人教版（2024）八年级上册12.1 全等三角形优秀巩固练习

这是一份人教版（2024）八年级上册12.1 全等三角形优秀巩固练习，共39页。

【模型1】“共顶点等角”模型； 【模型2】“8字”模型；
【模型3】“一线三直角”模型； 【模型4】“一线三等角”模型；
【模型5】“手拉手”模型； 【模型6】“倍长中线”模型；
【模型7】“截长补短”模型； 【模型8】“半角”模型.
【模型1】“共顶点等角”模型；
1．（2024·陕西西安·二模）如图，点E在外部，点D在边上，若，，，求证：．
2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，，，试说明：．
（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知和的位置如下图所示，.
求证：(1)．(2)
【模型2】“8字”模型；
4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点D在延长线上，点E是外一点，连接．若，，求证：．

5．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，点在的外部，点边上，交于点，若，，．
求证：．
6．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，为高，且，点为上一点，，连接．
(1)求的长；
(2)判断直线与的位置关系，并说明理由；
【模型3】“一线三直角”模型；
7．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在中，，，直线经过点，且于，于．
(1)如图1的位置时，求证：；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
8．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，，，，，垂足分别是．
(1)求证：；
(2)猜想线段之间具有怎样的数量关系，并说明理由．
9．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，已知：于点B，于点C，点E在线段上，且．
(1)请写一对相等的角：__________________．
(2)求证：．
【模型4】“一线三等角”模型；
10．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接AD，作，DE交线段于．
(1)当时，，；
(2)当等于多少时，，请说明理由．
11．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且．
(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上．
①如图1，若，，试判断和的数量关系，并说明理由；
②如图2，若，请添加一个关于α与关系的条件，使①中的条件仍然成立，并说明理由．
(2)如图3.若直线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由．
12．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且．
(1)若直线经过内部，且E、F在射线上，设：
①如图1，若，，求证：．
②如图2，若，①中结论是否成立？请说明理由．
(2)如图3，直线经过外部，若，请直接写出线段，，之间的数量关系．
【模型5】“手拉手”模型；
（23-24八年级上·湖南郴州·期末）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．
求证：(1) ；(2)．
14．（2024八年级上·全国·专题练习）已知：如图，， ，，求证：．
15．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知中，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以AD为边作，连接CE．
(1)发现问题：如图①，当点在边上时．
①请写出和之间的数量关系为，位置关系为；
②求证：；
(2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立?若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明．
(3)拓展延伸：如图③，当点在的
延长线上且其他条件不变时，若，求线段的长．并求的面积．
【模型6】“倍长中线”模型；
16．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围．
17．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.
(1)如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围；
同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．
请你根据同学们的方法解答下面的问题：
①根据题意，补全图形；
②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）；
③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）；
(2)如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由．
18．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】
（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：．
【理解与运用】
（2）如图2，是的中线，若，求的取值范围；
（3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：．
【模型7】“截长补短”模型；
19．（14-15八年级上·四川自贡·期末）如图所示， ，，分别是，的平分线，点E在上，求证：．

