初中数学人教版（2024）八年级上册15.3 分式方程教案设计

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册15.3 分式方程教案设计，共12页。教案主要包含了分式方程的概念.，解分式方程的基本思想——化归.，解分式方程的一般步骤，例题讲解.等内容，欢迎下载使用。
课时目标
1.让学生经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识.
2.通过探究分式方程解法的过程,让学生感受增根产生的合理性及验根的必要性,提升学生思维的深度认知.
3.通过使学生经历运用所学知识解分式方程的过程,让学生体会化归的数学思想和数学知识之间的内在联系,进一步提高学生的运算能力.
学习重点
分式方程的解法.
学习难点
理解解分式方程时可能无解的原因.
课时活动设计
新知引入
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它以最大航速沿江顺流航行90千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等,江水的流速为多少?
分析:设江水的流速为v千米/时,
(1)轮船顺流航行速度为 30+v 千米/时,逆流航行速度为 30-v 千米/时;
(2)顺流航行90千米的时间为 9030+v 小时,逆流航行60千米的时间为 6030-v 小时;
(3)根据题意可列方程为 9030+v=6030-v .
想一想,像这样的方程属于什么方程,应该怎样解呢?
设计意图:通过经历实际问题→列分式方程,让学生体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型,发展学生分析问题和解决问题的能力,培养应用意识,激发学生的探究欲与学习热情,为探索分式方程的解法做准备.
探究新知
探究1 分式方程的概念
问题1:什么是方程?我们学习过哪些方程?它们都是怎么定义的?
学生代表发言,教师总结.教师引导学生通过类比的方法得到分式方程的概念.
分式方程的概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的特征:①是等式;②分母中含有未知数.
问题2:下列关于x的方程中哪些是分式方程?
(1)1x=5;(2)x5=1;(3)x2-x+13=0;
(4)2x+2-1x;(5)4x+3y=7;(6)12x2-2a=1.
学生独立完成.
探究2 分式方程的解法
1.解方程:2x-13-3x-12=116.
请两名学生上台板演,教师给出正确的解答过程.
解:去分母,得2(2x-1)-3(3x-1)=11.
去括号,得4x-2-9x+3=11.
移项,得4x-9x=11+2-3.
合并同类项,得-5x=10.
系数化为1,得x=-2.
2.解分式方程:9030+v=6030-v.
分析:先将分式方程转化为整式方程.
解:9030+v=6030-v
去分母,两边同乘(30+v)(30-v)
90(30-v)=60(30+v)
去括号
2 700-90v=1 800+60v
移项
-90v-60v=1 800-2 700
合并同类项
-150v=-900
系数化为1
v=6
思考:v=6是原分式方程的解吗?
将v=6代入原方程中,左边=52=右边,因此v=6是原分式方程的解.
总结:解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母.
探究3 增根
解方程:1x-5=10x2-25.
解:方程两边同乘最简公分母(x-5)(x+5),得整式方程x+5=10.
解得x=5.
将x=5代入原分式方程检验,分母x-5和x2-25的值都为0,相应的分式无意义.
所以这个分式方程无解.
思考:上面两个分式方程中,为什么9030+v=6030-v①去分母后所得整式方程的解就是①的解,而1x-5=10x2-25②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢?
学生分小组进行交流,学生代表发言,教师总结.
总结:一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应做如下检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.
设计意图:引导学生观察、反思、对比方程①②的解法,得出解分式方程时检验的必要性和具体检验方法.让学生经历这样的探究过程,促使学生深刻地领悟数学知识、数学方法产生的合理性,有利于提升学生的思维能力.
典例精讲
例 解方程:
(1)2x-3=3x; (2)xx-1-1=3(x-1)(x+2).
解:(1)方程两边同乘x(x-3),得2x=3x-9.解得x=9.
检验:当x=9时,x(x-3)≠0.
所以,原分式方程的解为x=9.
(2)方程两边同乘(x-1)(x+2),得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.解得x=1.
检验:当x=1时,(x-1)(x+2)=0,因此x=1不是原分式方程的解.
所以,原分式方程无解.
设计意图:通过例题,使学生熟悉解分式方程的步骤以及检验方法,规范解题步骤及书写格式,加深学生对分式方程解法的认识.
课堂小结
1.分式方程的概念是什么?
