高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题22《函数概念与性质》综合测试卷(B)(原卷版+解析)

这是一份高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题22《函数概念与性质》综合测试卷(B)(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高一课时练习）图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）
A．，3，B．，3，C．，，3D．，，3
3．（2022·全国·高一课时练习）已知是一次函数，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高一课时练习）已知，且是定义在R上的奇函数，，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数
5．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，
那么|f（x+1）|<1的解集的补集是（ ）
A．（-1，2）B．（1，4）
C．（-∞，1]∪[4，+∞）D．（-∞，-1]∪[2，+∞）
6．（2022·全国·高一课时练习）函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·全国·高一专题练习）定义在上的偶函数满足：对任意的有则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·四川泸州·高一期末）定义在上的函数满足，若的图像关于点对称，且函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．定义域、值域分别是，B．单调减区间是
C．定义域、值域分别是，D．单调减区间是
10．（2022·全国·高一单元测试）已知若互不相等的实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的取值范围为
C．D．
11．（2022·全国·高一课时练习）（多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022·浙江·安吉县高级中学高一开学考试）已知函数， 则以下结论正确的是（ ）
A．函数为增函数
B．，不等式恒成立
C．若， 在，上恒成立，则的最小值为
D．若关于的方程有三个不同的实根，则
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·上海市建平中学高一期中）定义在R上的奇函数满足，则___________．
14．（2022·全国·高一课时练习）已知，则使成立的x的取值范围是_____．
15．（2022·全国·高一专题练习）定义，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为______．
16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高一课时练习）函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明．
18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数
(1)求，，的值；
(2)若，求实数a的值；
(3)若，求实数m的取值范围．
19．（2022·天津南开·高一期末）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x>0时，f（x）<0恒成立.
(1)求f（0）；
(2)证明：函数y=f（x）是奇函数；
(3)证明：函数y=f（x）是R上的减函数.
20．（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）已知函数.
(1)若，判断的奇偶性并加以证明.
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
21．（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为（元/件）（其中即售价上涨，即售价下降），每月商品销量为y（件），月利润为w（元）.
(1)直接写出y与x之间的函数关系式：
(2)当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？
22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式：.
第三章 专题22 《函数概念与性质》综合测试卷(B）
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】使解析式有意义，解不等式组即可.
【详解】依题意且，
所以函数的定义域是．
故选 ：B．
2．（2022·全国·高一课时练习）图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）
A．，3，B．，3，C．，，3D．，，3
【答案】D
【分析】根据幂函数的图象，结合幂函数的性质判断参数的大小关系，即可得答案.
【详解】由题图知：，，，
所以，，依次可以是，，3．
故选：D
3．（2022·全国·高一课时练习）已知是一次函数，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.
【详解】依题意，设，则有，解得，
所以.
故选：D
4．（2022·全国·高一课时练习）已知，且是定义在R上的奇函数，，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性的定义，判断与的关系即可求解.
【详解】由已知的定义域为R，
因为是定义在R上的奇函数，所以，
所以，
所以为偶函数，
又，，又，
所以，所以不为奇函数，
故选：B．
5．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，
那么|f（x+1）|<1的解集的补集是（ ）
A．（-1，2）B．（1，4）
C．（-∞，1]∪[4，+∞）D．（-∞，-1]∪[2，+∞）
【答案】D
【分析】不等式可以变形为，再根据函数
是上的增函数得，解出x的范围就即可．
【详解】不等式可变形为，
∵，是函数图象上的两点，∴，，
∴等价于不等式，
又因为函数是上的增函数，
∴等价于，
解得，
∴不等式的解集为：，
∴其补集为：．
故选：D．
6．（2022·全国·高一课时练习）函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先把转化为分段函数的形式，再结合一元二次函数的对称轴，对进行分类讨论，结合图像，写出要使函数在区间上既有最大值又有最小值的条件即可求得a的取值范围.
