高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题8不等式与基本不等式单元测试(B)(原卷版+解析)

这是一份高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题8不等式与基本不等式单元测试(B)(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了设集合则，对任意实数，命题等内容，欢迎下载使用。

命题范围：
第一章，等式性质与不等式性质，基本不等式
高考真题：
1．（2018·北京·高考真题（理））设集合则( )
A．对任意实数a，
B．对任意实数a，（2,1）
C．当且仅当a<0时,（2,1）
D．当且仅当 时,（2,1）
2．（北京·高考真题（理））如果正数满足，那么（ ）
A．，且等号成立时的取值唯一
B．，且等号成立时的取值唯一
C．，且等号成立时的取值不唯一
D．，且等号成立时的取值不唯一
3．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·北京市第十二中学高一阶段练习）设，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高一专题练习）已知是的三边长，且方程有两个相等的实数根，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不确定
3．（2022·四川·遂宁中学高一期末（理））若，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·四川自贡·高一期末（文））对任意实数，命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则.
④若，则，
其中真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（2022·全国·高一专题练习）已知为实数，且，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6．（2022·四川省绵阳南山中学高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（ ）
A．11B．9C．8D．6
7．（2022·四川内江·高一期末（文））已知正实数a、b满足，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
8．（2022·四川内江·高一期末（理））已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2021·山东·陵城一中高一期中）已知，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）下列说法不正确的有（ ）
A．命题“，”的否定为“，”
B．若，，则一定有
C．若，则
D．若，，则
11．（2021·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022·安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）已知正数m，n满足2m+3n＝2，则的值可能为（ ）
A．3B．4C．5D．6
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2019·北京·北理工附中高一期中）《九章算术》第八章“方程”问题：今有牛五，羊二，直金十两：牛二，羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？牛直__________金，羊直__________金．
14．（2022·贵州·六盘水市第二中学高一阶段练习）已知，，则的最小值为___________.
15．（2022·四川自贡·高一期末（文））已知，若且，则的最大值为___________.
16．（2022·四川资阳·高一期末）已知正实数x，y满足，则最小值为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）（1）已知，求的最小值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值．
18．（2022·全国·高一专题练习）比较与)的大小.
19．（2022·全国·高一专题练习）（1）比较与的大小；
（2）已知，求证：．
20．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数的图象经过点．
(1)求的最小值；
(2)求证：．
21．（2021·江西省铜鼓中学高一阶段练习（文））（1）已知，均为正实数，且，求的最小值.
（2）已知，，均为正实数，且，求证：.
22．（2022·四川乐山·高一期末）某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算知渗水现象正在以每天的速度扩散，当地政府积极组织工人进行抢修，已知每个工人平均每天可抢修渗水面积，每人每天所消耗的维修材料费25元，劳务费75元，另外给每人发放100元的服装补贴，每渗水的损失为75元．现在共派去x名工人，抢修完成共用n天．
(1)写出n关于x的函数关系式；
(2)要使总损失最小，应派多少名工人去抢修（总损失=渗水损失+政府支出）．
第二章 专题8 不等式与基本不等式(B）
命题范围：
第一章，等式性质与不等式性质，基本不等式
高考真题：
1．（2018·北京·高考真题（理））设集合则( )
A．对任意实数a，
B．对任意实数a，（2,1）
C．当且仅当a<0时,（2,1）
D．当且仅当 时,（2,1）
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.
详解：若，则且，即若，则，
此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.
2．（北京·高考真题（理））如果正数满足，那么（ ）
A．，且等号成立时的取值唯一
B．，且等号成立时的取值唯一
C．，且等号成立时的取值不唯一
D．，且等号成立时的取值不唯一
【答案】A
【解析】
【详解】
正数满足，∴ 4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=，∴ c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2，选A．
3．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】
，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·北京市第十二中学高一阶段练习）设，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由不等式的运算性质即可得到答案.
【详解】
由题意，.