2.怎样解分式方程?
设计意图:让学生自己总结本节课的内容,帮助学生巩固所学知识,培养学生的总结概括能力.
课堂8分钟.
1.教材第150页,152页练习,第154页习题15.3第1题.
2.七彩作业.
第1课时 分式方程
一、分式方程的概念.
二、解分式方程的基本思想——化归.
三、解分式方程的一般步骤:
1.化——化分式方程为整式方程(去分母);
2.解——解整式方程;
3.检验——检验所得整式方程的解是否为原分式方程的解.
四、例题讲解.
教学反思

第2课时 分式方程的实际应用——工程、行程问题
课时目标
1.让学生经历用分式方程解决实际问题的过程,体会分式方程是刻画现实世界问题的有效数学模型,培养学生的建模思想.
2.通过让学生列分式方程解决具体实际问题,培养学生的数学应用意识,提高学生分析问题和解决实际问题的能力.
3.通过列分式方程解应用题,使学生进一步掌握列方程解应用题的方法和步骤,体会检验的必要性,渗透方程思想.
学习重点
会列分式方程解决实际问题.
学习难点
实际问题中相等关系的提炼及转化为方程的过程.
课时活动设计
回顾旧知
1.解分式方程:1x-2+1=x+12x-4.
2.列方程解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、验、答 .
3.常见等量关系式:
路程=时间×速度;工作总量=工作效率×工作时间;顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度;利润=售价-进价.
设计意图:复习解方程的步骤、列方程解决实际问题的步骤和常见等量关系式,唤醒学生已有的知识体系,为本节课的学习作铺垫.
探究新知
问题:一艘轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同,若水流速度为3千米/时,求轮船在静水中的速度.
分析:设轮船在静水中的速度为x千米/时,则顺水航行的速度为 x+3 千米/时,逆水航行的速度为 x-3 千米/时,顺水航行的时间为 40x+3 小时,逆水航行的时间为 30x-3 小时,根据题意,可得方程 40x+3=30x-3 .
解:设轮船在静水中的速度为x千米/时,则40x+3=30x-3,解得x=21.
检验:当x=21时,(x+3)(x-3)≠0,
所以,x=21是原分式方程的解.
答:轮船在静水中的速度为21千米/时.
对比列整式方程解应用题的步骤,学生交流讨论、教师归纳总结出列分式方程解实际问题的步骤:审、设、列、解、验、答.
设计意图:用同学们熟悉的实际问题引入分式方程的模型,激发学生对本节课学习的兴趣.通过这道实际问题的解决,加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识.
典例精讲
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的13,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快?
解:设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x.记总工程量为1,根据工程的实际进度,得13+16+12x=1.
方程两边乘6x,得2x+x+3=6x.解得x=1.
检验:当x=1时,6x≠0.
所以,原分式方程的解为x=1.
由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,对比甲队1个月完成任务的13,可知乙队的施工速度快.
例2 某次列车平均提速v km/h.用相同的时间,列车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50 km,提速前列车的平均速度是多少?
解:设提速前这次列车的平均速度为x km/h,则提速前它行驶s km所用时间为sxh;
提速后列车的平均速度为(x+v)km/h,提速后它行驶(s+50)km所用时间为s+50x+v h.
根据行驶时间的等量关系,得sx=s+50x+v.
方程两边乘x(x+v),得s(x+v)=x(s+50).解得x=sv50.
检验:由v,s都是正数,得x=sv50时,x(x+v)≠0.
所以,原分式方程的解为x=sv50.
答:提速前列车的平均速度为sv50 km/h.
设计意图:通过例题让学生巩固解题步骤,规范书写格式,亲身体验建立分式方程解决实际问题的过程,提高学生分析问题和解决问题的能力.
课堂小结
1.列分式方程解决实际问题的一般步骤是什么?
2.工程、行程问题中都存在哪些等量关系式?
设计意图:通过小结,让学生回顾本节课所学内容,提高学生的归纳总结能力.
课堂8分钟.
1.教材第154页练习第1,2题,第154页习题15.3第3题.
2.七彩作业.
第2课时 分式方程的实际应用——工程、行程问题
一、列分式方程解决实际问题的一般步骤:审、设、列、解、验、答.
二、例题讲解.
