初中数学华师大版九年级上学期第23章 相似三角形单元测试含答案

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初中数学华师大版九年级上学期第23章 23.3 相似三角形 同步练习姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________一、单选题 （共10题）1．如图所示，在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，下面各个备选答案的量中，保持不变的量是（  ） A．角 B．边长 C．周长 D．面积 2．两个相似三角形的相似比是1：4，那么它们的面积比是（  ） A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．1： 3．如图，在 中， ， ， 的周长是 ，则 的周长是（  ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形 中， 是 的中点， ，交 于点 ，如果 ，那么菱形 的周长是（  ） A．11 B．22 C．33 D．44 5．如图，在 中， ， 于点 ， ， ， ，则 的长是（  ） A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3 6．如图，在平行四边形 中，点E是边 上一点，且 ， 交对角线 于点F，则 等于（  ） A． B． C． D． 7．如图， ，下列说法错误的是（   ） A．两个三角形是位似图形B．点A是两个三角形的位似中心 C．点B与点D．点C与点E是对应位似点 D． 是相似比 8．小刚身高 ，测得他站立在阳光下的影子长为 ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 ，那么小刚举起的手臂超出头顶（　　） A． B． C． D． 9．《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形 ，东边城墙 长9里，南边城墙 长7里，东门点 ，南门点 分别位于 ， 的中点， ， ， 里， 经过 点，则 的长为（  ） A．0.95里 B．1.05里 C．2.05里 D．2.15里 10．如图，已知 ， ， ，点E为射线 上一个动点，连接 ，将 沿 折叠，点B落在点 处，过点 作 的垂线，分别交 ， 于M，N两点，当 为线段 的三等分点时， 的长为（   ） A． B． C． 或 D． 或 二、填空题 （共7题）11．已知 ，它们的周长分别为 和 ，则 与 面积之比为 . 12．如图，当∠AED= 时，△ADE与△ABC相似. 13．下列命题中，正确命题的个数为 . ①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似③边长相等的两个菱形都相似④对角线相等的两个矩形都相似14．学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为 m. 15．如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG.若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝ . 16．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2 ，AE⊥BC，垂足为点E，延长AE至点D，使AD＝AB，连接CD、BD，若∠ACD＝90°，则BD的长为 ． 17．如图，在矩形 中， ， 为边 上两点，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在 上的 处，且 ，再将矩形 沿过点 的直线折叠，使点 落在 上的 处，折痕交 于点 ，将矩形 再沿 折叠， 与 恰好重合，已知 ，则 ． 三、解答题 （共2题）18．如图，已知 ，求证： . 19．青龙寺是西安最著名的櫻花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的櫻花让这里成为了花的海洋.一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（櫻花树四周被围起来了，底部不易到达）.小明在F处竖立了一根标杆 ，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上.此时测得小刚的眼睛到地面的距离 米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离 米.已知 米， 米， 米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在 上， ， ， ， .根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树 的高度. 四、作图题 （共1题）20．如图，△ABC是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点上），请分别在图1和图2的正方形网格内按下列要求画出格点三角形. （1）在图1中，画△DEF与△ABC相似，且相似比为 ；（2）在图2中，画△PQR与△ABC相似，且相似比为 .五、综合题 （共2题）21．