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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4.2 充要条件背景图课件ppt
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4.2 充要条件背景图课件ppt，共41页。PPT课件主要包含了练一练，典例剖析，概念归纳，p是q的充要条件，p不是q的充要条件，课本练习，习题12，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
我们初中学过的勾股定理内容是什么？
勾股定理：如果ΔABC为直角三角形，那么a2+b2=c2.
在勾股定理中： “ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的_____________条件;“a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的_____________条件.
设a,b,c分别是ΔABC的三条边，且a ≤ b ≤ c.
在勾股定理的逆定理中： “ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的_____________条件;“a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的_____________条件.
勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2. ，那么ΔABC为直角三角形.
勾股定理及其逆定理有何关系？
思考：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等， 则这两个三角形全等； (2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3) 若一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则ac<0； (4) 若A∪B是空集，则A与B均是空集．
思考：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等， 则这两个三角形全等； (4) 若A∪B是空集，则A与B均是空集．
(1) p:两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等
(4) p: A∪B是空集
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p ，就记作p q .
此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.
显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
思考：判断(2)(3)中原命题与逆命题的真假.
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3) 若一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则ac<0；
p:两个三角形全等
q:两个三角形 的周长相等
p:一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根
(2) 原命题真，逆命题假
(3) 原命题假，逆命题真
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
下列各组命题中，哪些p是充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；（4）p：x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0).
(1)p是q的充分不必要条件
(2)p是q的充要条件
(3)p是q的必要不充分条件
(4)p是q的充要条件
总结：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性.
1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 B 解析 |x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，x＝y⇒|x|＝|y|.2．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的______．解析 因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件．答案 充要条件
已知： O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与 O 相切的充要条件.
总结：充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性.(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.
例1.已知ab≠0.求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.证明 先证必要性：因为a＋b＝1，所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝a2－ab＋b2＋ab－a2－b2＝0.所以必要性成立．再证充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
1.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
设p：x＞1，q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
题型一 充要条件的判断 条件p与结论q的关系与充分、必要条件
[解析] 在A、D中，p⇔q，∴p是q的充要条件，在B、C中，q p，∴p不是q的充要条件，故选A、D.[答案] AD
[方法技巧] 判断充分、必要条件的步骤
1．设集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：p＝3⇒A＝{－1,3,2}⇒B⊆A⇒A∩B＝B，所以是充分条件；反之，A∩B＝B⇒B⊆A⇒{2,3}⊆{2，－1，p}⇒p＝3，所以是必要条件．故选C.答案：C
2．下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；(2)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形；(3)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.解：(1)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件．(2)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形，∴p不是q的充要条件，p是q的充分不必要条件．(3)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件．
题型二 利用充分、必要条件求参数 从集合角度看充分、必要条件如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表．
[例2] 已知p：1≤x≤a(a≥1)，q：1≤x≤2.(1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？(2)当a为何值时，p是q的必要不充分条件？(3)当a为何值时，p是q的充要条件？
[方法技巧]由条件关系求参数的值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．
1．[变设问]若本例条件不变，当a为何值时，q是p的充分不必要条件？解：若q是p的充分不必要条件，即q⇒p，但p q，亦即p是q的必要不充分条件，同典例2(2)．所以当a＞2时，q是p的充分不必要条件．2．[变设问]若本例条件不变，当a为何值时，q是p的必要不充分条件？解：若q是p的必要不充分条件，即p⇒q，但q p，亦即p是q的充分不必要条件，同典例2(1)．所以当1≤a＜2时，q是p的必要不充分条件．
题型三 充要条件的证明与探究 [例3] 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[方法技巧]充要条件的证明思路根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q”：(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.
1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1) p:三角形为等腰三角形，q:三角形存在两角相等； (2) p: ⊙O内两条弦相等，q: ⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3) p: A∩B是空集， q:A与B之一为空集．
2.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.
①“两个三角形的三边相等”
③“两个三角形的两角和它们的夹边分别相等”
②“两个三角形的两边和它们的夹角分别相等”
④“两个三角形的两角和其中一角的对边相等”
①“两个三角形的三边成比例”
③“两个三角形的其中两角相等”
②“两个三角形的两边成比例且它们的夹角相等”
3.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.
分析：设p： AC=BD.
充分性: AC=BD梯形ABCD为等腰梯形.
q：梯形ABCD为等腰梯形.