【详解】易得函数，
若，则，且函数在上单调递增，所以函数在上无最值．
若，作出函数的大致图像，如图1所示，易得函数在区间上无最值．
若，作出函数的大致图像，如图2所示，要使函数在区间上既有最大值又有最小值，则，即，解得:．
综上，实数a的取值范围是．
故选: D.
7．（2022·全国·高一专题练习）定义在上的偶函数满足：对任意的有则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知在递减，结合偶函数，即可得到结果.
【详解】因为满足，对任意的有，
所以在上单调递减
且为偶函数，则
由可得，即
故选:A
8．（2022·四川泸州·高一期末）定义在上的函数满足，若的图像关于点对称，且函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件构造函数，易得为奇函数，且单调递增，从而可求得不等式解集.
【详解】因为的图像关于点对称，
由图像平移变换可知的图像关于原点对称，即为奇函数，
令，则
即也为奇函数，
又函数在上单调递增，由对称性可知，在上递增，
又因为，所以
所以
即
所以，即解集为
故选:A.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．定义域、值域分别是，B．单调减区间是
C．定义域、值域分别是，D．单调减区间是
【答案】BC
【分析】首先根据题意得到，从而得到函数的定义域为，结合二次函数的性质得到函数和单调减区间是，再依次判断选项即可.
【详解】要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为．
因为，，
时，，或时，，
所以．
因为抛物线的对称轴为直线，开口向下，，
所以的单调减区间是．
故选：BC．
10．（2022·全国·高一单元测试）已知若互不相等的实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的取值范围为
C．D．
【答案】ABC
【分析】结合分段函数的解析式作出的图像，先利用一元二次函数的对称轴性质易得，再确定，则，最后由图像易得与不一定关于y轴对称可知，不一定成立.
【详解】作出的图像，如图所示．
设，则．
由的图像及一元二次函数的对称轴性质可知，，故C正确；
令，解得，所以，故A正确；
结合上述分析易知的取值范围为，故B正确；
与不一定关于y轴对称，故不一定成立，故D错误．
故选：ABC．
11．（2022·全国·高一课时练习）（多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】先通过分析，得到若在上单调递增，则函数为“理想函数”，然后依次判断四个选项能否满足题意.
【详解】不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”．
A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义；
D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义．
故选：ABD．
12．（2022·浙江·安吉县高级中学高一开学考试）已知函数， 则以下结论正确的是（ ）
A．函数为增函数
B．，不等式恒成立
C．若， 在，上恒成立，则的最小值为
D．若关于的方程有三个不同的实根，则
【答案】BCD
【分析】根据解析式可整理得到当，时，；
根据可知A错误；根据且可知B正确；由恒成立可确定C正确；由方程根的个数可确定与有且仅有三个不同交点，根据在每一段上的值域可分析得到不等关系，解不等式可知D正确.
【详解】当时，；
当时，；
依次类推，当，时，；
对于A，，，不符合增函数定义，A错误；
对于B，，，
对于，不等式恒成立，B正确；
对于C，当，时，；
若，则，的最小值为，C正确；
对于D，由得：，
当时，则，方程无解，不合题意；
当时，则或；与有且仅有三个不同交点；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；，解得：；D正确.
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：本题考查函数中的类周期问题的求解，解题基本思路是根据解析式的变化规律确定函数解析式的形式及每一段解析式对应的值域，根据每个选项中的考点：单调性、最值、恒成立及方程根的个数问题，结合解析式和值域确定结果.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·上海市建平中学高一期中）定义在R上的奇函数满足，则___________．
【答案】
【分析】利用奇函数的性质有，结合已知即可求值.
【详解】由题意且，
则，则.
故答案为：.
14．（2022·全国·高一课时练习）已知，则使成立的x的取值范围是_____．
【答案】
【分析】解不等式组或，即得解.
【详解】解：∵，∴或，
∴或，即，
∴使成立的x的取值范围是．
故答案为：
15．（2022·全国·高一专题练习）定义，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】对不等式进行变形得到在上恒成立，求出函数的范围，从而得到的取值范围.