如图，在 中，D在 上， ， . （1）求证： ∽ ；（2）若 ，求 的值.22．如图，在 中， 的平分线交边 于点 ，交 的延长线于点 ，点 在 上，联结 （1）求证： ； （2）连结 ，如果 ，且 ，求 的长． 【答案区】1．【答案】A【解析】【解答】解：在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，角度没有改变， 故答案为：A.【分析】因为在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相似，根据相似三角形的性质可知角度没有改变.2．【答案】C【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：4， ∴它们的面积比是1：16.故答案为：C.【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解答即可.3．【答案】D【解析】【解答】解： ，，， ，∴ 和 周长之比为1：3.∵ 的周长是 ，∴ 的周长为 ，故答案为：D.【分析】由 可得 ， 根据相似三角形周长比=相似比可得结果.4．【答案】D【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ，∴ ，∵ 是 的中点，∴ ，即 ，∵ ，∴ ，∵四边形 是菱形，∴ ；故答案为：D.【分析】根据平行线可证 ，可得 ，由 是 的中点，可得EF是△ACD的中位线，可得CD=2EF=11，利用即可求出结论.5．【答案】C【解析】【解答】解：∵ ， ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ， ， ，∴ ，∴ ，∴ ；故答案为：C.【分析】证明 ，可得 ， 据此即可求出CD的长.6．【答案】A【解析】【解答】解：∵四边形 是平行四边形， ， ∴AD∥BC，AD=BC=3ED，∴∠EDB=∠CBD，∠DEF=∠BCF，∴△DFE∽△BFC，∴ .故答案为：A.【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质解答即可.7．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵BC∥ED， ∴△ADE∽△ABC，∵△ADE与△ABC对应点的连线相交于一点，对应边平行或在同一条直线上，∴△ADE与△ABC是位似图形，不符合题意；B、点A是两个三角形的位似中心，不符合题意；C、B与D、C与E是对应位似点，不符合题意；D、AC：AB不是相似比，AE：AC是相似比，符合题意；故答案为：D．【分析】先求出△ADE∽△ABC，再对每个选项一一判断求解即可。8．【答案】B【解析】【解答】解：设手臂竖直举起时总高度 ，列方程得： ，解得 ，，所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为 ．故答案为：B．【分析】同一时刻，物体的实际高度与影长成比例，根据等量关系列方程。9．【答案】B【解析】【解答】解： ，故答案为：B.【分析】由平行线的性质可得∠DAH=∠EGA，进而证明△AHF∽△GAE，然后根据相似三角形的对应边成比例求解即可.10．【答案】D【解析】【解答】解：当点 为线段 的三等分点时，需要分两种情况讨论： ①如图1，当 时，∵ ∥ ， ， ，∴四边形 为矩形，∴ ， ， ．由折叠的性质可得 ， ．在 中， ．∵ ， ，∴ ，∴ ∽ ，∴ ，即 ，解得 ，∴ ．②如图2，当 时，∵ ∥ ， ， ，∴四边形 为矩形，∴ ， ， ．由折叠的性质可得 ， ．在 中， ．∵ ， ，∴ ，∴ ∽ ，∴ ，即 ，解得 ，∴ ．综上所述， 的长为 或 ．故答案为：D．【分析】根据勾股定理可得 ， 根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理可得答案。11．【答案】【第1空】9：1；【解析】【解答】解：∵ 且它们的周长分别为 和 ， ∴ 与 的相似比为3：1∴ 与 的面积比为9：1故答案为：9：1.【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似之比，面积之比等于形似比的平方即可得出结果.12．【答案】【第1空】∠ACB或∠ABC；【解析】【解答】∵∠BAC＝∠EAD（公共角）， 再由∠AED＝∠ACB或∠AED＝∠ABC，即可证明，△ADE与△ABC相似，故答案为：∠ACB或∠ABC.【分析】由题意可知∠A是公共角，根据“两个角对应相等的两个三角形相似”得∠AED＝∠ACB或∠AED＝∠ABC可求解（答案不唯一）.13．【答案】【第1空】①；【解析】【解答】解：所有的正方形都相似，所以①正确； 所有的菱形不一定相似，所以②错误；边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误；对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；故答案是：①.【分析】根据相似多边形的定义逐一判断即可.14．【答案】【第1空】8.5；【解析】【解答】解，根据题意得， ∴ ∴ ∴ 故答案为：8.5【分析】根据题意得 ， 利用相似三角形的对应边成比例即可求解.15．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：∵在正方形ABCD中，AF⊥EG， ∴∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，∴∠FAB =∠AGE，又∵∠ABF=∠GAE=90°，∴ ，∴ ，即： ，∴BF= .