必要性:梯形ABCD为等腰梯形 AC=BD.
1.举例说明：（1）p是q的充分不必要条件；（2） p 是q 的必要不充分条件；（3） p 是q 的充要条件.
(1)p :0
2.在下列各题中，判断p是q的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答）：（1）p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形；（2） p ：一元二次方程ax²+bx+c=0有实数根， q :b²-4ac≥0（a≠0）；（3） p ：a∈P∩Q， q ：a∈P；（4） p ：a∈P∪Q， q ：a∈P；（5） p ：x>y， q ：x²>y².
p是q的必要不充分条件.p是q的充要条件.p是q的充分不必要条件. p是q的必要不充分条件. p是q的既不充分又不必要条件.
3.判断下列命题的真假：（1）点 P 到圆心 O 的距离大于圆的半径是点 P 在⊙O 外的充要条件；（2）两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件；（3）A∪B=A是B A的必要不充分条件；（4）x 或 y 为有理数是 xy 为有理数的既不充分也不必要条件.
解：（1）真.（2）假.（3）假.（4）真.
1．充要条件的概念既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件．2．形如“若p，则q”的命题中存在以下四种关系(1)p是q的充分不必要条件(2)p是q的必要不充分条件(3)p是q的充分必要条件(4)p是q的既不充分又不必要条件
3．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清证明必要性、充分性时是证明怎样的一个式子成立．“A的充要条件为B”的命题的证明：A⇒B证明了必要性，B⇒A证明了充分性；“A是B的充要条件”的命题的证明：A⇒B证明了充分性，B⇒A证明了必要性．
作业 完成书本综合运用练习题
4.已知A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}，（1）如果 A B，那么p 是q的什么条件？（2）如果B A，那么p是q的什么条件？（3）如果A=B，那么p是q的什么条件？
5.设a，b，c∈R.证明：a²+b²+c²=ab+ac+bc 的充要条件是a=b=c.
6.设 a，b，c 分别是△ABC 的三条边，且a≤b≤c.我们知道，如果△ABC 为直角三角形，那么 a²+b²=c²（勾股定理）.反过来，如果 a²+b²=c²，那么△ABC 为直角三角形（勾股定理的逆定理）.由此可知，△ABC为直角三角形的充要条件是a²+b²=c².请利用边长 a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明.
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
我们初中学过的勾股定理内容是什么？
勾股定理：如果ΔABC为直角三角形，那么a2+b2=c2.
在勾股定理中： “ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的_____________条件;“a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的_____________条件.
设a,b,c分别是ΔABC的三条边，且a ≤ b ≤ c.
在勾股定理的逆定理中： “ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的_____________条件;“a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的_____________条件.
勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2. ，那么ΔABC为直角三角形.
勾股定理及其逆定理有何关系？
思考：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等， 则这两个三角形全等； (2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3) 若一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则ac<0； (4) 若A∪B是空集，则A与B均是空集．
思考：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等， 则这两个三角形全等； (4) 若A∪B是空集，则A与B均是空集．
(1) p:两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等
(4) p: A∪B是空集
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p ，就记作p q .
此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.
显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
思考：判断(2)(3)中原命题与逆命题的真假.
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3) 若一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则ac<0；
p:两个三角形全等
q:两个三角形 的周长相等
p:一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根
(2) 原命题真，逆命题假
(3) 原命题假，逆命题真
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
下列各组命题中，哪些p是充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；（4）p：x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0).
(1)p是q的充分不必要条件
(2)p是q的充要条件
(3)p是q的必要不充分条件
(4)p是q的充要条件
总结：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性.
1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 B 解析 |x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，x＝y⇒|x|＝|y|.2．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的______．解析 因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件．答案 充要条件
已知： O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与 O 相切的充要条件.
总结：充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性.(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.
