数学八年级上册第三章 勾股定理3.1 勾股定理课堂检测
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本套训练卷共40题,题型针对性较高,覆盖面广,选题有深度,可加强学生对勾股定理与最短路径问题的七大类型的理解!
【类型1 平面图形上的“捷径”问题】
1.(2023春·安徽合肥·八年级期末)课间休息时,嘉嘉从教室窗户向外看,看到行人为了从A处快速到达图书馆B处,直接从长方形草地中穿过.为保护草地,嘉嘉想在A处立一个标牌:“少走■米,踏之何忍?”如图,若AB=17米,BC=8米,则标牌上“■”处的数字是( )
A.6B.8C.10D.11
2.(2023春·湖南岳阳·八年级统考期末)如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路(假设2步为1米),却踩伤了花草..
3.(2023春·八年级单元测试)如图,有两条互相垂直的街道a和b ,a路上有一小商店A,b路上有一批发部B .小商店主人每次进货都沿着 A—O—B路线到达 B处,然后原路返回.已A,B两处距十字 路口 O的距离分别为 600 米、800 米,如果小商店主人重新选一条最近的路线,那么往返一趟最多可比原来少走 米.
4.(2023春·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期末)某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下,在临街的拐角建造了一块绿化地(阴影部分).如图,已知AB=9m,BC=12m,CD=17m,AD=8m.技术人员通过测量确定了∠ABC=90°.
(1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置,为了方便居民出入,技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路,请问如果方案落实施工完成,居民从点A到点C将少走多少路程?
(2)这片绿地的面积是多少?
5.(2023春·安徽合肥·八年级统考期末)如图,某学校进大门是一直角通道(A→B→C),为方便学生进入教学楼,学校打开了操场绿色通道(A→C)进行分流,学生可以走“捷径AC”直接到达教学楼,若AB=80米,BC=60米,则走“捷径AC”可以少走多少米?
【类型2 平面图形上的“饮水”问题】
1.(2023春·八年级课时练习)如图,已知直线a∥b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到直线b的距离为3,AB2=120.试在直线a上找一点M,在直线b上找一点N,满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短,则此时AM+NB=( )
A.6 B.8C.10D.1
2.(2023春·河南许昌·八年级校考期末)如图,一个牧童在小河正南方向4km的A处牧马,若牧童从A点向南继续前行7km到达点C.则此时牧童的家位于C点正东方向8km的B处.牧童打算先把在A点吃草的马牵到小河边饮水后再回家,请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短?最短路程是多少?请先在图上作出最短路径,再进行计算.
3.(2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习)如图,两个村庄A、B在河CD的同侧,A、B两村到河的距离分别为AC=1千米,BD=3千米,CD=3千米.现要在河边CD上建造一水厂,向A、B两村送自来水(水管需直接到A、B村).
(1)水厂应修建在什么地方,可使所用的水管最短(请你在图中设计出水厂的位置):
(2)如果铺设水管的工程费用为每千米20000元,为使铺设水管费用最节省,请求出最节省的铺设水管的费用为多少元?
4.(2023春·江苏南京·八年级南京第五初中校考阶段练习)“数学建模”:
(1)模型——小马喝水问题:直线MN表示一条河流的岸,在河流同侧有A、B两地,小马从A地出发到B地,中间要在河边饮水一次,请在图①中用三角板作出使小马行走最短路程的饮水点P的位置.(保留作图痕迹)
(2)运用——和最小问题:如图②,长方形ABCD,E是BC的中点,AB=4,BC=43,P是对角线BD上的一个动点,求PC+PE的最小值.
5.(2023春·山东烟台·八年级统考期中)如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD,已知AC=200米,BD=600米,且CD=600米.
(1)牧童从A处放牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走路程最短?
(2)所走最短路程是多少?
6.(2023春·全国·八年级专题练习)在进行13.4《最短路径问题》的学习时,同学们从一句唐诗“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”(唐•李颀《古从军行》出发,一起研究了蕴含在其中的数学问题——“将军饮马”问题.同学们先研究了最特殊的情况,再利用所学的轴对称知识,将复杂问题转化为简单问题,找到了问题的答案,并进行了证明.下列图形分别说明了以上研究过程.
