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高中数学5.3 导数在研究函数中的应用教学课件ppt
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这是一份高中数学5.3 导数在研究函数中的应用教学课件ppt，共29页。PPT课件主要包含了学习目标，活动方案，检测反馈等内容，欢迎下载使用。
学习目标活动方案 检测反馈
学习目标XUE XIMU BIAO 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条 件 .2.理解极值与极值点的概念，能利用导数求某些函数的极大值与极 小值.3.学会绘制极值与导数的关系表，掌握求函数极值的步骤.
思考1▶D▶观察下图，我们发现，当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大.那么,函数 h(t)在此点的导数是多少呢?此点附近的图象有什么特点?相应地，导数的正负性有
活动一理解函数极值的概念，掌握极值与导数的关系
【解析】 从t=a 附近函数h(t)的图象可以看出，h'(a)=0; 在t=a 的附 近，当t0; 当t>a 时，函数h(t)单调递减， h'(t)<0.这就是说，在t=a 附近，函数值先增(当t0)后减(当t>a 时 ，h'(t)<0),这样，当t在a的附近从小到大经过a时 ，h'(t)先正后负，且 h'(t)连续变化，于是有h'(a)=0.
思考2DD▶如图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么 关系? y=f(x) 在这些点的导数值是多少?在这些点附近，y=f(x) 的导数的正负性有什 么规律?
【解析】 以x=a,b 两点为例，可以发现，函数y=f(x) 在点x=a 的函 数值f(a)比它在点x=a 附近其他点的函数值都小，f(a)=0; 而且在x=a 点 附近的左侧f(x)<0, 右侧f(x)>0. 类似地，函数 y=f(x) 在点x=b 的函数值 f(b)比它在点x=b 附近其他点的函数值都大，f(b)=0; 而且在点x=b 附近 的左侧f(x)>0, 右侧f(x)<0.
⑩1.结合上图探求函数的极大值与导数的关系：
⑩其中x₁,x₂ 叫作函数的极大值点与极小值点，极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值.
0 2.试类比探求极小值与导数的关系：
例 1 求函数 的极值.【解析】 因为 , 所 以f(x)=x²-4=(x+2)(x—2).令f (x)=0,解得x=—2 或 x=2.当x 变化时，f(x),f(x) 的变化情况如下表所示：
活动二 掌握求函数极值的方法
结⑩求函数的极值的一般步骤：⑩(1)先求导得f(x);⑩(2)解方程f(x)=0, 求 出x的值；⑩(3)列表检查f(x)在f(x)=0的根左右的值的符号来确定函数的极值.
【解析】不一定，如函数f(x)=x³,导数为f(x)=3x².虽然 但 由于无论x>0, 还是x<0, 恒有f(x)>0, 即函数f(x)=x³ 是增函数，所以0不 是函数f(x)=x³的极值点.一般地，函数y=f(x)在某点的导数值为0是函数 y=f(x)在该点取极值的必要条件而非充分条件.
思考3>DD若x₀是可导函数f(x)的极值点，则f(x₀)=0.反过来，若f(x₀)=0,则x₀一定是函数f(x) 的极值点吗?能否举例说明?
【解析】因 为令f (x)=0,解得x=0 或 x=2. 当x 变化时，f (x),f(x)的变化情况如下表所示.
例 2 求函数 的极值，并画出其图象.
【解析】由题意，得y'=3x²-6, 令y'>0, 解得x>\2或x<- √2; 令y'<0, 解得一 √21.函数y=x³-6x 的极大值为(A)A.4 2 B.3/2C. 3√2 D.—441/2
02. 如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象，则函数y=f(x)的极小值点的个数为(
【解析】设f(x)的图象与x轴的两个交点横坐标分别为a,b, 其中a0, 所以此时函数f(x)在区间(一0,a),(b, 十)上单调递增；在区间(a,b) 上 ，f(x)<0, 此时 f(x)在区间(a,b) 上单调递减，所以当x=a 时，函数取得极大值；当x=b 时，函数取得极小值，故函数y=f(x) 的极小值点的个数为1.
是函数y=xf(x)的图象，则下列说法中正确的有( )A. 函数f(x)的单调减区间是(一。,2)B.函数f(x)的单调增区间是(一2,十)C.x=0 是函数f(x)的零点D.x=—2 时函数f(x)取极小值
3.(多选)(2022·南京金陵中学期末)已知函数f(x) 的定义域为R, 导数为f(x), 如图
【解析】 由图可知，当x∈( 一 0,一 2)时，f(x)<0, 则 f(x)单调递减， 当x∈(一2,0)时，f(x)>0, 则f(x)单调递增，当x∈(0,十 )时 ，f(x)≥0, 则f(x)单调递增，所以f(x)在x=—2 时取极小值，故A 错 误 ，B 正 确 ，D 正 确；对于C, 不能判定0是f(x)的零点，故C 错误 .故选BD.
-104.已知函数f(x)=xln x,则y=f(x)的极小值为 二e
【解析】(1)由题意，得 令f(x)=0,解得x= √3或x= 一 √3.当x 变化时，f (x),f(x)的变化情况如下表：
(2)f(x)=x—2csx;(3)f(x)=e×—ex.
