2025数学大一轮复习讲义课件人教A版第七章　必刷大题空间向量与立体几何

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第七章必刷大题14　空间向量与立体几何1.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，M是PC的中点，PA＝AB.(1)求证：AM⊥平面PBD；123456由题意知，AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，123456123456设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，123456(2)设直线AM与平面PBD交于点O，求证：AO＝2OM.如图，连接AC交BD于点E，则E是AC的中点，连接PE，∵AM∩平面PBD＝O，∴O∈AM且O∈平面 PBD，∵AM⊂平面PAC，∴O∈平面PAC，又平面PBD∩平面PAC＝PE，∴O∈PE，123456∴AM，PE的交点就是O，连接EM，∵M是PC的中点，∴PA∥EM，PA＝2EM，∴△PAO∽△EMO，123456∴AO＝2OM.1234562.(2023·长沙模拟)斜三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，点A1在下底面ABC上的投影为AB的中点O.(1)在棱BB1(含端点)上是否存在一点D，使A1D⊥AC1？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；连接OC，因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB，由题意知A1O⊥平面ABC，以点O为原点，OA，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，123456123456123456123456(2)求点A1到平面BCC1B1的距离.设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)，1234563.(2024·丹东模拟)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，平面CDD1C1⊥平面ABCD，AD⊥DC，二面角D1－AD－C的大小为120°，E为棱C1D1的中点.(1)证明：CD⊥AE；123456因为平面CDD1C1⊥平面ABCD，且平面CDD1C1∩平面ABCD＝DC，AD⊥DC，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面CDD1C1，又D1D⊂平面CDD1C1，所以AD⊥D1D，则∠D1DC是二面角D1－AD－C的平面角，故∠D1DC＝120°.连接DE(图略)，因为E为棱C1D1的中点，则DE⊥C1D1，又C1D1∥CD，从而DE⊥CD.123456123456又AD⊥CD，DE∩AD＝D，DE，AD⊂平面AED，所以CD⊥平面AED，又AE⊂平面AED，因此CD⊥AE.123456(2)点F在棱CC1上，AE∥平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值.方法一　如图，连接DE，连接AC交BD于点O，连接CE交DF于点G，连接OG.设AB＝2，因为AE∥平面BDF，AE⊂平面AEC，平面AEC∩平面BDF＝OG，所以AE∥OG，因为O为AC的中点，所以G为CE的中点，123456且直线OG与DF所成的角等于直线AE与DF所成的角.123456方法二　如图，连接DE，CE，取DC中点为G，连接EG交DF于点H，则EG＝DD1＝2.连接AG交BD于点I，连接HI，因为AE∥平面BDF，AE⊂平面AGE，平面AGE∩平面BDF＝IH，所以AE∥IH.HI与DH所成角等于直线AE与DF所成角.123456123456123456123456因为AE∥平面BDF，所以存在唯一的λ，μ∈R，123456123456所以直线AE与DF所成角的余弦值为4.(2023·成都模拟)如图所示，直角梯形ABDE和三角形ABC所在平面互相垂直，DB⊥AB，ED∥AB，AB＝2DE＝2BD＝2，AC＝BC，异面直线DE与AC所成角为45°，点F，G分别为CE，BC的中点，点H是线段EG上靠近点G的三等分点.(1)求证：A，B，F，H四点共面；123456123456如图，取AB的中点O，连接OC，OE，因为AC＝BC，故∠BAC为锐角，又ED∥AB，故∠BAC即为异面直线DE与AC所成角，则∠BAC＝45°，则∠ACB＝90°，即AC⊥CB，因为直角梯形ABDE和三角形ABC所在平面互相垂直，DB⊥AB，平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB⊂平面ABDE，故DB⊥平面ABC，又DE＝OB，DE∥OB，即四边形OBDE为平行四边形，故EO∥DB，所以EO⊥平面ABC，123456123456123456(2)求平面HCD与平面BCD夹角的余弦值.因为DB⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以DB⊥AC，且AC⊥BC，DB∩BC＝B，DB，BC⊂平面BCD，设平面HCD的法向量为m＝(x，y，z)，123456令z＝1，则m＝(0，－1,1)，设平面HCD与平面BCD的夹角为θ，1234565.(2023·长沙模拟)如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝6，BC＝4，BB1＝2，AC1与A1C相交于点D， ，且DE∥平面BCC1B1.(1)求三棱锥C－A1B1C1的体积；123456∵平面ABB1A1⊥平面ABC，且平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，AB⊥BC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ABB1A1，∵BB1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥BB1，又AC⊥BB1，BC∩AC＝C，BC，AC⊂平面ABC，∴BB1⊥平面ABC，连接C1B，如图，∵DE∥平面BCC1B1，DE⊂平面ABC1，平面ABC1∩平面BCC1B1＝C1B，∴DE∥C1B，123456123456123456123456则A(6,0,0)，C(0,4,0)，B1(0,0,2)，A1(3,0,2)，C1(0,2,2)，设平面A1B1C的法向量为n＝(x，y，z)，则n＝(0,1,2)，1234561234561234566.如图，在八面体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面PAD∥平面QBC，二面角P－AB－C与二面角Q－CD－A的大小都是30°，AP＝CQ＝ ，PD⊥AB.(1)证明：平面PCD∥平面QAB；因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD，又PD⊥AB，AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，因为PA⊂平面PAD，所以PA⊥AB，又AD⊥AB，所以∠PAD为二面角P－AB－C的平面角，即∠PAD＝30°，又平面PAD∥平面QBC，AB∥CD，所以CD⊥平面QBC，123456因为QC⊂平面QBC，所以QC⊥CD，又CB⊥CD，所以∠QCB为二面角Q－CD－A的平面角，即∠QCB＝30°，建立如图所示的空间直角坐标系，123456123456因为PC⊄平面QAB，AQ⊂平面QAB，所以PC∥平面QAB，又AB∥CD，CD⊄平面QAB，AB⊂平面QAB，所以CD∥平面QAB，因为PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以平面PCD∥平面QAB.123456设SG与平面ABCD所成角为θ，123456化简得84m2＋52m－11＝0，123456即(6m－1)(14m＋11)＝0，123456本课结束