高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题2充要条件与量词单元测试(B)(原卷版+解析)

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集合，充分条件与必要条件，全称量词与存在量词.
高考真题：
1．（2021·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2020·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2020·山东·高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·广西柳州·高一期末）命题“，”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·北京海淀·高二期末）设命题：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．（2022·全国·高一专题练习）已知命题，则的否定为（ ）
A．B．C．D．
4．（云南省玉溪市2021-2022学年高一下学期教学质量检测数学试题）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·江西抚州·高二期末（理））“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
6．（2022届“云教金榜”N 1联考高三下学期5月冲刺测试文科数学试题）已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2022·全国·高一专题练习）“”是关于的不等式的解集为R的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
8．（2022·江西·赣州市第三中学高一期中）已知命题，若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·江苏·高一）下列命题是假命题的为（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．（2022·全国·高一专题练习）可以作为或的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·全国·高一专题练习）下列选项中p是q的必要不充分条件的有（ ）
A．p：a≤1，q：a＜1
B．p：A∩B＝A，q：A∪B＝B
C．p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等
D．p：x2+y2＝1，q：x＝1，y＝0
12．（2021·湖北·车城高中高一阶段练习）在下列命题中，真命题有（ ）
A．，使为的约数
B．，
C．存在锐角，使
D．已知，，则对于，都有
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·广东茂名·高一期中）命题“，”的否定是___________．
14．（2022·全国·高一专题练习）写出的一个必要不充分条件_____．
15．（2022·全国·高一）给出下列命题：
①已知集合，且，则集合的真子集个数是4；
②“”是“”的必要不充分条件；
③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
④设，则“”是“”的必要不充分条件
其中所有正确命题的序号是__________．
16．（2022·全国·高一专题练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的最小值是___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2021·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）写出下列命题p的否定，并判断其真假.
(1)p：，.
(2)p：不论m取何实数，方程必有实数根.
(3)p：有的三角形的三条边相等.
(4)p：等腰梯形的对角线垂直．
18．（2022·全国·高一专题练习）设集合和或，若是的充分条件，求的取值范围．
19．（2022·江苏·高一单元测试）已知或或，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
20．（2022·河南河南·高一期末）已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
21．（2022·全国·高一专题练习）设全集，集合，集合.
(1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围.
22．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，或.
(1)求，B；
(2)若集合，且为假命题.求m的取值范围.
第一章 专题2 充要条件与量词(B）
命题范围：
集合，充分条件与必要条件，全称量词与存在量词.
高考真题：
1．（2021·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
【详解】
由题意，若，则，故充分性成立；
若，则或，推不出，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2020·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】
求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A
3．（2020·山东·高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】
当时，集合，，可得，满足充分性，
若，则或，不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·广西柳州·高一期末）命题“，”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据存在量词命题的否定直接得出结果.
【详解】
命题“”的否定为：
“”.
故选：A
2．（2022·北京海淀·高二期末）设命题：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题即可得出.
【详解】
根据全称命题的否定为特称命题，所以为“，”.
故选：A.
3．（2022·全国·高一专题练习）已知命题，则的否定为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定可得答案.
【详解】
的否定为，
故选：C
4．（云南省玉溪市2021-2022学年高一下学期教学质量检测数学试题）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将特称命题否定为全称命题即可.
【详解】
命题“”的否定是.
故选：A.
5．（2022·江西抚州·高二期末（理））“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据绝对值不等式求解，再结合充分与必要条件的定义判定即可
【详解】
若，因为，故，故“”可以推出“”；
取，则满足，但不成立，所以“”不能推出“”；
所以“”是“”的必要不充分条件
故选：C.
6．（2022届“云教金榜”N 1联考高三下学期5月冲刺测试文科数学试题）已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由充分、必要条件定义即可得出答案.
【详解】
因为,所以“” “”，但“”推不出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
7．（2022·全国·高一专题练习）“”是关于的不等式的解集为R的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
取，时可判断充分性；当不等式的解集为R时，分，，讨论可判断必要性.
【详解】
若，取时，不等式，此时不等式解集为；
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当，且时，不等式，
所以，若关于的不等式的解集为R，则.
综上，“”是关于的不等式的解集为R的必要非充分条件.
故选：B
8．（2022·江西·赣州市第三中学高一期中）已知命题，若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出和，再根据是的充分不必要条件得解.
【详解】
解：由，即，所以或，
又 ，所以，
由是的充分不必要条件，
所以 .
故选：C
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·江苏·高一）下列命题是假命题的为（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】
对选项逐一分析，从而确定正确选项.
【详解】
A选项，若，则，A正确.
B选项，若，则，B错误.
C选项，时，不能得到，C错误.
D选项，，但，D错误.
故选：BCD
10．（2022·全国·高一专题练习）可以作为或的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
由充分不必要条件的定义即可得出答案.
【详解】
可以作为或的一个充分不必要条件是和.
故选：AC.
