初中数学人教版（2024）八年级上册12.1 全等三角形精品习题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册12.1 全等三角形精品习题，共40页。

【考点1】利用全等三角形性质求角度与线段长； 【考点2】利用“SSS”求值与证明；
【考点3】利用“SAS”求值与证明； 【考点4】利用“ASA”或“AAS”求值与证明；
【考点5】利用“HL”求值与证明； 【考点6】添加条件证明三角形全等；
【考点7】尺规作图与三角形全等； 【考点8】添加辅助线证明三角形全等；
【考点9】利用角平分线性质与判定求值或证明； 【考点10】全等全角形综合问题.
单选题
【考点1】利用全等三角形性质求角度与线段长；
1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，平分，若，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
2．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图，，，三点共线，则下列结论中：①； ②；③；④；正确的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点2】利用“SSS”求值与证明；
3．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在和中，，与相交于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【考点3】利用“SAS”求值与证明；
5．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的网格，图形中各个顶点均为格点，设，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，，平分，下列结论∶① 平分；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．①③B．③④C．①③④D．②③④
【考点4】利用“ASA”或“AAS”求值与证明；
7．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，小丽在公园里荡秋千，她坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，当她荡到距地面高的处时，与的水平距离为，当她荡到与的水平距离为的处，，此时小丽距离地面的高度是（ ）

A．B．C．D．
8．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在与中，A、C、E三点在一条直线上，，，，若，，则的长为（ ）
A．10B．14C．24D．8
【考点5】利用“HL”求值与证明；
9．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图，，，，，则（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
10．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在和中，，过作，垂足为交的延长线于点，连接．四边形的面积为，则的长是（ ）
A．4B．C．3D．
【考点6】添加条件证明三角形全等；
11．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上．已知，．给出下列条件：①，②，③，④，能判定的是（ ）

A．①②③B．①②④C．①④D．①②③④
12．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，已知，要使得，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
【考点7】尺规作图与三角形全等；
13．（20-21八年级上·江苏扬州·期末）为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ）

A．或B．C．D．或
14．（17-18七年级下·北京海淀·期末）小明同学在学习完全等三角形以后，思考怎么用三角板平分一个角，经过研究他得到一种方法：如图，在已知的两边上，分别取，再分别用三角板过点，作，的垂线，交点为，画射线，则，所以平分．在此画图过程中的判定依据是（ ）
A．B．C．D．
【考点8】添加辅助线证明三角形全等；
15．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
16．（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为 边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ）
A．118°B．125°C．136°D．124°
【考点9】利用角平分线性质与判定求值或证明；
17．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）如图，平分，在上取一点，过作，垂足为，点是射线上一动点，连接，若，则的长度不可能是（ ）
A．B．C．D．
18．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，点，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点，则以下结论错误的是（ ）
A．B．
C．与相等的角只有D．
【考点10】全等全角形综合问题.
19．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，交于点，交于点，，，，给出下列结论：；②；③；，其中正确的有（ ）

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
20．（23-24八年级上·新疆克拉玛依·期末）如图，点是上的一点，若，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）．

A．①②B．③④C．②④D．②③
填空题
【考点1】利用全等三角形性质求角度与线段长；
21．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，，，，分别为线段和射线上的一点，若点从点出发，以的速度向点运动，同时点以的速度从点出发沿射线的方向运动，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点G，使与全等，则的长为 ．
22．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，已知，，，，则 ．
【考点2】利用“SSS”求值与证明；
23．（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，在与中，E在边上，，，，若，则 ， ．

24．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，，则 ．
【考点3】利用“SAS”求值与证明；
25．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，，将沿过点B的直线折叠，使点C落在点处，折痕是，延长交边于点M，若是的中点，则图中的的度数为 ．
26．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图在中 ，平分，，的面积为78，M、N分别是、上的点，则的最小值是 ．
【考点4】利用“ASA”或“AAS”求值与证明；
27．（23-24七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长是 ．
28．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为 ．
【考点5】利用“HL”求值与证明；
29．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在和中，，，，则 ．

30．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）在和中，，，，若边和上的高都是3，，则 ．
【考点6】添加条件证明三角形全等；
31．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，已知：与交于O点，，请添加一个你认为合适的条件： ，使．

32．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，与相交于点，，添加一个条件 ，使得．（填一个即可）

【考点7】尺规作图与三角形全等；
33．（21-22八年级上·河南南阳·期中）如图，已知∠MAB是锐角，，，．点C是射线AM上的一个动点．利用图形画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，BC长可选取的范围是 cm．若的形状、大小是唯一确定的，则BC的取值范围是 ．
34．（21-22七年级下·山东烟台·期中）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为 ．
【考点8】添加辅助线证明三角形全等；
35．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图所示，在中，，则边上的中线的长取值范围是 ．