故选：B.
2．（2022·全国·高一专题练习）已知是的三边长，且方程有两个相等的实数根，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
方程有两个相等的实数根，即，解方程可得或，又，故判断三角形的形状.
【详解】
方程有两个相等的实数根，则，
又有，
或，又，故是等腰三角形.
故选：A
3．（2022·四川·遂宁中学高一期末（理））若，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式性质判断即可．
【详解】
解：令，，满足，但不满足，故A错误；
，，故B错误；
，，，，，故C正确；
，，故D错误．
故选：C．
4．（2022·四川自贡·高一期末（文））对任意实数，命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则.
④若，则，
其中真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
取可判断①的正误；
取可判断②的正误；
利用不等式的基本性质可判断③的正误；
判断的正负判断即可
【详解】
对于①，若，，则，①错；
对于②，若，则，②错；
对于③，若，则，由不等式的基本性质可得，③对；
对于④，若，则，则，④对
故选：C
5．（2022·全国·高一专题练习）已知为实数，且，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【解析】
【分析】
对于A，利用基本不等式判断，对于B，由已知结合完全平方式判断，对于C，举例判断，对于D，利用基本不等式判断
【详解】
对于A，由基本不等式可知当时，，当且仅当时取等号，所以A正确，
对于B，因为，，所以，且，所以，当且仅当时取等号，所以B正确，
对于C，若，则，所以C错误，
对于D，因为，，所以，且，所以，，所以且，所以D 正确，
故选：C
6．（2022·四川省绵阳南山中学高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（ ）
A．11B．9C．8D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据基本不等式即可由积为定值求和的最小值.
【详解】
，因为，所以，故，当且仅当时，等号成立.
故选：A
7．（2022·四川内江·高一期末（文））已知正实数a、b满足，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可知，再利用基本不等式即得.
【详解】
∵正实数a、b满足，
∴，
当且仅当，即时，取等号，
故选：B.
8．（2022·四川内江·高一期末（理））已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得=，当，即时等号成立，所以有，将化为，再利用基本不等式可求得的范围.
【详解】
解：因为为正实数，
=，
当，即时等号成立，
此时有，
又因为，
所以，
由基本不等式可知（时等号成立），
所以.
故选：B.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2021·山东·陵城一中高一期中）已知，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
直接推导否定选项AC，直接推导证明选项BD正确.
【详解】
选项A：由，可得.判断错误；
选项B：由，可得，则，则.判断正确；
选项C：由，可得，则，则.判断错误；
选项D：由，可得，则.判断正确.
故选：BD
10．（2022·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）下列说法不正确的有（ ）
A．命题“，”的否定为“，”
B．若，，则一定有
C．若，则
D．若，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题可判断A，根据同号可乘性可判断B，根据基本不等式可判断C，根据作差法可判断D.
【详解】
命题“，”的否定为“，”,故A错误；
，，不一定有，如则，故B错误，
，则，则，当且仅当等号成立，故C正确；
，当，时，，但的正负不能确定，故无法确定正负，故D错误.
故选：ABD
11．（2021·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用基本不等式，分别判断ACD，再利用做差比较法，判断B.
【详解】
因为，所以，当且仅当且时取等号，故A一定成立
由做差比较法,，可知成立故B一定成立．
因为 所以，当且仅当时取等号，所以不一定成立，故C不成立．
因为4，当且仅当时取等号，故D一定成立.
故选：ABD
12．（2022·安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）已知正数m，n满足2m+3n＝2，则的值可能为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】CD
【解析】
【分析】
利用“1”的代换法求出的最小值，和各选项进行比较即可.