教学反思

第3课时 分式方程的实际应用——销售及其他问题
课时目标
1.通过使学生经历用分式方程解决销售问题的过程,体会分式方程是刻画现实世界问题的有效数学模型,培养学生的建模思想.
2.通过让学生列分式方程解决销售问题,培养学生的数学应用意识,提高学生分析问题和解决实际问题的能力.
学习重点
会列分式方程解决销售问题.
学习难点
销售问题中相等关系的寻找及转化为方程的过程.
课时活动设计
回顾旧知
1.列分式方程解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、验、答 ;
2.销售问题中基本量之间有什么关系?
利润= 售价-进价 ;利润率= 利润进价 ;总价= 单价×数量 ;打折后的销售价= 单价×折扣 ;……
设计意图:通过复习列分式方程解决实际问题的步骤和销售问题中常见的基本量之间的关系,唤起学生已有的知识体系,为本节课的学习做好准备.
探究新知
问题:在某“爱心义卖”活动中,商家购进甲、乙两种文具,甲每个进货价比乙高10元,90元购买乙的数量与150元购买甲的数量相同.求甲、乙的进货价.
分析:设甲的进货价为x元,则乙的进货价为 x-10 元,150元可以购买甲的数量为 150x 个,90元可以购买乙的数量为 90x-10 个,根据题意,可得方程 150x=90x-10 .
解:设甲的进货价为x元/个,则150x=90x-10,解得x=25.
经检验,当x=25时,x(x-10)≠0,所以x=25是原分式方程的解.
x-10=25-10=15.
答:甲的进货价为25元/个,乙的进货价为15元/个.
设计意图:用同学们熟悉的实际问题题引入分式方程的模型,激发学生们对本节课学习的兴趣,加深学生对解分式方程的步骤和解应用题步骤的认识.
典例精讲
例 某超市用5 000元购进一批新品种的苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又用11 000元购进该品种的苹果,但这次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元,购进苹果的数量是试销时的2倍.
(1)试销时该品种的苹果的进货价是每千克多少元?
(2)如果超市将该品种的苹果每次都按每千克7元的定价出售,当大部分苹果售出后,余下的400千克按定价的七折(“七折”即定价的70%)售完,那么超市两次销售该品种苹果共赢利多少元?
解:(1)设试销时该品种的苹果的进货价是每千克x元.
根据题意,得2×5000x=11000x+0.5,解得x=5.
经检验,x=5是原分式方程的解.
答:试销时该品种的苹果的进货价是每千克5元.
(2)试销时购进苹果的数量为50005=1 000(千克),第二次购进苹果的数量为2×1 000=2 000(千克).
赢利为(1 000+2 000-400)×7+400×7×0.7-5 000-11 000=4 160(元).
答:超市两次销售该品种苹果共赢利4 160元.
设计意图:通过例题引导学生再次体会建立分式方程解决销售问题的过程,增强学生对销售问题中基本量之间关系的深刻理解,培养学生的应用意识.教学中,教师应注意鼓励学生积极探究,充分发挥学生的主观能动性,让学生经过自己的努力,最终解决实际问题,体验到获得成功后的喜悦.
巩固训练
某商城销售一种商品,第一个月将此商品的进价提高25%作为销售价,共获利6 000元.第二个月商场搞促销活动,将商品的进价提高10%作为销售价,第二个月的销售量比第一个月增加了80件,并且商场第二个月比第一个月多获利400元.此商品的进价是每件多少元?商场第二个月共销售此商品多少件?
解:设此商品的进价为每件x元.
根据题意,得6000+40025%x=600025%x+80,解得x=500.
经检验,x=500是原分式方程的解.
6000+40010%×500=128(件).
答:此商品的进价是每件500元,商场第二个月共销售此商品128件.
设计意图:通过练习巩固所学,提高学生分析和解决问题的能力.
课堂小结
1.列分式方程解决实际问题的步骤是什么?
2.销售问题中常见量之间有什么关系?
设计意图:通过小结,让学生回顾本节课所学内容,提高学生的归纳总结能力.
课堂8分钟.
1.教材第155页习题15.3第7,8题.
2.七彩作业.
第3课时 分式方程的实际应用——销售及其他问题
一、列分式方程解决实际问题的一般步骤:审、设、列、解、验、答.
二、销售问题中常见量之间的关系.
三、例题讲解
教学反思