36．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ．
【考点9】利用角平分线性质与判定求值或证明；
37．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图所示，在中，平分，于点，的面积为，，则的长为 ．
38．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ．
【考点10】全等全角形综合问题.
39．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，延长到E，使得，连接，过点A作，且．连接与的延长线交于D点，则的长为 ．
40．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，已知点B是边上的动点（不与A、C重合），在的同侧作等边和等边，连接交于点H，交于G，交于F，连接，则当最小时， ．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理和三角形的外角，解题的关键是能熟记全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．全等得到，外角的性质，求出，进而求出，三角形的内角和定理，求出，即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故选B．
2．C
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】延长交于H，延长交于F，

∵，
∴
∴，
∴，
∴
故①②正确，
∴，
故③是错误的，
∵，
∴，
故④是正确的，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，由条件可证，可求得，再利用三角形内角和求得，即可求解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查网格中的全等三角形，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．根据网格特点，可得出，进而可求解．
【详解】解：如图，
由图可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选C．
5．B
【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形外角的性质，根据全等三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解．
【详解】解：如图，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
6．C
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键．
根据平行线的性质及各角之间的等量代换得出，再由角平分线及等量代换可判断①；根据全等三角形的判定和性质可判断②和④；利用三角形面积的关系可判断③，即可得出结果．
【详解】解：∵ ，
∴
，
∵ 平分，

，
∴ 平分，故①正确；
在上截取，连接，
在和中，
∴
，
在和中，
，，
故②不正确，④正确；
，
∴，
故③正确；
故选：C．
7．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和性质．通过证明，得出、，求出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴、，
∴，
∵点B与地面距离为，
∴点E到地面的距离为，
∴，
∴点D到地面的距离为：，
小丽距离地面的高度为：．
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明两个三角形全等是关键；证明，由全等三角形对应边相等即可求解．
【详解】解：，
；
，
；
，，
；
，，
，
，
；
故选：A．
9．B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直角三角形中两个锐角互余，根据条件证明出两个直角三角形全等是解题的关键．
【详解】解：，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
10．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识．过点作于，证，得，再证，同理，得，进而得到的长．
【详解】解：过点作于，如图所示：
在和中，
，
∴，
，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
同理：，
∴，
∵，
，
，
∴，
解得：；
故选：A．
11．C
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，利用三角形全等的判定方法一一判断即可．
【详解】解：，
，
，
，
添加①，由，
可得；
添加②，不能证明；
添加③，由，不能得到；
添加④，
，
，
由，
可得．
能判断全等的条件是①④．
故选：C．
12．B
【分析】本题主要考查全等三角形的证明条件，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键．根据证明即可．
【详解】解：在，中，
，
，
故选B．
13．A
【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围．
【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可，
当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；
当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点，
x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合，
所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，
故选为：A．
【点拨】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键．
14．D
【分析】根据条件可知OM=ON，OP为公共边，再结合两三角形为直角三角形，则可求得答案．
【详解】解：∵两三角尺为直角三角形，
∴∠OMP=∠ONP=90°，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
故选D．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定，掌握直角三角形的特殊判定方法HL是解题的关键．
15．D
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化．
将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可．
【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至，
，，
则，，
，即点D，E，F三点共线，
，
，
即，
在和中
，
，
，
，
五边形的面积为：
，
，
．
故选：D．
16．D
【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：在上截取，连接，如图：
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图：
∵，，
∴．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．
17．D
【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，根据角平分线的性质作出图形转化线段是解决问题的关键．过点作，如图所示，由角平分线的性质可得，根据点与直线上各点的距离中垂线段最短可得，从而得到答案．
【详解】解：过点作，如图所示：
平分，点是射线上一点，于点，，
由角平分线性质可得，
点是射线上一动点，
由点与直线上各点的距离中垂线段最短可得，
综合四个选项可知，的长度不可能是，
故选：D．
18．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，再利用“HL”证明，根据全等三角形对应边相等可得，，同理可得，，然后求出，然后对各项分析判断即可．
【详解】解：∵A，B分别是，平分线上的点，
∴，，
∵，
∴，故选项A结论正确，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理可得，，
∴，故B选项结论正确，
∵，
∴，
∵A，B分别是，平分线上的点，
∴，，
∴，，
∴，
∵于点C，于点D，
∴，，
∴，，
与互余的角有，，，共4个，故选项C结论错误
∵，
故选项D结论正确．
故选：C．
19．A
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，证明得出，即可判断①②；证明即可判断③；证明得出，即可判断④，从而得出答案．
【详解】解：，，，
，
，，故②正确，符合题意；
，即，故①正确，符合题意；
，
，
，，
，故③正确，符合题意；
，
，
，
，
，
，，
，
，
和不一定相等，故④错误，不符合题意；
综上所述，正确的有①②③，
故选：A．
20．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质逐一判断即可．
【详解】解：，
，故①错误；，，，，，
，故②正确；
又，
，故③正确；
，
，
，即内错角不相等，
与不平行，故④错误；
故选：D．
21．或
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质；利用分类讨论思想是解答此题的关键．
设运动时间为设，，，因为，使与全等，可分两种情况，情况一：当时，列方程解得t，可求出，情况二：当时，列方程解得t，可求出．
【详解】解：设运动时间为设，，，
因为，使与全等，可分两种情况：
情况一：当时，
有：，
解得：，
，
情况二：当时，
有，
解得：，
，
综上所述，或；
故答案为：或．
22．/100度
【分析】根据全等三角形的性质可得，再求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】，
，
，，
，
．
故答案为：
23．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，进而根据三角形内角和即可求出结果．
【详解】解：如图，