故答案是： .【分析】利用正方形的性质及垂直的定义可证∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，可推出∠FAB =∠AGE，由此可推出△ABF∽△GAE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出BF的长.16．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：设BE＝m ， DE＝n ， 则AE＝2 ﹣n ， CE＝2 ﹣m ， ∵AE⊥BC ， ∠ACD＝90°，∴∠ACE＋∠EAC＝90°，∠ACE＋∠DCE＝90°，∴∠EAC＝∠DCE ， ∠AEC＝∠CED ， ∴△AEC∽△CED ， ∴ ，即 ，∴m 2＋n 2﹣4 m﹣2 n＝﹣20①，∵AE⊥BC ， ∴AE 2＋BE 2＝AB 2 ， 即（2 ﹣n）2＋m 2＝20，∴m 2＋n 2＝4 n②，联立①②得4 n﹣4 m﹣2 n＝﹣20，∴m＝ n＋ ，代入②得（ n＋ ）2＋n 2＝4 n ， 解得n＝ 或2 （不合题意，舍去），∴m＝ ，在Rt△BED中，BD＝ ＝ ＝2 ．故答案为：2 ．【分析】设BE＝m ， DE＝n ， 则AE＝2 ﹣n ， CE＝2 ﹣m ， 证明△AEC∽△CED ， 根据相似三角形的性质可得 ， 可得m 2＋n 2﹣4 m﹣2 n＝﹣20①，由勾股定理得出AE 2＋BE 2＝AB 2 ， 可得m 2＋n 2＝4 n②，联立得出m＝ n＋ ，代入②得（ n＋ ）2＋n 2＝4 n ， 即可求出m＝ ，根据勾股定理求出BD的长。17．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：由折叠的性质得AE=A'E ， 又AE= ， ∴A'E= ，∵A'E=A'F ， ∠EA'B=∠EAB=90°，∴△A'EF为等腰直角三角形，∴EF= A'E=2，∠EFC'=45°，∴AF=AE+EF= +2，△ABF为等腰直角三角形，∴AB=AF= +2，∠ABF=45°，∴∠ABE=∠HBF=22.5°，由折叠的性质得∠C'HF=∠DHF ， ∠BHC=∠BHC'，∴∠BHF=∠BHC'+∠C'HF=90°，∵∠C'FH=∠BFH ， ∠BHF=∠FC'H=90°，∴△FHC'∽△FBH ， 同理△ABE∽△FBH ， ∴△FDH∽△EAB，∴ ，∵DH=C'H=CH ， ∴DF= AE= ，∴AD=AF+DF= +2．故答案为： +2．【分析】先求出EF= A'E=2，∠EFC'=45°，再求出△FDH∽△EAB，最后计算求解即可。18．【答案】证明：∵ ， ∴ ， ，∴ ， ，∴ ，∴ .【解析】【分析】 根据相似三角形的性质得出 ， ， 从而得出 ， ， 根据两边成比例且夹角相等即证结论.19．【答案】解：过点D作 于点P，交 于点N，过点M作 于点Q，交 于点K， 由题意可得： ， 米， ， 米， 米.， ， ，，， ，， .， .（米）.答：这棵樱花树 的高度是8.8米.【解析】【分析】 过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，证得△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，利用相似三角形的对应边成比例即可求得AB． 20．【答案】 （1）解：如图，△DEF为所求，（2）解：如图， △PQR为所求，【解析】【分析】（1）由△ABC的边长分别为1、和 ， 构造△DEF的边长分别为、2和即可；（2）由△ABC的边长分别为1、和 ， 构造△DEF的边长分别为、和5即可.21．【答案】 （1）证明：∵ ， ， ∴ ，∴ ；（2）解：由（1）可知 ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ .【解析】【分析】（1）根据 可得 ， 根据 可得 可得结果；（2）由（1）可得 ， ，根据相似三角形面积比=相似比的平方可得 ，即可得结果. 22．【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DF，AD∥BC，∵AE平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝∠F，∴AD＝DF，∵∠GDF＝∠F，∴△GDF∽△DAF，∴ ，∴ ；（2）解：∵AF平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAF，∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAF，∴∠BEA＝∠BAE，∴ 是等腰三角形，∴BA＝BE＝6，∵BG⊥AE，∴AG=EG，∵∠BEA＝∠CEF，∴∠CEF＝∠F，∴EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，∴ ，即AG＝GE＝EF，∵△GDF∽△DAF，AD=FD，∴DG=FG，∴DG= ，∵ ，∴ AF2＝81，∴AF＝ ．【解析】【分析】（1）先求出 AB∥DF，AD∥BC， 再求出 △GDF∽△DAF， 最后求解即可；（2）先求出 ∠BEA＝∠BAE， 再求出 DG=FG， 最后求解即可。