人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用第2课时学案及答案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用第2课时学案及答案，共5页。学案主要包含了问题提出，类比学习，自主探究，概念辨析，巩固新知，课堂小结，课后作业 小本A组题素养目标等内容，欢迎下载使用。

一、问题提出
（图1）
问题1：观察图1，函数y=f(x)在点a,c的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?
极大值、极大值点：一般地, 设函数y=f(x)在x0及其附近有
定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值 , 我们说 是函数y=f(x)的一个极大值; 并把 称为函数f(x)的一个极大值点. （从函数值的角度出发定义）
注：从形的角度来看，极大值是函数图像上山顶处的纵坐标，极大值点是函数图像上山顶处的横坐标.
问题2：观察图1，函数y=f(x)在点a,c的导数值是多少?
问题3：在点a,c附近, y=f(x)的导数的符号有什么规律?
利用导数研究极大值、极大值点：
对于可导函数f(x)，
= 1 \* GB3 ①若x0满足
= 2 \* GB3 ②在 x0附近的左侧 ，右侧 ,
那么 是函数f(x)的一个极大值点， 是函数f(x)的一个极大值.
二、类比学习，自主探究
问题4：如图1，函数y=f(x)在点b,d的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?
问题5：函数y=f(x)在点b,d的导数值是多少?
问题6：在点b,d附近, y=f(x)的导数的符号有什么规律?
极小值、极小值点：一般地, 设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,
如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值 , 我们说 是函数y=f(x)的一个极小值; 并把 称为函数f(x)的一个极小值点. （从函数值的角度出发定义）
注：从形的角度来看，极大值是图像上山谷处的纵坐标，极大值点是图像上山谷处的横坐标。
利用导数研究极小值、极小值点：
对于可导函数f(x)，
= 1 \* GB3 ①若x0满足
= 2 \* GB3 ②在 x0附近的左侧 ，右侧 ,
那么 是函数f(x)的一个极小值点， 是函数f(x)的一个极小值.
注： 一般来说，“f′(x0)＝0”是“函数y＝f(x)在点x0处取得极值”的必要不充分条件．若可导函数y＝f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，那么f′(x0)＝0；反之，若f′(x0)＝0，则点x0不一定是函数y＝f(x)的极值点．
5．极值：极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．在定义中, 极值点是 , 极值指的是对应的 .
三、概念辨析，巩固新知
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)极大值就是函数的最大值；( )
(2)函数的极大值比极小值大； ( )
(3)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个； ( )
(4) 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点； ( )
(5)若函数f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内一定不单调．( )
(6)导数值为0的点一定是函数的极值点．( )
注：对极值概念的再理解 (1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值；(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个；(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系；(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点；(5)单调函数一定没有极值．
典型示范
角度一 已知函数或导函数的图象判断极值
例1.（1）(多选)如图是函数y＝f(x)的图象，则( )
A．在x＝－2时，函数y＝f(x)取得极值
B．在x＝1时，函数y＝f(x)取得极值
C．y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零
D．函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增
（2）(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则( )
A．在x＝－2时，函数y＝f(x)取得极值
B．在x＝1时，函数y＝f(x)取得极值
C．y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零
D．函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增
变式1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
角度二 求函数的极值
例2. 求函数fx=13x3−4x+4的极值.
注：函数极值和极值点的求解步骤(1)求函数的定义域、f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；(4)写结论
角度三 已知函数的极值，求参数的值或范围
例3 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝
注：已知函数的极值，求参数的值或范围的方法：
(1)常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解；(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．
变式3：已知函数f(x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R，e是自然对数的底数)在x＝0处取得极小值，则m＝________，这时f(x)的极大值是________．
五、课堂小结：
六、课后作业 小本A组题素养目标
学科素养
1. 了解极值、极值点的概念．(重点)
2．理解函数在某点取得极值的条件．(难点)
3．掌握求函数极值的方法步骤．(重点)
1. 数学抽象；
2．直观想象；
3．数学运算