【详解】
依题意，，当且仅当，即时等号成立，因为，故，则，则，观察可知， CD符合．
故选：CD.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2019·北京·北理工附中高一期中）《九章算术》第八章“方程”问题：今有牛五，羊二，直金十两：牛二，羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？牛直__________金，羊直__________金．
【答案】
【解析】
【分析】
设每头牛值金两，每只羊值金两，由题意，列出方程组求解即可．
【详解】
设每头牛值金两，每只羊值金两，
由题意可得，
解得，
所以每头牛值金两，每只羊值金两．
故答案为：；．
14．（2022·贵州·六盘水市第二中学高一阶段练习）已知，，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用基本不等式所需的“积为定值”即可求解.
【详解】
，，
当且仅当，即时，等号成立，的最小值为.
故答案为：.
15．（2022·四川自贡·高一期末（文））已知，若且，则的最大值为___________.
【答案】##0.25
【解析】
【分析】
根据求解即可.
【详解】
因为且，，
当且仅当时取等号，
所以，
所以的最大值为.
故答案为：.
16．（2022·四川资阳·高一期末）已知正实数x，y满足，则最小值为______．
【答案】9
【解析】
【分析】
利用基本不等式的性质直接求解即可.
【详解】
正数，满足：，
，
当且仅当，即，时 “”成立，
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）（1）已知，求的最小值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值．
【答案】（1）7；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由题可知，，利用基本不等式即可求解；
（2）利用基本不等式“1的妙用”即可求解.
【详解】
（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为．
18．（2022·全国·高一专题练习）比较与)的大小.
【答案】
【解析】
【分析】
做差化简，分情况讨论比较大小.
【详解】

当时，， ，
即；
当时，， ，
即；
综上所得.
19．（2022·全国·高一专题练习）（1）比较与的大小；
（2）已知，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求差法进行大小比较即可；
（2）求差法去证明即可解决.
【详解】
（1）由，
可得．
（2），
∵，∴，，，
∴，∴．
20．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数的图象经过点．
(1)求的最小值；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据所给的条件，得到a，b，c之间的关系，利用基本不等式即可；
（2）所求的代数式转化为可以利用基本不等式的形式，再用基本不等式即可证明.
(1)
因为函数 的图象经过点，
所以，
所以
，
当且仅当，即， ，时等号成立，
所以 的最小值为；
(2)
因为
= ，
当且仅当时取等号，
所以，
即.
21．（2021·江西省铜鼓中学高一阶段练习（文））（1）已知，均为正实数，且，求的最小值.
（2）已知，，均为正实数，且，求证：.
【答案】（1）18（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）先将所给等式化简，然后利用“的妙用”以及基本不等式求解最小值；（2）将待证明不等式中的改写成然后再利用基本不等式证明.
【详解】
（1），，，.
，当且仅当，即时，等号成立.
由得
当，时，取得最小值18.
（2），，，，
，
当且仅当时取等号.
.
【点睛】
本题考查基本不等式再求解代数式最值以及证明不等式中的应用，难度一般.
（1）已知，求的最小值时的方法：，取等号时.
（2）不等式取最值或者证明时取等号时，一定要说明取等号的条件.
22．（2022·四川乐山·高一期末）某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算知渗水现象正在以每天的速度扩散，当地政府积极组织工人进行抢修，已知每个工人平均每天可抢修渗水面积，每人每天所消耗的维修材料费25元，劳务费75元，另外给每人发放100元的服装补贴，每渗水的损失为75元．现在共派去x名工人，抢修完成共用n天．
(1)写出n关于x的函数关系式；
(2)要使总损失最小，应派多少名工人去抢修（总损失=渗水损失+政府支出）．
【答案】(1)（且）
(2)21名
【解析】
【分析】
（1）根据抢修的面积等于渗水的面积列出方程，求出（且）；
（2）求出总损失关于x的关系式，再利用基本不等式求出最小值，得到答案.
(1)
由题意知：抢修n天时，维修工人抢修的面积之和为，而渗水的面积为
所以有，可得（且）．
(2)
设总损失为y，则
，
当且仅当时，即时，等号成立．
所以应派21名工人去抢修，总损失最小．
*答案中出现了“区间”