【详解】等价于，即在上恒成立，
当时，记，
，．
故答案为：
16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）．
【答案】＜
【分析】由函数为幂函数，可得m＝－1或m＝2，又由题意函数在上单调递增，可得，从而根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】解：因为函数为幂函数，所以，即，解得m＝－1或m＝2．
当m＝－1时，；当m＝2时，．
因为函数对任意的，，且，满足，
所以函数在上单调递增，
所以，
又，
所以函数是奇函数，且为增函数，
因为，
所以，
所以，即．
故答案为：＜.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高一课时练习）函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明．
【答案】(1)
(2)增函数，证明见解析
【分析】（1）由题知，，进而求得答案（注意检验奇函数成立）；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（1）
解：因为函数是定义在上的奇函数
所以，解得．
经检验，当时，是上的奇函数，满足题意．
又，解得，
所以．
（2）
解：在上为增函数．证明如下：
在内任取且，
则，
因为，，，，
所以，即，
所以在上为增函数．
18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数
(1)求，，的值；
(2)若，求实数a的值；
(3)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；；；
(2)或；
(3)．
【分析】（1）根据函数的解析式即得；
（2）分类讨论，解方程即得；
（3）分类讨论，解不等式组即得.
（1）
由题可得，
，
因为，
所以；
（2）
①当时，，
解得，不合题意，舍去；
②当时，，即，
解得或，
因为，，所以符合题意；
③当时，，
解得，符合题意；
综合①②③知，当时，或；
（3）
由，
得或或，
解得或，
故所求m的取值范围是.
19．（2022·天津南开·高一期末）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x>0时，f（x）<0恒成立.
(1)求f（0）；
(2)证明：函数y=f（x）是奇函数；
(3)证明：函数y=f（x）是R上的减函数.
【答案】(1)f（0）=0
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用赋值法求解；
（2）利用函数奇偶性定义证明；
（3）利用函数单调性定义证明.
（1）
解：因为对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），
所以令a=b=0，得f（0）=0.
（2）
由f（a+b）=f（a）+f（b），
得f（x-x）=f（x）+f（-x）.
即f（x）+f（-x）=f（0），而f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
即函数y=f（x）是奇函数.
（3）
设x1>x2，则x1-x2>0，f（x1-x2）<0
而f（a+b）=f（a）+f（b），
∴f（x1）=f（x1-x2+x2）=f（x1-x2）+f（x2）∴函数y=f（x）是R上的减函数.
20．（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）已知函数.
(1)若，判断的奇偶性并加以证明.
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)为奇函数，证明过程见解析；
(2)
【分析】（1）分与两种情况，先求定义域，再利用函数奇偶性的定义判断；
（2）参变分离，整理为恒成立问题，求出的最大值，从而求出实数的取值范围.
（1）
，
当时，，定义域为R，此时，
所以为奇函数，
当时，定义域为，且，
所以为奇函数，
综上：为奇函数.
（2）
,
即，在上恒成立，
整理为在上恒成立，
令，
当时，，
所以，
故实数的取值范围为.
21．（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为（元/件）（其中即售价上涨，即售价下降），每月商品销量为y（件），月利润为w（元）.
(1)直接写出y与x之间的函数关系式：
(2)当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？
【答案】(1)
(2)65元 ；6250元
【分析】（1）由题意可直接得到y与x之间的函数关系式：
（2）根据（1）的结果，求出月利润的表达式，结合二次函数性质，求得答案.
（1）
由题意可得；
（2）
由题意得，
即，
当时，取最大值6250，
当时，取最大值6125，
故当销售价格65元时才能使月利润最大，最大月利润是6250元.
22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式：.
【答案】(1)；
(2)函数在上单调递增，证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式；
（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；
（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
（1）
解：因为函数是定义在上的奇函数，则，
即，可得，则，
所以，，则，因此，.
（2）
证明：函数在上是增函数，证明如下：
任取、且，则
，
因为，则，，故，即.
因此，函数在上是增函数.
（3）
解：因为函数是上的奇函数且为增函数，
由得，
由已知可得，解得.
因此，不等式的解集为.