5.求下列函数的极值：
所以当x= 一√ 3时，f(x)有 二 3 时 ，f(x)有
(2)由题意，得f (x)=1+2sinx,令f (x)=0,则所以 或 其中k∈Z.当 xe[-56+2km,-6+2km,kez 时，函数单调递减；当 ,k∈Z 时，函数单调递增，1 2 3
则当 ,k∈ Z 时，函数取得极小值 当 时，函数取得极大 ,k∈Z.(3)由题意，得f (x)=e×—e,令y′=0, 解 得x=1.当x∈(一一，1)时，f(x)<0, 函数单调递减；当x∈(1,十一)时，f(x)>0, 函数单调递增，则当x=1 时 ，f(x) 有极小值f(1)=e—e=0.
学习目标活动方案 检测反馈
学习目标XUE XIMU BIAO 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条 件 .2.理解极值与极值点的概念，能利用导数求某些函数的极大值与极 小值.3.学会绘制极值与导数的关系表，掌握求函数极值的步骤.
思考1▶D▶观察下图，我们发现，当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大.那么,函数 h(t)在此点的导数是多少呢?此点附近的图象有什么特点?相应地，导数的正负性有
活动一理解函数极值的概念，掌握极值与导数的关系
【解析】 从t=a 附近函数h(t)的图象可以看出，h'(a)=0; 在t=a 的附 近，当t0; 当t>a 时，函数h(t)单调递减， h'(t)<0.这就是说，在t=a 附近，函数值先增(当t
思考2DD▶如图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么 关系? y=f(x) 在这些点的导数值是多少?在这些点附近，y=f(x) 的导数的正负性有什 么规律?
【解析】 以x=a,b 两点为例，可以发现，函数y=f(x) 在点x=a 的函 数值f(a)比它在点x=a 附近其他点的函数值都小，f(a)=0; 而且在x=a 点 附近的左侧f(x)<0, 右侧f(x)>0. 类似地，函数 y=f(x) 在点x=b 的函数值 f(b)比它在点x=b 附近其他点的函数值都大，f(b)=0; 而且在点x=b 附近 的左侧f(x)>0, 右侧f(x)<0.
⑩1.结合上图探求函数的极大值与导数的关系：
⑩其中x₁,x₂ 叫作函数的极大值点与极小值点，极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值.
0 2.试类比探求极小值与导数的关系：
例 1 求函数 的极值.【解析】 因为 , 所 以f(x)=x²-4=(x+2)(x—2).令f (x)=0,解得x=—2 或 x=2.当x 变化时，f(x),f(x) 的变化情况如下表所示：
活动二 掌握求函数极值的方法
结⑩求函数的极值的一般步骤：⑩(1)先求导得f(x);⑩(2)解方程f(x)=0, 求 出x的值；⑩(3)列表检查f(x)在f(x)=0的根左右的值的符号来确定函数的极值.
【解析】不一定，如函数f(x)=x³,导数为f(x)=3x².虽然 但 由于无论x>0, 还是x<0, 恒有f(x)>0, 即函数f(x)=x³ 是增函数，所以0不 是函数f(x)=x³的极值点.一般地，函数y=f(x)在某点的导数值为0是函数 y=f(x)在该点取极值的必要条件而非充分条件.
思考3>DD若x₀是可导函数f(x)的极值点，则f(x₀)=0.反过来，若f(x₀)=0,则x₀一定是函数f(x) 的极值点吗?能否举例说明?
【解析】因 为令f (x)=0,解得x=0 或 x=2. 当x 变化时，f (x),f(x)的变化情况如下表所示.
例 2 求函数 的极值，并画出其图象.
【解析】由题意，得y'=3x²-6, 令y'>0, 解得x>\2或x<- √2; 令y'<0, 解得一 √2
02. 如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象，则函数y=f(x)的极小值点的个数为(
【解析】设f(x)的图象与x轴的两个交点横坐标分别为a,b, 其中a
是函数y=xf(x)的图象，则下列说法中正确的有( )A. 函数f(x)的单调减区间是(一。,2)B.函数f(x)的单调增区间是(一2,十)C.x=0 是函数f(x)的零点D.x=—2 时函数f(x)取极小值
3.(多选)(2022·南京金陵中学期末)已知函数f(x) 的定义域为R, 导数为f(x), 如图
【解析】 由图可知，当x∈( 一 0,一 2)时，f(x)<0, 则 f(x)单调递减， 当x∈(一2,0)时，f(x)>0, 则f(x)单调递增，当x∈(0,十 )时 ，f(x)≥0, 则f(x)单调递增，所以f(x)在x=—2 时取极小值，故A 错 误 ，B 正 确 ，D 正 确；对于C, 不能判定0是f(x)的零点，故C 错误 .故选BD.
-104.已知函数f(x)=xln x,则y=f(x)的极小值为 二e
【解析】(1)由题意，得 令f(x)=0,解得x= √3或x= 一 √3.当x 变化时，f (x),f(x)的变化情况如下表：
(2)f(x)=x—2csx;(3)f(x)=e×—ex.
5.求下列函数的极值：
所以当x= 一√ 3时，f(x)有 二 3 时 ，f(x)有
(2)由题意，得f (x)=1+2sinx,令f (x)=0,则所以 或 其中k∈Z.当 xe[-56+2km,-6+2km,kez 时，函数单调递减；当 ,k∈Z 时，函数单调递增，1 2 3
则当 ,k∈ Z 时，函数取得极小值 当 时，函数取得极大 ,k∈Z.(3)由题意，得f (x)=e×—e,令y′=0, 解 得x=1.当x∈(一一，1)时，f(x)<0, 函数单调递减；当x∈(1,十一)时，f(x)>0, 函数单调递增，则当x=1 时 ，f(x) 有极小值f(1)=e—e=0.
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