在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：，．
24．70
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，邻补角的定义，证明，可得，即可求解．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，
故答案为：70．
25．/度
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠性质，全等三角形的性质与判定，先由三角形内角和定理求出，再由折叠的性质可得由折叠的性质可得，，证明，即可得到．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
∵是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
26．12
【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键．
在上取一点E，使得，连接，证明，可得，则，进而可得当点B，M，E共线且时，取最小值即，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，在上取一点E，使得，连接，过点作于点F.
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴，
∴当点B，M，E共线且时，取最小值即，
∵，的面积为78，
∴，
∴，
即的最小值是12．
故答案为：12．
27．6
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，再根据线段的和差关系计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：6．
28．7.5
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，分别延长与交于点，作交延长线于点，可证明，得到，求面积最大值转化成求线段的最大值即可，解题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形．
【详解】分别延长与 交于点， 作交 延长线于点 ，

∵平分， ，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当点重合时，最大，最大值为3，
∴，
故答案为：7.5．
29．
【分析】
本题考查全等三角形的判定和性质，理解用HL判断直角三角形全等的方法是解题关键．
根据HL定理判定三角形全等，然后根据全等三角形的性质分析求解．
【详解】解：∵
在Rt和Rt中，
∴Rt≌Rt，
∴，
∴，
故答案为：．
30．或
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．过A作于点D，过作于点，可得，分四种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作于点D，过作于点，
∵边和上的高都是3，
∴，
当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，

∵，，
∴，
∴；
当在点D的同侧，在点的同侧时，如图，

同理可得：，；
当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，

∵，，
∴，
∴，即；
当在点D的同侧，在点的两侧时，如图，

同理可得：；
综上，的值为或．
故答案为：或．
31．（或或）
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握证明三角形全等的方法是解题的关键．
可以添加，根据，或添加根据，添加根据可证明△AOC≌△BOD，从而得到答案．
【详解】解：①添加，理由如下：
在和中，
，
，
②添加，理由如下：
在和中，
，
，
③添加，理由如下：
在和中，
，
，
故答案为：（或或）（答案不唯一）．
32．或或或（答案不唯一）
【分析】此题考查了添加条件判定三角形全等，首先根据图形，可知，又由已知，可添加或或或，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法及其应用．
【详解】解：∵，，
添加，
∴；
添加，
∴；
添加，
∴；
添加，
∴，，同理，
故答案为：或或或（答案不唯一）．
33． 或
【分析】当以B为圆心，BC为半径画弧，弧与AM有两个交点时，就符合题意；当BC=BN=1时，三角形是唯一的；当以B为圆心的圆画弧与AM有一个交点时即半径大于AB=2时也是符合题意的．
【详解】如图，当以B为圆心，BC为半径画弧，弧与AM有两个交点时，就符合题意，
此时；
故答案为：；
当BC=BN=1时，三角形是唯一的；
当以B为圆心的圆画弧与AM有一个交点时即半径大于AB=2时也是符合题意的．
故答案为：或．
【点拨】本题考查了三角形的存在个数，熟练掌握三角形的基本作图是解题的关键．
34．35°/35度
【分析】连接CD，EF．由题目中尺规作图可知：，．可证，所以，可得．所以．由于AH平分，所以．即：．
【详解】解：连接CD，EF
由题目中尺规作图可知：，
在和中
AH平分
故答案为：．
【点拨】本题主要考查知识点为，全等三角形的性质及判定、定点为圆心定长为半径的性质、平行线的判定及性质，角平分线的性质．能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定、平行线的性质及判定，角平分线的性质，是解决本题的关键．
35．
【分析】本题考查三角形的中线定义，全等三角形，三角形三边关系；倍长中线，构造全等三角形，在新的三角形中运用三边关系定理求解．延长到E，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可．
【详解】解：如图所示，延长到，且，并连接，

是中点，
，
又，
，
，
在中，
有，
，即，
．
36．3
【分析】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可．
【详解】解：过点作交延长线于点，
则∠DMC=90°=∠ABC，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故填．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键．
37．
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点作于，由角平分线的性质可得，进而由的面积即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：过点作于，
∵平分，，，
∴，
∵的面积为，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
38．6
【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，．
【详解】解：作图可知平分，
∵是边上的高，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
39．
【分析】此题重点考查了全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
作，交的延长线于点，可证明，得，因为，所以以，求得，再证明，得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：作，交的延长线于点，
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：．
40．
【分析】由题意可证得，在上截取可证，推出，当时，最小，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：
∴
即：
∵
∴
∴
在上截取
∴
∴，
∴
即：
∴是等边三角形
∴
∴
∴
当时，最小
此时，
∵
∴
∴
∴
故答案为：．
【点拨】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，考查了学生的推理论证能力．