证明过程如下:如图4,在直线l上另取任一点C',连结AC',BC',B'C',
∵点B,B'关于直线l对称,点C,C'在l上,
∴CB=_________,C'B= _________,∴AC+CB=AC+CB'=_________.
在△AC'B'中,∵AB'
(2)课堂小结时,小明所在的小组同学提出,如图1,A,B是直线l同旁的两个定点.在直线l上是否存在一点P,使PB-PA的值最大呢?请你类比“将军饮马”问题的探究过程,先说明如何确定点P的位置,再证明你的结论是正确的.
(3)如图,平面直角坐标系中, M2,2,N4,-1,MN=13,P是坐标轴上的点,则PM-PN的最大值为_________,此时P点坐标为_________.(直接写答案)
7.(2023春·浙江·八年级专题练习)某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型:
直线l同旁有两个定点A、B,在直线l上存在点P,使得PA+PB的值最小.解法:如图1,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,则A'B与直线l的交点即为P,且PA+PB的最小值为A'B.
请利用上述模型解决下列问题:
(1)几何应用:如图2,ΔABC中,∠C=90°,AC=BC=2,E是AB的中点,P是BC边上的一动点,则PA+PE的最小值为 ;
(2)几何拓展:如图3,ΔABC中,AC=2,∠A=30°,若在AB、AC上各取一点M、N使CM+MN的值最小,画出图形,求最小值并简要说明理由.
【类型3 圆柱上的最短路径问题】
1.(2023春·山东临沂·八年级统考期末)如图,已知圆柱底面的周长为6,圆柱高为3,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为( )
A.43B.23C.35D.62
2.(2023春·河南新乡·八年级新乡市第十中学校考期末)如图,小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈,正好从A点绕到正上方的B点,已知知圆柱底面周长是3m,高为16m,则所需彩带最短是( )m.
A.8B.5C.20D.10
3.(2023春·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末)如图,已知圆柱高为8cm,底面圆的周长为12cm,蚂蚁在圆柱侧面爬行,从点A爬到点B处吃食,那么它爬行的最短路程是( )
A.20cmB.15cmC.12cmD.10cm
4.(2023·浙江·八年级假期作业)如图,这是一个供滑板爱好者使用的U形池,该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是弧长为12m的半圆,其边缘AB=CD=20m(边缘的宽度忽略不计),点E在CD上,CE=4m.一滑板爱好者从A点滑到E点,则他滑行的最短距离为( )
A.28mB.24mC.20mD.18m
5.(2023春·四川乐山·八年级统考期末)如图,透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,在容器内壁离容器底部1.5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,位于离容器上沿1.5cm的点A处,若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15cm,则该圆柱底面周长为( )
A.9cmB.12cmC.18cmD.24cm
6.(2023春·福建泉州·八年级统考期末)如图,透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,在容器内壁离容器底部4 cm 的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿4 cm的点A处,若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm,则该圆柱底面周长为( )cm.
A.9B.10C.18D.20
【类型4 圆锥上的最短路径问题】
1.(2023·内蒙古赤峰·统考期末)某班学生表演课本剧,要制作一顶圆锥形的小丑帽.如图,这个圆锥的底面圆周长为20π cm,母线AB长为30cm,为了使帽子更美观,要粘贴彩带进行装饰,其中需要粘贴一条从点A处开始,绕侧面一周又回到点A的彩带(彩带宽度忽略不计),这条彩带的最短长度是( )
A.30 cmB.303 cmC.60 cmD.20π cm
2.(2023春·全国·八年级专题练习)如图,底面半径为1,母线长为4的圆锥,一只小蚂蚁若从A点出发,绕侧面一周又回到A点,它爬行的最短路线长是 .
3.(2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末)已知圆锥的底面半径是4cm,母线长为12cm,C为母线PB的中点,蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是 .
4.(2023春·河北保定·八年级统考期末)如图,小明用半径为20,圆心角为θ的扇形,围成了一个底面半径r为5的圆锥.
(1)扇形的圆心角θ为 ;
(2)一只蜘蛛从圆锥底面圆周上一点A出发,沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是 .