11．（2022·全国·高一专题练习）下列选项中p是q的必要不充分条件的有（ ）
A．p：a≤1，q：a＜1
B．p：A∩B＝A，q：A∪B＝B
C．p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等
D．p：x2+y2＝1，q：x＝1，y＝0
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义分别判断即可．
【详解】
解：A：∵a＜1⇒a≤1，而当a≤1时，不一定有a＜1，∴p是q的必要不充分条件，∴A正确，
B：∵p：A∩B＝A，∴A⊆B，∵q：A∪B＝B，∴A⊆B，∴p是q的充要条件，∴B错误，
C：∵两个三角形全等⇒两个三角形面积相等，但两个三角形面积相等不一定推出两个三角形全等，∴p是q的充分不必要条件，∴C错误，
D：当x＝1，y＝0时，则x2+y2＝1，反之，当x2+y2＝1时，x＝1，y＝0不一定成立，∴p是q的必要不充分条件，∴D正确，
故选：AD．
12．（2021·湖北·车城高中高一阶段练习）在下列命题中，真命题有（ ）
A．，使为的约数
B．，
C．存在锐角，使
D．已知，，则对于，都有
【答案】AB
【解析】
【分析】
对于A，根据约数定义即可判断；
对于B，利用函数开口方向，结合符号即可判断；
对于C，利用正弦函数的值域即可判断；
对于D，为偶数，为3的倍数，结合交集的定义即可判断
【详解】
对于A，的约数有：、，故A为真命题；
对于B，函数开口向上，且，所以函数图像在x轴上方，故B为真命题；
对于C，因为 ，故C为假命题；
对与D， 当，为偶数，为3的倍数，故存在使 ，故D为假命题.
故选：AB
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·广东茂名·高一期中）命题“，”的否定是___________．
【答案】，
【解析】
【分析】
“”改为“”，“”改为“”，即可得解.
【详解】
命题“，”的否定是： ，.
故答案为：，.
14．（2022·全国·高一专题练习）写出的一个必要不充分条件_____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由充分条件、必要条件的定义即可得出答案.
【详解】
⫋，所以“”是不等式“”成立的一个必要不充分条件.
故答案为：.
15．（2022·全国·高一）给出下列命题：
①已知集合，且，则集合的真子集个数是4；
②“”是“”的必要不充分条件；
③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
④设，则“”是“”的必要不充分条件
其中所有正确命题的序号是__________．
【答案】③④
【解析】
【分析】
①根据集合描述列举出元素，进而判断真子集个数；②③④由充分、必要性的定义判断条件间的推出关系，即可判断正误.
【详解】
①，故真子集个数为个，错误；
②由，可得或，故“”是“”的充分不必要条件，错误；
③由开口向上且对称轴为，只需即可保证原方程有一个正根和一个负根，故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，正确；
④当，时，不成立；当时，且，故“”是“”的必要不充分条件，正确.
故答案为：③④
16．（2022·全国·高一专题练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的最小值是___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
首先讨论解绝对值不等式，根据充分条件转化为子集问题，即可求解实数的最小值.
【详解】
由不等式，
当时，不等式的解集为空集，显然不成立；
当时，不等式，可得，
要使得不等式的一个充分条件为，则满足，
所以，即∴实数a的最小值是2.
故答案为：2
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2021·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）写出下列命题p的否定，并判断其真假.
(1)p：，.
(2)p：不论m取何实数，方程必有实数根.
(3)p：有的三角形的三条边相等.
(4)p：等腰梯形的对角线垂直．
【答案】(1)：，；假命题．
(2)：存在一个实数，方程没有实数根；假命题．
(3)：所有的三角形的三条边不都相等；假命题．
(4)：存在一个等腰梯形，它的对角线互相不垂直；真命题．
【解析】
【分析】
（1）（2）（3）（4）根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题进行求解判断即可．
(1)
解：：，；所以：，；
显然当时，即为假命题．
(2)
解：：不论取何实数值，方程必有实数根；
所以：存在一个实数，方程没有实数根；
若方程没有实数根，则判别式，此时不等式无解，即为假命题．
(3)
解：：有的三角形的三条边相等；
：所有的三角形的三条边不都相等，为假命题．正三角形的三条边相等，则命题是真命题，所以是假命题．
(4)
解：：等腰梯形的对角线垂直；则是假命题，
所以：存在一个等腰梯形，它的对角线互相不垂直，是假命题，是真命题．
18．（2022·全国·高一专题练习）设集合和或，若是的充分条件，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
由是的充分条件，可得出AB，即可求出的取值范围.
【详解】
因为是的充分条件，
所以AB，又，
所以．
故的取值范围为：.
19．（2022·江苏·高一单元测试）已知或或，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】
【分析】
由题设、间的关系可得，根据集合A、B的描述列方程组求m的参数即可.
【详解】
由是的必要不充分条件，
所以，则或，解得：.
的取值范围是.
20．（2022·河南河南·高一期末）已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先得到集合，再根据交集的定义计算可得；
（2）首先求出集合的补集，依题意可得是的真子集，即可得到不等式组，解得即可；
(1)
解：当时，，或，
∴．
(2)
解：∵或，∴，
∵“”是“”的充分不必要条件，
∴是的真子集，∵，∴，
∴，∴，故实数的取值范围为．
21．（2022·全国·高一专题练习）设全集，集合，集合.
(1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解.
（2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解.
(1)
是的充分条件， ，
又，
，，，
实数的取值范围为.
(2)
命题“，则”是真命题，①当时，，，；
②当时，，且是的子集.
，
，;
综上所述：实数的取值范围.
22．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，或.
(1)求，B；
(2)若集合，且为假命题.求m的取值范围.
【答案】(1)，
(2)或
【解析】
【分析】
（1）由集合的交并补运算可得解；
（2）转化条件为，对C是否为空集讨论即可得解.
(1)
，或，
或；
(2)
∵为假命题，
∴为真命题，即，
又，，
当时，，即，；
当时，由可得，
，或，
解得，
综上，m的取值范围为或.
*答案中出现了“区间”