20．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．

21．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，，，分别平分和，经过点．求证：．
【模型8】“半角”模型.
22．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中两边、上有两点M、N，D为外一点，且，，，．
(1)猜想线段、、之间的数量关系并证明；
(2)若，，求的周长．
23．（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若．求证：；
（2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论．
24．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【问题背景】
在四边形中，，，，分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______．
【探索延伸】
在四边形中如图，，，分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里小时的速度，前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，此时两舰艇之间的距离是______海里．若此时两个舰艇，同时接到命令，都以海里小时的速度前进并尽快汇合，最短需要______小时．
参考答案：
1．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先证明，根据证明，得出结论即可．
【详解】证明：，
，
，
∵和中，
，
．
．
2．详见解析
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，
利用证明，根据全等三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
3．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（）证明即可求证；
（）证明即可求证；
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
4．证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质先证明，进而证明，则可证明．
【详解】证明：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
5．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．根据三角形内角和定理得到，再根据，，，判定，即可得到．
【详解】证明：，
，
，
，
，，
，
在与中，
，
，
．
6．(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据是的高，可得，再结合，，即可证得，从而求得的长；
（2）根据，可得，再根据三角形外角的性质可将转化为的内角和，再根据，即可求得，从而证得．
【详解】（1）解：是的高，
，即，
又，，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图，延长交于点，
，
，
又，
，
又，
，
．
【点睛】本题考查的是三角形的高的含义，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，四边形内角和，掌握以上知识是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高．
（1）由于中，，，直线经过点，且于，于，由此即可证明，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；
（2）由于中，，，直线经过点，且于，于，由此仍然可以证明，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题；
（3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，仍然，然后利用全等三角形的性质可以得到．
【详解】（1）证明： 中，，
，
又直线经过点，且于，于，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（2）证明：中，，直线经过点，且于，于，
，，
，
在和中，
，
，
，，
；
（3）如图3，
中，，直线经过点，且于，于，
，，
，
在和中，
，
，
，，
；
、、之间的关系为．
8．(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据同角的余角相等得到，利用定理证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，结合图形解答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：，
理由如下：∵，
∴，
∴．
9．(1)A，2．（答案不唯一）
(2)证明见详解
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定以及性质．
（1）由直角三角形两锐角互余可得出，，等量代换可得出．
（2）利用证明，由全等三角形的性质可得出，，由已知等量代换可得出．
【详解】（1）解：∵，，
∴
∴，
又∵，
∴，
故答案为：A，2．（答案不唯一）
（2）由（1）可得，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴．
10．(1)，
(2)
【分析】此题主要考查三角形综合题，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．
（）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；
（）当时，利用，，求出，再利用，即可得出．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当时，，理由如下：
，
，
又，
，
，
在和中，
，
．
11．(1)①证明见解析；②，理由见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理，（1）①由，，可得，从而可证，故．
②若，则可使得．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，便可得证．
（2）题干已知条件可证，故，，从而可证明．
【详解】（1）解：①
证明：∵，
∴．
又∵，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
②解：，理由如下：
∵，
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∴，即．
12．(1)①见解析；②成立，见解析
(2)
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
（1）①证明，得出，，根据即可得出结论；
②先证明，再证明，得出，，即可得出结论；
（2）先证明，再证明，得出，，即可得出结论．
【详解】（1）证明：①由图知：，
又，
在中，，
，
，
，
，，
；
②结论成立，理由如下：
，，
，
又∵在中，，
，
，
，
，，
，
即①中两个结论还成立；
（2）解：，
，
又，且，
，
，，
，
，，
．
13．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．
（1）要证，现有，，需它们的夹角，而由很易证得，即可得出．
（2）、有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证，需证，需证可由直角三角形提供．
【详解】（1）证明： ，
，
，
在和中，
，
．
∴；
（2）解：∵，
，
，
，
，
则．
14．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形的内角和定理．
由，推导出，即可证明，得，即可由，，又，证明．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
，
又，
∴．
15．(1)①，；②见解析
(2)不成立，存在的数量关系为，理由见解析
(3)，
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用,等腰直角三角形的性质：
（1）①根据条件，，，，判定，即可得出和之间的关系；②根据全等三角形的性质，即可得到；
（2）根据已知条件，判定，得出，再根据，即可得到；
（3）根据条件判定，得出，进而得到，最后根据，，即可求得线段的长，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）①如图1，由题意，，，，，，
，
在和中，
，
，
，，
，即；
故答案为：，；
②由①得，
，
；
（2）不成立，存在的数量关系为．
理由：如图，由同理可得，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）如图3，由(1)同理可得，
在和中，
，
，
，
，
，，
．
，
，即
．
16．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．延长到，使，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论．
【详解】解：如图，延长到，使，连接，
∵是的中线，
，
在与中，
，
，
，
，
，即，
．
17．(1)①见解析；②；③
(2)，理由见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，解答本题的关键作出辅助线，构造出全等三角形．
（1）①根据题意补全图形即可；
②由是中线得到，又，，通过“”可证．据此可解答；
③由，，根据三角形的三边关系有，即，因此；
（2）延长，使得，连接，证明，可得，再证明即可．
【详解】（1）解：①根据题意画出图形：
；
②解：是中线，
，
在和中，
，
．
故答案为：；
③解：，
，
，
，即，
，
，
．
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图，延长，使得，连接，
根据（1）中原理可得，
，，
，
，
，
，
，
，
∴
．
18．（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
（1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证；
（2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案；
（3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证．
【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示：
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：延长至点，使，连接，如图所示：
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
在中，由三边关系可得，即，
∴；
（3）证明：延长至点，使，连接，如图所示：
∴，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
19．见解析
【分析】运用截长补短的方法，在上取点F，使，由角平分线定义得，，可证，得，结合平行线的性质可证，进一步证得，所以，得证结论．
【详解】在上取点F，使

∵，分别是，的平分线
∴，
∵
∴
在和中
∴
∴
∴
∵
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质；运用截长补短的方法构造全等三角形求证线段相等是解题的关键．
20．证明见解析
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论．
【详解】证明：，
，
、分别平分、，
，，
，
，
，
如图，在上截取，连接，

在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键．
21．证明见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
在上截取，连接，证明和，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】证明：如图，在上截取，连接，
，分别平分和，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
22．(1)；理由见解析
(2)13
【分析】（1）延长，则的延长线上取，连接，证明，得出，，证明，得出，根据，即可得出答案；
（2）根据，得出求出结果即可．
【详解】（1）解：；理由如下：
延长，则的延长线上取，连接，如图所示：

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，补角的性质，四边形内角和，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．
23．（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）延长至M，使得，根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．可得出，，那么．
【详解】证明：（1）延长至M，使得，连接，
，，
在与中
，
，
，，
，
在与中
，
，
，
，
即；
（2）线段、、之间的数量关系是，
在上截取，连接，
，，，
，
在与中
，
，
， ，
又∵，
，
在与中
，
，
，
∵，
∴．
【点睛】此题考查三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．
24．初步探索：；探索延伸：结论仍然成立，理由见解析；结论运用：，．
【分析】【初步探索】延长到，使连接， 先证明，再证明则可得到结论；
【探索延伸】延长到，使，连接，证明，再证明则可得到结论；
【结论运用】连接，延长交于点， 利用已知条件得到四边形中， 且符合具备的条件,则；
本题主要考查了四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
【详解】【初步探索】延长到，使连接，如图，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【探索延伸】结论仍然成立：，
证明：延长到，使，连接，如图，
∵，，
∴，
在△ABE和△ADG中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
【结论运用】连接，延长交于点，如图，
∵，，
∴，
∵，，
∴四边形中，，且
∴四边形符合探索延伸中的条件，
∴结论成立，
即（海里），
此时两个舰艇，同时接到命令，都以海里小时的速度前进并尽快汇合，最短需要（小时），
故答案为：；．