【类型5 正方体上的最短路径问题】
1.(2023春·北京西城·八年级北京十四中校考期中)如图,正方体的棱长为2cm,点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行,从点A爬到点B的最短路程是( )
A.10cmB.4cmC.17cmD.5cm
2.(2023春·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中)固定在地面上的一个正方体木块(如图①),其棱长为4cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)去掉一角,得到如图②所示的几何体木块,一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为( )
A.2(2+6)B.42+4C.42+2D.26+4
3.(2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习)如右图,一只蚂蚁从棱长为4cm的正方体纸箱的A点沿纸箱外表面爬到B点,那么它的最短路线的长是 cm.
4.(2023春·安徽合肥·八年级校考期中)如图,正方体盒子的棱长为23,O为AE的中点,现有一只蚂蚁位于点C处,它想沿正方体的表面爬行到点O处获取食物,则蚂蚁需爬行的最短路程为 .
5.(2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中)一只蚂蚁沿着边长为3的正方体表面从点A出发,按照如图所示经过3个面爬到点B,则它运动的最短路径长为 .
6.(2023春·河南郑州·八年级校考期中)棱长分别为5cm,3cm两个正方体如图放置,点P在E1F1上,且E1P=13E1F1,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P,需要爬行的最短距离是 .
【类型6 长方体上的最短路径问题】
1.(2023春·四川成都·八年级统考期末)一个长方体盒子的长、宽、高分别为15cm,10cm,20cm,点B离点C的距离是5cm,一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到点B,蚂蚁爬行的最短路程是( )
A.105cmB.25cmC.529cm D.537cm
2.(2023春·贵州贵阳·八年级校考期中)已知长方体的长、宽、高分别为2cm,4cm,8cm,一只蚂蚁沿着长方体表面从点A爬到点B,则需要爬行的最短距离为( )
A.2cmB.4cmC.10cmD.14cm
3.(2023春·山西大同·八年级统考期中)如图,在墙角处放着一个长方体木柜(木柜与墙面和地面均没有缝腺),一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处.若AB=3,BC=4,CC1=5,则蚂蚁爬行的最短路程是( )
A.74B.310C.89D.12
4.(2023春·全国·八年级期末)如图是一个长方体盒子,其长、宽、高分别为4,2,9,用一根细线绕侧面绑在点A,B处,不计线头,细线的最短长度为( )
A.12B.15C.18D.21
5.(2023春·辽宁丹东·八年级统考期末)如图所示的长方体,AB=BC=2,BD=1,点F是DE的中点,一只蚂蚁从点A出发,沿长方体表面爬到点F,则蚂蚁爬行的最短距离为 .
6.(2015秋·江苏苏州·八年级统考期末)现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm).
(1) 求线段BG的长;
(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛,箱内的点C处有一只小虫正在午睡,保持不动.请你为蜘蛛设计一种捕虫方案,使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫.(木板的厚度忽略不计)
【类型7 台阶上的最短路径问题】
1.(2023春·广东肇庆·八年级统考期末)如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1,A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是( )
A.18B.15C.12D.8
2.(2023春·陕西渭南·八年级统考期中)如图是一个二级台阶,每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm.A和B是这个台阶两个相对的端点,在A点有一只蚂蚁,想到B点去受食,那么它爬行的最短路程是 .
3.(2023春·四川宜宾·八年级统考期末)如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米,A、B是这个台阶上两个相对的顶点,A点处有一只蚂蚁,它想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 米.
4.(2023春·辽宁沈阳·八年级校考期中)如图,台阶阶梯每一层高20cm,宽40cm,长50cm.一只蚂蚁从A点爬到B点,最短路程是 .
5.(2023春·山东淄博·八年级统考期末)如图所示是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别等于5cm、3cm、1cm,A和B是这两个台阶的两个相对的端点,则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长?
6.(2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末)如图有一个四级台阶,它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米.
(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯,需要定制红毯的面积为432平方分米,那么每一级台阶的高为多少分米?
(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点,台阶角落点A处有一只蚂蚁,想到台阶顶端点C处去吃美味的食物,则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米?
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