例1.已知ab≠0.求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.证明 先证必要性：因为a＋b＝1，所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝a2－ab＋b2＋ab－a2－b2＝0.所以必要性成立．再证充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
1.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
设p：x＞1，q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
题型一 充要条件的判断 条件p与结论q的关系与充分、必要条件
[解析] 在A、D中，p⇔q，∴p是q的充要条件，在B、C中，q p，∴p不是q的充要条件，故选A、D.[答案] AD
[方法技巧] 判断充分、必要条件的步骤
1．设集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：p＝3⇒A＝{－1,3,2}⇒B⊆A⇒A∩B＝B，所以是充分条件；反之，A∩B＝B⇒B⊆A⇒{2,3}⊆{2，－1，p}⇒p＝3，所以是必要条件．故选C.答案：C
2．下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；(2)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形；(3)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.解：(1)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件．(2)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形，∴p不是q的充要条件，p是q的充分不必要条件．(3)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件．
题型二 利用充分、必要条件求参数 从集合角度看充分、必要条件如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表．
[例2] 已知p：1≤x≤a(a≥1)，q：1≤x≤2.(1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？(2)当a为何值时，p是q的必要不充分条件？(3)当a为何值时，p是q的充要条件？
[方法技巧]由条件关系求参数的值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．
1．[变设问]若本例条件不变，当a为何值时，q是p的充分不必要条件？解：若q是p的充分不必要条件，即q⇒p，但p q，亦即p是q的必要不充分条件，同典例2(2)．所以当a＞2时，q是p的充分不必要条件．2．[变设问]若本例条件不变，当a为何值时，q是p的必要不充分条件？解：若q是p的必要不充分条件，即p⇒q，但q p，亦即p是q的充分不必要条件，同典例2(1)．所以当1≤a＜2时，q是p的必要不充分条件．
题型三 充要条件的证明与探究 [例3] 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[方法技巧]充要条件的证明思路根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q”：(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.
1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1) p:三角形为等腰三角形，q:三角形存在两角相等； (2) p: ⊙O内两条弦相等，q: ⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3) p: A∩B是空集， q:A与B之一为空集．
2.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.
①“两个三角形的三边相等”
③“两个三角形的两角和它们的夹边分别相等”
②“两个三角形的两边和它们的夹角分别相等”
④“两个三角形的两角和其中一角的对边相等”
①“两个三角形的三边成比例”
③“两个三角形的其中两角相等”
②“两个三角形的两边成比例且它们的夹角相等”
3.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.
分析：设p： AC=BD.
充分性: AC=BD梯形ABCD为等腰梯形.
q：梯形ABCD为等腰梯形.
必要性:梯形ABCD为等腰梯形 AC=BD.
1.举例说明：（1）p是q的充分不必要条件；（2） p 是q 的必要不充分条件；（3） p 是q 的充要条件.
(1)p :0
2.在下列各题中，判断p是q的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答）：（1）p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形；（2） p ：一元二次方程ax²+bx+c=0有实数根， q :b²-4ac≥0（a≠0）；（3） p ：a∈P∩Q， q ：a∈P；（4） p ：a∈P∪Q， q ：a∈P；（5） p ：x>y， q ：x²>y².
p是q的必要不充分条件.p是q的充要条件.p是q的充分不必要条件. p是q的必要不充分条件. p是q的既不充分又不必要条件.
3.判断下列命题的真假：（1）点 P 到圆心 O 的距离大于圆的半径是点 P 在⊙O 外的充要条件；（2）两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件；（3）A∪B=A是B A的必要不充分条件；（4）x 或 y 为有理数是 xy 为有理数的既不充分也不必要条件.
解：（1）真.（2）假.（3）假.（4）真.
1．充要条件的概念既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件．2．形如“若p，则q”的命题中存在以下四种关系(1)p是q的充分不必要条件(2)p是q的必要不充分条件(3)p是q的充分必要条件(4)p是q的既不充分又不必要条件
3．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清证明必要性、充分性时是证明怎样的一个式子成立．“A的充要条件为B”的命题的证明：A⇒B证明了必要性，B⇒A证明了充分性；“A是B的充要条件”的命题的证明：A⇒B证明了充分性，B⇒A证明了必要性．
作业 完成书本综合运用练习题
4.已知A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}，（1）如果 A B，那么p 是q的什么条件？（2）如果B A，那么p是q的什么条件？（3）如果A=B，那么p是q的什么条件？
5.设a，b，c∈R.证明：a²+b²+c²=ab+ac+bc 的充要条件是a=b=c.
6.设 a，b，c 分别是△ABC 的三条边，且a≤b≤c.我们知道，如果△ABC 为直角三角形，那么 a²+b²=c²（勾股定理）.反过来，如果 a²+b²=c²，那么△ABC 为直角三角形（勾股定理的逆定理）.由此可知，△ABC为直角三角形的充要条件是a²+b²=c².请利用边长 a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明.
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