； (2)eq \f(22－1,2)，eq \f(32－1,3)，eq \f(42－1,4)，eq \f(52－1,5)； (3)7,77,777,7 777.
解 (1)各项分母分别为21,22,23,24，易看出第1,2,3,4项分子分别比分母少了3，
则原数列可化为eq \f(21－3,21)，eq \f(22－3,22)，eq \f(23－3,23)，eq \f(24－3,24)，所以它的一个通项公式为an＝eq \f(2n－3,2n)，n∈N*.
(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，
所以它的一个通项公式为an＝eq \f(n＋12－1,n＋1)，n∈N*.
(3)这个数列的前4项可以变为eq \f(7,9)×9，eq \f(7,9)×99，eq \f(7,9)×999，eq \f(7,9)×9 999，
即eq \f(7,9)×(10－1)，eq \f(7,9)×(100－1)，eq \f(7,9)×(1 000－1)，eq \f(7,9)×(10 000－1)，
即eq \f(7,9)×(10－1)，eq \f(7,9)×(102－1)，eq \f(7,9)×(103－1)，eq \f(7,9)×(104－1)，
所以它的一个通项公式为an＝eq \f(7,9)×(10n－1)，n∈N*.
三、数列通项公式的简单应用
例3 已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*.
(1)写出数列的前3项；
(2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项．
解 (1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为1,6,15.
(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－eq \f(9,2)(舍去)，故45是数列{an}中的第5项．
令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝eq \f(3,2)，故3不是数列{an}中的项．
反思感悟
(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.
(1)求实数q的值；
(2)判断－81是否为此数列中的项．
解 (1)由题意知q4－q2＝72，则q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.
(2)当q＝3时，an＝3n.显然－81不是此数列中的项；
当q＝－3时，an＝(－3)n.令(－3)n＝－81，无解，∴－81不是此数列中的项．
延伸探究
已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N*.问当n为何值时，an取得最小值？并求出最小值．
解 ∵an＝n2－5n＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(5,2)))2－eq \f(9,4)，∴当n＝2或3时，an取得最小值，为a2＝a3＝－2.
数列单调性的应用
典例 已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
解 方法一 an＋1－an＝(n＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n＋1－(n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n＝eq \f(9－n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n,11)，
当n0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an0，,a>1，,a7＝3－a×7－3